抽象函數(shù)的性質(zhì)所對應(yīng)的一些具體特殊函數(shù)模型：
①
正比例函數(shù)
②
；
指數(shù)函數(shù)
；
③
；
對數(shù)函數(shù)
；
課本題
1．設(shè)集合
，
，則集合{
且
}=[1,3]。
定義域：{x|x
}；值域：
； 奇偶性：奇函數(shù)；
單調(diào)性：
是增函數(shù)；
是減函數(shù)。
(1)一元一次函數(shù)：
，當(dāng)
時，是增函數(shù)；當(dāng)
時，是減函數(shù)；
(2)一元二次函數(shù)：
一般式：
；對稱軸方程是x=-
；頂點(diǎn)為(-，
)；
兩點(diǎn)式：
；對稱軸方程是x=
與
軸交點(diǎn)(x
，0)(x
，0)；
頂點(diǎn)式：
；對稱軸方程是x=k；頂點(diǎn)為(k，h)；
①一元二次函數(shù)的單調(diào)性：
當(dāng)時：(-
)為增函數(shù)；(-
)為減函數(shù)；
當(dāng)時：(-)為增函數(shù)；(-)為減函數(shù)；
②二次函數(shù)求最值問題：首先要采用配方法，化為的形式，
有三個類型題型：(1)頂點(diǎn)固定，區(qū)間也固定。如：
(2)頂點(diǎn)含參數(shù)(即頂點(diǎn)變動)，區(qū)間固定，這時要討論頂點(diǎn)橫坐標(biāo)何時在區(qū)間之內(nèi)，何時在區(qū)間之外。(3)頂點(diǎn)固定，區(qū)間變動，這時要討論區(qū)間中的參數(shù)．
③二次方程實(shí)數(shù)根的分布問題： 設(shè)實(shí)系數(shù)一元二次方程
的兩根為
(3)反比例函數(shù)：
(4)指數(shù)函數(shù)：
指數(shù)運(yùn)算法則：
·
； 
； 
。
指數(shù)函數(shù)：y=
(a>o,a≠1)，圖象恒過點(diǎn)(0，1)，單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。
(5)對數(shù)函數(shù)：
對數(shù)運(yùn)算法則：
;
； 
對數(shù)函數(shù)：y=
(a>o,a≠1) 圖象恒過點(diǎn)(1，0)，單調(diào)性與a的值有關(guān)，在解題中，往往要對a分a>1和0<a<1兩種情況進(jìn)行討論，要能夠畫出函數(shù)圖象的簡圖。
注意：
(1)
與
的圖象關(guān)系是關(guān)于y=x對稱；
(2)比較兩個指數(shù)或?qū)?shù)的大小的基本方法是構(gòu)造相應(yīng)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)，若底數(shù)不相同時轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)，還要注意與1比較或與0比較。
(3)已知函數(shù)
的定義域為
，求
的取值范圍。(-2
，2)
已知函數(shù)的值域為，求的取值范圍。
常見圖像變化規(guī)律：(注意平移變化能夠用向量的語言解釋，和按向量平移聯(lián)系起來思考)
平移變換 y=f(x)→y=f(x+a),y=f(x)+b
注意：(ⅰ)有系數(shù)，要先提取系數(shù)。如：把函數(shù)y＝f(2x)經(jīng)過左移2個單位平移得到函數(shù)y＝f(2x+4)的圖象。
(ⅱ)會結(jié)合向量的平移，理解按照向量
(m，n)平移的意義。
對稱變換 y=f(x)→y=f(－x),關(guān)于y軸對稱
y=f(x)→y=－f(x) ,關(guān)于x軸對稱
y=f(x)→y=f|x|,把x軸上方的圖象保留，x軸下方的圖象關(guān)于x軸對稱
y=f(x)→y=|f(x)|把y軸右邊的圖象保留，然后將y軸右邊部分關(guān)于y軸對稱。
(注意：它是一個偶函數(shù))
伸縮變換：y=f(x)→y=f(ωx),
y=f(x)→y=Af(ωx+φ)具體參照三角函數(shù)的圖象變換。
一個重要結(jié)論：若f(a－x)＝f(a+x)，則函數(shù)y=f(x)的圖像關(guān)于直線x=a對稱；
函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性
單調(diào)性：定義：注意定義是相對與某個具體的區(qū)間而言。
判定方法有：定義法(作差比較和作商比較)
導(dǎo)數(shù)法(適用于多項式函數(shù))
復(fù)合函數(shù)法和圖像法。
應(yīng)用：比較大小，證明不等式，解不等式。
奇偶性：定義：注意區(qū)間是否關(guān)于原點(diǎn)對稱，比較f(x) 與f(-x)的關(guān)系。f(x) －f(-x)=0
f(x) =f(-x) f(x)為偶函數(shù)；
f(x)+f(-x)=0 f(x) =－f(-x) f(x)為奇函數(shù)。
判別方法：定義法， 圖像法 ，復(fù)合函數(shù)法
應(yīng)用：把函數(shù)值進(jìn)行轉(zhuǎn)化求解。
周期性：定義：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+T)=f(x),則T為函數(shù)f(x)的周期。
其他：若函數(shù)f(x)對定義域內(nèi)的任意x滿足：f(x+a)=f(x－a),則2a為函數(shù)f(x)的周期.
應(yīng)用：求函數(shù)值和某個區(qū)間上的函數(shù)解析式。
相同函數(shù)的判斷方法：①定義域相同；②對應(yīng)法則一樣 (兩點(diǎn)必須同時具備)
(1)函數(shù)解析式的求法：
①定義法(拼湊)：②換元法：③待定系數(shù)法：④賦值法：
(2)函數(shù)定義域的求法：
①
，則g(x)； ②
則f(x)
；
③
，則f(x)； ④如：
，則
；
⑤含參問題的定義域要分類討論；
⑥對于實(shí)際問題，在求出函數(shù)解析式后；必須求出其定義域，此時的定義域要根據(jù)實(shí)際意義來確定。如：已知扇形的周長為20，半徑為
，扇形面積為
，則
-r
+10r；定義域為(0，10)。
(3)函數(shù)值域的求法：
①配方法：轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)，利用二次函數(shù)的特征來求值；常轉(zhuǎn)化為型如：
的形式；
②逆求法(反求法)：通過反解，用
來表示，再由的取值范圍，通過解不等式，得出的取值范圍；常用來解，型如：
；
④換元法：通過變量代換轉(zhuǎn)化為能求值域的函數(shù)，化歸思想；
⑤三角有界法：轉(zhuǎn)化為只含正弦、余弦的函數(shù)，運(yùn)用三角函數(shù)有界性來求值域；
⑥基本不等式法：轉(zhuǎn)化成型如：
，利用平均值不等式公式來求值域；
⑦單調(diào)性法：函數(shù)為單調(diào)函數(shù)，可根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求值域。
⑧數(shù)形結(jié)合：根據(jù)函數(shù)的幾何圖形，利用數(shù)型結(jié)合的方法來求值域。
求下列函數(shù)的值域：①
(2種方法)；
②
(2種方法)；③
(2種方法)；
(1)映射的概念： (2)一一映射：(3)函數(shù)的概念：
如：若
，
；問：
到
的映射有3
個，到的映射有4
個；到的函數(shù)有81個，若
，則到的一一映射有6個。
函數(shù)
的圖象與直線
交點(diǎn)的個數(shù)為 0 或1個。
24.已知
(a>0) ，則
.
25已知函數(shù)
，
．
(Ⅰ)討論函數(shù)
的單調(diào)區(qū)間；
(Ⅱ)設(shè)函數(shù)在區(qū)間
內(nèi)是減函數(shù)，求
的取值范圍．
23.已知函數(shù)
(1)若a＞0,則的定義域是
;
(2) 若在區(qū)間
上是減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是
.
22. 
對于
總有
≥0 成立，則= ．
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