上海市2009年高考模擬試題匯編
數列
一、填空題
1、（2009上海九校聯考）已知數列
的前
項和為
，若
，則
.
128
2、（（2009上海八校聯考）在數列
中，
，且
，
_________。
2550
3、（2009冠龍高級中學3月月考）若數列中，
，則數列中的項的最小值為_________。
4
4、（2009閔行三中模擬）已知是等比數列，
，則
= 。
（
）
5、（2009上海十四校聯考）若數列
為“等方比數列”。則“數列
是等方比數列”是“數列是等方比數列”的 條件
2
二、選擇題
1、（2009上海十四校聯考）無窮等比數列
…各項的和等于 （ ）
A．
B．
C．
D．
B
2、（2009上海盧灣區4月模考）
設數列
的前項之和為，若
(
)，則 ( )
A．是等差數列，但不是等比數列； B．是等比數列，但不是等差數列；
C．是等差數列，或是等比數列； D．可以既不是等比數列，也不是等差數列．
三、解答題
1、（2009上海盧灣區4月模考）已知數列的前
項和為
，且對任意正整數，都滿足：
，其中
為實數.
（1）求數列的通項公式；
（2）若
為楊輝三角第行中所有數的和，即
，
為楊輝三角前行中所有數的和，亦即為數列
的前項和，求
的值.
解：（1） 由已知
，，相減得
，由
得
，又
，得
，故數列是一個以為首項，以
為公比的等比數列.
（4分）
從而
；
（6分）
（2）
，
（7分）
又
，故
，
（11分）
于是
，
當
，即
時，
，
當
，即
時，
，
當
，即
時，不存在.
（14分）
2、（2009上海八校聯考）已知點列
順次為直線
上的點，點列
順次為
軸上的點，其中
，對任意的
，點
、
、
構成以為頂點的等腰三角形。
（1）證明:數列
是等差數列；
（2）求證:對任意的，
是常數，并求數列
的通項公式；
（3）對上述等腰三角形
添加適當條件，提出一個問題，并做出解答。
（根據所提問題及解答的完整程度，分檔次給分）
解: (1)依題意有
,于是
.
所以數列是等差數列.
.4分
(2)由題意得
,即
, (
)
①
所以又有
.
②
由②
①得：
, 所以
是常數． ６分
由
都是等差數列.
，那么得 
,
. (
８分
故
1０分
(3) 提出問題①：若等腰三角形中，是否有直角三角形，若有，求出實數
提出問題②：若等腰三角形中，是否有正三角形，若有，求出實數
解：問題① 1１分
當為奇數時,
,所以
當為偶數時,
所以
作
軸,垂足為
則
,要使等腰三角形為直角三角形,必須且只須：
.
１３分
當為奇數時,有
,即
①
， 當
, 
不合題意.15分
當為偶數時,有
，
,同理可求得 
當
時,不合題意. 1７分
綜上所述,使等腰三角形中，有直角三角形,
的值為
或
或
.
1８分
解：問題② 1１分
當為奇數時,,所以
當為偶數時,所以
作軸,垂足為則,要使等腰三角形為正三角形,必須且只須：
.
１３分
當為奇數時,有
,即
①
， 當
時，. 不合題意． 15分
當為偶數時,有
，
,同理可求得 
.
；
；當
時，不合題意．1７分
綜上所述,使等腰三角形中，有正三角形，的值為
；
；
；
1８分
3、（2009上海奉賢區模擬考）已知點集
，其中
，
，點列
在L中，
為L與y軸的交點，等差數列的公差為1，
。
（1）求數列
的通項公式；
（2）若
＝
，令
；試用解析式寫出關于的函數。
（3）若＝，給定常數m(
),是否存在
，使得
，若存在，求出
的值；若不存在，請說明理由。
（1）y＝
?
＝(2x－b)＋(b＋1)＝2x＋1
-----(1分)
與軸的交點
為
，所以
；
-----(1分)
所以
，即
，
-----(1分)
因為
在上，所以
，即
-----(1分)
（2）設
（
），
即
（） ----(1分)
（A）當
時，
----(1分)
=
=
，而
，所以
----(1分)
（B）當
時，
----(1分)
= 
=
，
----(1分)
而
，所以
----(1分)
因此
（） ----(1分)
（3）假設，使得 ，
（A）
為奇數
（一）為奇數，則
為偶數。則
，
。則
，解得：
與矛盾。
----(1分)
（二）為偶數，則為奇數。則
，
。則
，解得：
（
是正偶數）。 ----(1分)
（B）為偶數
（一）為奇數，則為奇數。則，。則
，解得：
（
是正奇數）。
----(1分)
（二）為偶數，則為偶數。則，。則
，解得：
與矛盾。 ----(1分)
由此得：對于給定常數m()，這樣的總存在；當是奇數時，；當是偶數時，。
----(1分)
4、（2009冠龍高級中學3月月考）由函數
確定數列，
，函數的反函數
能確定數列，
，若對于任意
，都有
，則稱數列是數列的“自反數列”。
(1)若函數
確定數列的自反數列為，求的通項公式；
(2)在(1)條件下，記
為正數數列
的調和平均數，若
，為數列
的前項和，
為數列
的調和平均數，求
；
(3)已知正數數列
的前項之和
。求
的表達式。
解：(1)由題意的：f ?1(x)=
= f(x)=
，所以p = ?1，所以an=
(2) an=，dn=
=n，
Sn為數列{dn}的前n項和，Sn=
，又Hn為數列{Sn}的調和平均數，
Hn=
=
=
=
=
(3)因為正數數列{cn}的前n項之和Tn=(cn+
)，
所以c1=(c1+
)，解之得：c1=1，T1=1
當n≥2時，cn = Tn?Tn?1，所以2Tn = Tn?Tn?1 +
，
Tn +Tn?1 = ，即：
= n，
所以，
= n?1，
= n?2，……，
=2，累加得：
=2+3+4+……+ n， 
=1+2+3+4+……+
n =
，Tn=
5、（2009閔行三中模擬）已知點列B1(1,y1)、B2(2,y2)、…、Bn(n,yn)（n∈N）順次為一次函數
圖像上的點，點列A1(x1,0)、A2(x2,0)、…、An(xn,0)（n∈N）順次為x軸正半軸上的點，其中x1=a（0＜a＜1），對于任意n∈N，點An、Bn、An+1構成一個頂角的頂點為Bn的等腰三角形。
⑴求數列{yn}的通項公式，并證明{yn}是等差數列；
⑵證明xn+2-xn為常數，并求出數列{xn}的通項公式；
⑶在上述等腰三角形AnBnAn+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時a值；若不存在，請說明理由。
解：（1）
(nÎN),∵yn+1-yn=
,∴{yn}為等差數列 ………………4分
（2）因為
與
為等腰三角形.
所以
，兩式相減得 。………………7分
注：判斷得2分，證明得1分
∴x1,x3,x5,…,x2n-1及x2,x4,x6 ，…，x2n都是公差為2的等差數列，………………6分
∴
………………10分
（3）要使AnBnAn+1為直角三形，則 |AnAn+1|=2
=2(
)Þxn+1-xn=2()
當n為奇數時，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,∴xn+1-xn=2(1-a).
Þ2(1-a)=2() Þa=
(n為奇數，0＜a＜1) (*)
取n=1，得a=
，取n=3，得a=
，若n≥5，則(*)無解； ………………14分
當偶數時，xn+1=n+a，xn=n-a，∴xn+1-xn=
∴)Þa=(n為偶數，0＜a＜1) (*¢)，
取n=2，得a=
,若n≥4，則(*¢)無解.
綜上可知，存在直角三形，此時a的值為、、. ………………18分
|
6、（2009上海青浦區）設數列
的前
和為
，已知
，
，
，
，
一般地，
（
）．
（1）求
；
（2）求
；
（3）求和：
．
（1）
；
……3分
（2）當
時，（
）
， ……6分
所以，
（
）．
……8分
（3）與（2）同理可求得：
，
……10分
設
=
，
則
，（用等比數列前n項和公式的推導方法）
，相減得
，所以
．
……14分
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