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2009屆高三第一次聯考

理科綜合能力測試試題

命題學校：湖北省鄂南高級中學 命題教師：余勁松 賀盛友 陳元陽

考試時間：2008年12月20日上午9：00――11：30 試卷滿分：300分

本試卷分為第Ⅰ卷(選擇題)和第Ⅱ卷(非選擇題)兩部分。

    注意事項：

    1．每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑．如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案，不得答在試題卷上。

2．答題前，請認真閱讀答題卡上的 “注意事項”。

以下數據可供解題時參考：

    本試卷可能用到的相對原子質量：H-1 C-12  O -16  Na-23  Mg-24  C l-35.5  Ca-40 A l-27  S-32

    Fe-56  Mn-55  Cu-64 1 Ba-137   

第Ⅰ卷  選擇題（共21小題，每小題6分，共126分）

試題詳情

2009年北京市豐臺區初三畢業及統一練習

                   物  理  試  卷             2009.5

第Ⅰ卷（機讀卷共36分）

試題詳情

高中數學易錯、易混、易忘題分類匯編

“會而不對，對而不全”一直以來成為制約學生數學成績提高的重要因素，成為學生揮之不去的痛，如何解決這個問題對決定學生的高考成敗起著至關重要的作用。本文結合筆者的多年高三教學經驗精心挑選學生在考試中常見的66個易錯、易混、易忘典型題目，這些問題也是高考中的熱點和重點，做到力避偏、怪、難，進行精彩剖析并配以近幾年的高考試題作為相應練習，一方面讓你明確這樣的問題在高考中確實存在，另一方面通過作針對性練習幫你識破命題者精心設計的陷阱，以達到授人以漁的目的，助你在高考中乘風破浪，實現自已的理想報負。

【易錯點1】忽視空集是任何非空集合的子集導致思維不全面。

例1、        設，，若，求實數a組成的集合的子集有多少個？

【易錯點分析】此題由條件易知，由于空集是任何非空集合的子集，但在解題中極易忽略這種特殊情況而造成求解滿足條件的a值產生漏解現象。

解析：集合A化簡得，由知故（Ⅰ）當時，即方程無解，此時a=0符合已知條件（Ⅱ）當時，即方程的解為3或5，代入得或。綜上滿足條件的a組成的集合為，故其子集共有個。

【知識點歸類點拔】（1）在應用條件A∪B＝ＢA∩B＝ＡＡＢ時，要樹立起分類討論的數學思想，將集合Ａ是空集Φ的情況優先進行討論．

（2）在解答集合問題時，要注意集合的性質“確定性、無序性、互異性”特別是互異性對集合元素的限制。有時需要進行檢驗求解的結果是滿足集合中元素的這個性質，此外，解題過程中要注意集合語言（數學語言）和自然語言之間的轉化如：，，其中,若求r的取值范圍。將集合所表達的數學語言向自然語言進行轉化就是：集合A表示以原點為圓心以2的半徑的圓，集合B表示以（3，4）為圓心，以r為半徑的圓，當兩圓無公共點即兩圓相離或內含時，求半徑r的取值范圍。思維馬上就可利用兩圓的位置關系來解答。此外如不等式的解集等也要注意集合語言的應用。

【練1】已知集合、，若，則實數a的取值范圍是              。答案：或。

【易錯點2】求解函數值域或單調區間易忽視定義域優先的原則。

例2、已知,求的取值范圍

【易錯點分析】此題學生很容易只是利用消元的思路將問題轉化為關于x的函數最值求解，但極易忽略x、y滿足這個條件中的兩個變量的約束關系而造成定義域范圍的擴大。

解析：由于得(x+2)²=1-≤1，∴-3≤x≤-1從而x²+y²=-3x²-16x-12=

+因此當x=-1時x²+y²有最小值1, 當x=-時，x²+y²有最大值。故x²+y²的取值范圍是[1, ]

【知識點歸類點拔】事實上我們可以從解析幾何的角度來理解條件對x、y的限制，顯然方程表示以（-2，0）為中心的橢圓，則易知-3≤x≤-1，。此外本題還可通過三角換元轉化為三角最值求解。

【練2】（05高考重慶卷）若動點（x,y）在曲線上變化，則的最大值為（）

（A）（B）（C）（D）

答案：A

【易錯點3】求解函數的反函數易漏掉確定原函數的值域即反函數的定義域。

例3、        是R上的奇函數，（1）求a的值（2）求的反函數

【易錯點分析】求解已知函數的反函數時，易忽略求解反函數的定義域即原函數的值域而出錯。

解析：（1）利用（或）求得a=1.

（2）由即，設,則由于故，，而所以

【知識點歸類點拔】（1）在求解函數的反函數時，一定要通過確定原函數的值域即反函數的定義域在反函數的解析式后表明（若反函數的定義域為R可省略）。

（2）應用可省略求反函數的步驟，直接利用原函數求解但應注意其自變量和函數值要互換。

【練3】（2004全國理）函數的反函數是（）

A、  B、

C、     D、 

答案：B

【易錯點4】求反函數與反函數值錯位

例4、已知函數，函數的圖像與的圖象關于直線對稱，則的解析式為（）

A、  B、  C、  D、

【易錯點分析】解答本題時易由與互為反函數，而認為的反函數是則==而錯選A。

解析：由得從而再求的反函數得。正確答案：B

【知識點分類點拔】函數與函數并不互為反函數，他只是表示中x用x-1替代后的反函數值。這是因為由求反函數的過程來看：設則，

再將x、y互換即得的反函數為，故的反函數不是，因此在今后求解此題問題時一定要謹慎。

【練4】（2004高考福建卷）已知函數y=log₂x的反函數是y=f^-1(x)，則函數y= f^-1(1-x)的圖象是（）

答案：B

【易錯點5】判斷函數的奇偶性忽視函數具有奇偶性的必要條件：定義域關于原點對稱。

例5、        判斷函數的奇偶性。

【易錯點分析】此題常犯的錯誤是不考慮定義域，而按如下步驟求解：從而得出函數為非奇非偶函數的錯誤結論。

解析：由函數的解析式知x滿足即函數的定義域為定義域關于原點對稱，在定義域下易證即函數為奇函數。

【知識點歸類點拔】（1）函數的定義域關于原點對稱是函數具有奇偶性的必要但不充分條件，因此在判斷函數的奇偶性時一定要先研究函數的定義域。

（2）函數具有奇偶性，則是對定義域內x的恒等式。常常利用這一點求解函數中字母參數的值。

【練5】判斷下列函數的奇偶性：

①②③

答案：①既是奇函數又是偶函數②非奇非偶函數③非奇非偶函數

【易錯點6】易忘原函數和反函數的單調性和奇偶性的關系。從而導致解題過程繁鎖。

例6、        函數的反函數為，證明是奇函數且在其定義域上是增函數。

【思維分析】可求的表達式，再證明。若注意到與具有相同的單調性和奇偶性，只需研究原函數的單調性和奇偶性即可。

解析：，故為奇函數從而為奇函數。又令在和上均為增函數且為增函數，故在和上分別為增函數。故分別在和上分別為增函數。

【知識點歸類點拔】對于反函數知識有如下重要結論：（1）定義域上的單調函數必有反函數。（2）奇函數的反函數也是奇函數且原函數和反函數具有相同的單調性。（3）定義域為非單元素的偶函數不存在反函數。（4）周期函數不存在反函數（5）原函數的定義域和值域和反函數的定義域和值域到換。即 。

【練6】（1）（99全國高考題）已知 ，則如下結論正確的是（）

A、 是奇函數且為增函數               B、 是奇函數且為減函數

C、 是偶函數且為增函數               D、 是偶函數且為減函數

答案：A

（2）（2005天津卷）設是函數的反函數，則使成立的的取值范圍為（）A、   B、         C、        D、

答案：A （時，單調增函數，所以.）

【易錯點7】證明或判斷函數的單調性要從定義出發，注意步驟的規范性及樹立定義域優先的原則。

例7、試判斷函數的單調性并給出證明。

【易錯點分析】在解答題中證明或判斷函數的單調性必須依據函數的性質解答。特別注意定義中的的任意性。以及函數的單調區間必是函數定義域的子集，要樹立定義域優先的意識。

解析：由于即函數為奇函數，因此只需判斷函數在上的單調性即可。設 ， 由于 故當 時，此時函數在上增函數，同理可證函數在上為減函數。又由于函數為奇函數，故函數在為減函數，在為增函數。綜上所述：函數在和上分別為增函數，在和上分別為減函數.

【知識歸類點拔】（1）函數的單調性廣泛應用于比較大小、解不等式、求參數的范圍、最值等問題中，應引起足夠重視。

（2）單調性的定義等價于如下形式：在上是增函數，在上是減函數，這表明增減性的幾何意義：增（減）函數的圖象上任意兩點連線的斜率都大于（小于）零。

（3）是一種重要的函數模型，要引起重視并注意應用。但注意本題中不能說在上為增函數，在上為減函數,在敘述函數的單調區間時不能在多個單調區間之間添加符號“∪”和“或”，

【練7】（1） （濰坊市統考題）（1）用單調性的定義判斷函數在上的單調性。（2）設在的最小值為，求的解析式。

答案：（1）函數在為增函數在為減函數。（2）

（2） （2001天津）設且為R上的偶函數。（1）求a的值（2）試判斷函數在上的單調性并給出證明。

答案：（1）（2）函數在上為增函數（證明略）

【易錯點8】在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用，導致錯誤結論。

例8、（2004全國高考卷）已知函數上是減函數，求a的取值范圍。

【易錯點分析】是在內單調遞減的充分不必要條件，在解題過程中易誤作是充要條件，如在R上遞減，但。

解析：求函數的導數（1）當時，是減函數，則故解得。（2）當時，易知此時函數也在R上是減函數。（3）當時，在R上存在一個區間在其上有，所以當時，函數不是減函數，綜上，所求a的取值范圍是。

【知識歸類點拔】若函數可導，其導數與函數的單調性的關系現以增函數為例來說明：①與為增函數的關系:能推出為增函數，但反之不一定。如函數在上單調遞增，但，∴是為增函數的充分不必要條件。②時，與為增函數的關系:若將的根作為分界點，因為規定，即摳去了分界點，此時為增函數，就一定有。∴當時，是為增函數的充分必要條件。③與為增函數的關系:為增函數，一定可以推出，但反之不一定，因為，即為或。當函數在某個區間內恒有，則為常數，函數不具有單調性。∴是為增函數的必要不充分條件。函數的單調性是函數一條重要性質，也是高中階段研究的重點，我們一定要把握好以上三個關系，用導數判斷好函數的單調性。因此新教材為解決單調區間的端點問題，都一律用開區間作為單調區間，避免討論以上問題，也簡化了問題。但在實際應用中還會遇到端點的討論問題，要謹慎處理。

因此本題在第一步后再對和進行了討論，確保其充要性。在解題中誤將必要條件作充分條件或將既不充分與不必要條件誤作充要條件使用而導致的錯誤還很多，這需要同學們在學習過程中注意思維的嚴密性。

【練8】（1）（2003新課程）函數是是單調函數的充要條件是（）

A、  B、 C、 D、

答案：A

（2）是否存在這樣的K值，使函數在上遞減，在上遞增？

答案：。（提示據題意結合函數的連續性知，但是函數在上遞減，在上遞增的必要條件，不一定是充分條件因此由求出K值后要檢驗。）

【易錯點9】應用重要不等式確定最值時，忽視應用的前提條件特別是易忘判斷不等式取得等號時的變量值是否在定義域限制范圍之內。

例9、 已知：a>0 , b>0 , a+b=1,求(a+)²+(b+)²的最小值。

錯解 :(a+)²+(b+)²=a²+b²+++4≥2ab++4≥4+4=8∴(a+)²+(b+)²的最小值是8

【易錯點分析】 上面的解答中，兩次用到了基本不等式a²+b²≥2ab，第一次等號成立的條件是a=b=,第二次等號成立的條件ab=，顯然，這兩個條件是不能同時成立的。因此，8不是最小值。

解析：原式= a²+b²+++4=( a²+b²)+(+)+4=[(a+b)²-2ab]+ [(+)²-]+4  =(1-2ab)(1+)+4由ab≤()²= 得：1-2ab≥1-=,且≥16，1+≥17∴原式≥×17+4= (當且僅當a=b=時，等號成立)∴(a+)²+(b+)²的最小值是。

【知識歸類點拔】在應用重要不等式求解最值時，要注意它的三個前提條件缺一不可即“一正、二定、三相等”，在解題中容易忽略驗證取提最值時的使等號成立的變量的值是否在其定義域限制范圍內。

【練9】（97全國卷文22理22）甲、乙兩地相距s km , 汽車從甲地勻速行駛到乙地，速度不得超過c km/h ,已知汽車每小時的運輸成本（以元為單位）由可變部分和固定部分組成：可變部分與速度v（km/h）的平方成正比，比例系數為b;固定部分為a元。

（1）        把全程運輸成本y（元）表示為速度v（km/h）的函數，并指出這個函數的定義域；

（2）        為了使全程運輸成本最小，汽車應以多大速度行駛？

答案為:（1）（2）使全程運輸成本最小，當≤c時，行駛速度v=；當＞c時，行駛速度v=c。

【易錯點10】在涉及指對型函數的單調性有關問題時，沒有根據性質進行分類討論的意識和易忽略對數函數的真數的限制條件。

例10、是否存在實數a使函數在上是增函數？若存在求出a的值，若不存在，說明理由。

【易錯點分析】本題主要考查對數函數的單調性及復合函數的單調性判斷方法，在解題過程中易忽略對數函數的真數大于零這個限制條件而導致a的范圍擴大。

解析：函數是由和復合而成的，根據復合函數的單調性的判斷方法（1）當a>1時，若使在上是增函數，則在上是增函數且大于零。故有解得a>1。（2）當a<1時若使在上是增函數，則在上是減函數且大于零。不等式組無解。綜上所述存在實數a>1使得函數在上是增函數

【知識歸類點拔】要熟練掌握常用初等函數的單調性如：一次函數的單調性取決于一次項系數的符號，二次函數的單調性決定于二次項系數的符號及對稱軸的位置，指數函數、對數函數的單調性決定于其底數的范圍（大于1還是小于1），特別在解決涉及指、對復合函數的單調性問題時要樹立分類討論的數學思想（對數型函數還要注意定義域的限制）。

【練10】（1）（黃崗三月分統考變式題）設，且試求函數的的單調區間。

答案：當，函數在上單調遞減在上單調遞增當函數在上單調遞增在上單調遞減。

（2）（2005 高考天津）若函數在區間內單調遞增，則的取值范圍是（）A、         B、         C、        D、

答案：B.（記，則當時，要使得是增函數，則需有恒成立，所以.矛盾.排除C、D當時，要使是函數，則需有恒成立，所以.排除A）

【易錯點11】 用換元法解題時，易忽略換元前后的等價性．

例11、已知求的最大值

【易錯點分析】此題學生都能通過條件將問題轉化為關于的函數，進而利用換元的思想令將問題變為關于t的二次函數最值求解。但極易忽略換元前后變量的等價性而造成錯解，

解析：由已知條件有且（結合）得，而==令則原式=根據二次函數配方得：當即時，原式取得最大值。

【知識點歸類點拔】“知識”是基礎，“方法”是手段，“思想”是深化，提高數學素質的核心就是提高學生對數學思想方法的認識和運用，數學素質的綜合體現就是“能力”，解數學題時，把某個式子看成一個整體，用一個變量去代替它，從而使問題得到簡化，這叫換元法。換元的實質是轉化，關鍵是構造元和設元，理論依據是等量代換，目的是變換研究對象，將問題移至新對象的知識背景中去研究，從而使非標準型問題標準化、復雜問題簡單化，變得容易處理。換元法又稱輔助元素法、變量代換法。通過引進新的變量，可以把分散的條件聯系起來，隱含的條件顯露出來，或者把條件與結論聯系起來。或者變為熟悉的形式，把復雜的計算和推證簡化。

【練11】（1）（高考變式題）設a>0，000求f(x)＝2a(sinx＋cosx)－sinx?cosx－2a的最大值和最小值。

答案：f(x)的最小值為－2a－2a－，最大值為

（2）不等式>ax＋的解集是(4,b)，則a＝________，b＝_______。

答案：（提示令換元原不等式變為關于t的一元二次不等式的解集為）

【易錯點12】已知求時, 易忽略n＝１的情況．

例12、（2005高考北京卷）數列前n項和且。（1）求的值及數列的通項公式。

【易錯點分析】此題在應用與的關系時誤認為對于任意n值都成立，忽略了對n=1的情況的驗證。易得出數列為等比數列的錯誤結論。

解析：易求得。由得故得又，故該數列從第二項開始為等比數列故。

【知識點歸類點拔】對于數列與之間有如下關系：利用兩者之間的關系可以已知求。但注意只有在當適合時兩者才可以合并否則要寫分段函數的形式。

【練12】（2004全國理）已知數列滿足則數列的通項為               。

答案：（將條件右端視為數列的前n-1項和利用公式法解答即可）

【易錯點13】利用函數知識求解數列的最大項及前n項和最大值時易忽略其定義域限制是正整數集或其子集（從1開始）

例13、等差數列的首項，前n項和，當時，。問n為何值時最大?

【易錯點分析】等差數列的前n項和是關于n的二次函數，可將問題轉化為求解關于n的二次函數的最大值，但易忘記此二次函數的定義域為正整數集這個限制條件。

解析：由題意知=此函數是以n為變量的二次函數，因為，當時，故即此二次函數開口向下，故由得當時取得最大值，但由于，故若為偶數，當時，最大。

當為奇數時，當時最大。

【知識點歸類點拔】數列的通項公式及前n項和公式都可視為定義域為正整數集或其子集（從1開始）上的函數，因此在解題過程中要樹立函數思想及觀點應用函數知識解決問題。特別的等差數列的前n項和公式是關于n的二次函數且沒有常數項，反之滿足形如所對應的數列也必然是等差數列的前n項和。此時由知數列中的點是同一直線上，這也是一個很重要的結論。此外形如前n項和所對應的數列必為一等比數列的前n項和。

【練13】（2001全國高考題）設是等差數列，是前n項和，且，，則下列結論錯誤的是（）A、B、C、 D、和均為的最大值。

答案：C（提示利用二次函數的知識得等差數列前n項和關于n的二次函數的對稱軸再結合單調性解答）

【易錯點14】解答數列問題時沒有結合等差、等比數列的性質解答使解題思維受阻或解答過程繁瑣。

例14、已知關于的方程和的四個根組成首項為的等差數列，求的值。

【思維分析】注意到兩方程的兩根之和相等這個隱含條件，結合等差數列的性質明確等差數列中的項是如何排列的。

解析：不妨設是方程的根，由于兩方程的兩根之和相等故由等差數列的性質知方程的另一根是此等差數列的第四項，而方程的兩根是等差數列的中間兩項，根據等差數列知識易知此等差數列為：故從而=。

【知識點歸類點拔】等差數列和等比數列的性質是數列知識的一個重要方面，有解題中充分運用數列的性質往往起到事半功倍的效果。例如對于等差數列，若，則；對于等比數列，若，則；若數列是等比數列，是其前n項的和，，那么，，成等比數列；若數列是等差數列，是其前n項的和，，那么，，成等差數列等性質要熟練和靈活應用。

【練14】（2003全國理天津理）已知方程和的四個根組成一個首項為的等差數列，則=（）  A、1  B、 C、  D、

答案：C

【易錯點15】用等比數列求和公式求和時，易忽略公比ｑ＝１的情況

例15、數列中，，，數列是公比為（）的等比數列。

（I）求使成立的的取值范圍；（II）求數列的前項的和．

【易錯點分析】對于等比數列的前n項和易忽略公比q=1的特殊情況，造成概念性錯誤。再者學生沒有從定義出發研究條件數列是公比為（）的等比數列得到數列奇數項和偶數項成等比數列而找不到解題突破口。使思維受阻。

解：（I）∵數列是公比為的等比數列，∴，，由得，即（），解得．

（II）由數列是公比為的等比數列，得，這表明數列的所有奇數項成等比數列，所有偶數項成等比數列，且公比都是，又，，∴當時，

，當時，．

【知識點歸類點拔】本題中拆成的兩個數列都是等比數列，其中是解題的關鍵，這種給出數列的形式值得關注。另外，不要以為奇數項、偶數項都成等比數列，且公比相等，就是整個數列成等比數列，解題時要慎重，寫出數列的前幾項進行觀察就得出正確結論.對等比數列的求和一定要注意其公比為1這種特殊情況。高考往往就是在這里人為的設計陷阱使考生產生對現而不全的錯誤。

【練15】（2005高考全國卷一第一問）設等比數列的公比為q，前n項和（1）求q的取值范圍。

答案：

【易錯點16】在數列求和中對求一等差數列與一等比數列的積構成的數列的前n項和不會采用錯項相減法或解答結果不到位。

例16、．（2003北京理）已知數列是等差數列，且

（1）求數列的通項公式（2）令求數列前項和的公式。

【思維分析】本題根據條件確定數列的通項公式再由數列的通項公式分析可知數列是一個等差數列和一個等比數列構成的“差比數列”，可用錯項相減的方法求和。

解析：（1）易求得

（2）由（1）得令（Ⅰ）則（Ⅱ）用（Ⅰ）減去（Ⅱ）（注意錯過一位再相減）得當當時

綜上可得：

當當時

【知識點歸類點拔】一般情況下對于數列有其中數列和分別為等差數列和等比數列，則其前n項和可通過在原數列的每一項的基礎上都乘上等比數列的公比再錯過一項相減的方法來求解，實際上課本上等比數列的求和公式就是這種情況的特例。

【練16】（2005全國卷一理）已知當時，求數列的前n項和

答案：時當時.

【易錯點17】不能根據數列的通項的特點尋找相應的求和方法，在應用裂項求和方法時對裂項后抵消項的規律不清，導致多項或少項。

例17、求…．

【易錯點分析】本題解答時一方面若不從通項入手分析各項的特點就很難找到解題突破口，其次在裂項抵消中間項的過程中，對消去哪些項剩余哪些項規律不清而導致解題失誤。

解：由等差數列的前項和公式得，∴，取，，，…，就分別得到，…，∴

．

【知識歸類點拔】“裂項法”有兩個特點，一是每個分式的分子相同；二是每項的分母都是兩個數（也可三個或更多）相乘，且這兩個數的第一個數是前一項的第二個數，如果不具備這些特點，就要進行轉化。同是要明確消項的規律一般情況下剩余項是前后對稱的。常見的變形題除本題外，還有其它形式，例如：求，方法還是抓通項，即，問題會很容易解決。另外還有一些類似“裂項法”的題目，如：，求其前項和，可通過分母有理化的方法解決。數列求和的常用方法：公式法、裂項相消法、錯位相減法、倒序相加法等。

【練17】（2005濟南統考）求和＋＋＋…＋．

答案：…＝．

【易錯點18】易由特殊性代替一般性誤將必要條件當做充分條件或充要條件使用，缺乏嚴謹的邏輯思維。

例18、（2004年高考數學江蘇卷，20）設無窮等差數列{a_n}的前n項和為S_n.

(Ⅰ)若首項，公差，求滿足的正整數k；

(Ⅱ)求所有的無窮等差數列{a_n}，使得對于一切正整數k都有成立.

【易錯點分析】本小題主要考查數列的基本知識，以及運用數學知識分析和解決問題的能力.學生在解第(Ⅱ)時極易根據條件“對于一切正整數k都有成立”這句話將k取兩個特殊值確定出等差數列的首項和公差，但沒有認識到求解出的等差數列僅是對已知條件成立的必要條件，但不是條件成立的充分條件。還應進一步的由特殊到一般。

        解：（I）當時

        由，即   又.

        （II）設數列{a_n}的公差為d，則在中分別取k=1,2,得

        由（1）得 當

        若成立          ,

若故所得數列不符合題意.當

        若

        若.

        綜上，共有3個滿足條件的無窮等差數列：

        ①{a_n} : a_n=0，即0，0，0，…；②{a_n} : a_n=1，即1，1，1，…；                                         ③{a_n} : a_n=2n－1，即1，3，5，…，

【知識點歸類點拔】事實上，“條件中使得對于一切正整數k都有成立.”就等價于關于k的方程的解是一切正整數又轉化為關于k的方程的各項系數同時為零，于是本題也可采用這程等價轉化的思想解答，這樣做就能避免因忽視充分性的檢驗而犯下的邏輯錯誤。在上述解法中一定要注意這種特殊與一般的關系。

【練18】（1）（2000全國）已知數列,其中,且數列為等比數列.求常數p

答案：p=2或p=3（提示可令n=1,2,3根據等比中項的性質建立關于p的方程，再說明p值對任意自然數n都成立）

【易錯點19】用判別式判定方程解的個數（或交點的個數）時，易忽略討論二次項的系數是否為０．尤其是直線與圓錐曲線相交時更易忽略.

例19、已知雙曲線，直線，討論直線與雙曲線公共點的個數

【易錯點分析】討論直線與曲線的位置關系，一般將直線與曲線的方程聯立，組成方程組，方程組有幾解，則直線與曲線就有幾個交點，但在消元后轉化為關于x或y的方程后，易忽視對方程的種類進行討論而主觀的誤認為方程就是二次方程只利用判別式解答。

解析：聯立方程組消去y得到（1）當時，即，方程為關于x的一次方程，此時方程組只有解，即直線與雙曲線只有一個交點。（2）當時即，方程組只有一解，故直線與雙曲線有一個交點（3）當時，方程組有兩個交點此時且。（4）當時即或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。

綜上知當或時直線與雙曲線只有一個交點，當且。時直線與雙曲線有兩個交點，當或時方程組無解此時直線與雙曲線無交點。

【知識點歸類點拔】判斷直線與雙曲線的位置關系有兩種方法：一種代數方法即判斷方程組解的個數對應于直線與雙曲線的交點個數另一種方法借助于漸進線的性質利用數形結合的方法解答，并且這兩種方法的對應關系如下上題中的第一種情況對應于直線與雙曲線的漸進線平行，此時叫做直線與雙曲線相交但只有一個公共點，通過這一點也說明直線與雙曲線只有一個公共點是直線與雙曲線相切的必要但不充分條件。第二種情況對應于直線與雙曲線相切。通過本題可以加深體會這種數與形的統一。

【練19】（1）（2005重慶卷）已知橢圓的方程為，雙曲線的左右焦點分別為的左右頂點，而的左右頂點分別是的左右焦點。（1）求雙曲線的方程（2）若直線與橢圓及雙曲線恒有兩個不同的交點，且與的兩個交點A和B滿足，其中O為原點，求k的取值范圍。答案：（1）（2）

（2）已知雙曲線C： ，過點P（1，1）作直線l, 使l與C有且只有一個公共點，則滿足上述條件的直線l共有____條。答案：4條（可知k_l存在時，令l: y-1=k(x-1)代入中整理有(4-k²)x²+2k(k-1)x-

(1-k²)-4=0,∴ 當4-k²=0即k=±2時，有一個公共點；當k≠±2時，由Δ=0有，有一個切點另：當k_l不存在時，x=1也和曲線C有一個切點∴綜上，共有4條滿足條件的直線）

【易錯點20】易遺忘關于和齊次式的處理方法。

例20、已知，求（1）；（2）的值.

【思維分析】將式子轉化為正切如利用可將（2）式分子分母除去即可。

解：（1）；

     (2) 

         .

【知識點歸類點拔】利用齊次式的結構特點（如果不具備，通過構造的辦法得到），進行弦、切互化，就會使解題過程簡化。

這些統稱為1的代換) 常數 “1”的種種代換有著廣泛的應用．

【練20】．（2004年湖北卷理科）

已知的值.

答案：（原式可化為，）

【易錯點21】解答數列應用題，審題不嚴易將有關數列的第n項與數列的前n項和混淆導致錯誤解答。

例21、如果能將一張厚度為0.05mm的報紙對拆,再對拆....對拆50次后,報紙的厚度是多少?你相信這時報紙的厚度可以在地球和月球之間建一座橋嗎?(已知地球與月球的距離約為米)

【易錯點分析】對拆50次后,報紙的厚度應理解一等比數列的第n項,易誤理解為是比等比數列的前n項和。

解析：對拆一次厚度增加為原來的一倍，設每次對拆厚度構成數列，則數列是以米為首項，公比為2的等比數列。從而對拆50次后紙的厚度是此等比數列的第51項，利用等比數列的通項公式易得a₅₁=0.05×10^-3×2⁵⁰=5.63×10¹⁰,而地球和月球間的距離為4×10⁸<5.63×10¹⁰故可建一座橋。

【知識點歸類點拔】 以數列為數學模型的應用題曾是高考考查的熱點內容之一，其中有很多問題都是涉及到等差或者等比數列的前n項和或第n項的問題，在審題過程中一定要將兩者區分開來。

【練21】（2001全國高考）從社會效益和經濟效益出發，某地投入資金進行生態環境建設，并以此發展旅游產業，根據規劃，本年度投入800萬元，以后每年投入將比上年減少，本年度當地旅游業收入估計為400萬元，由于該項建設對旅游業的促進作用，預計今后的旅游業收入每年會比上年增加.

(1)設n年內(本年度為第一年)總投入為a_n萬元，旅游業總收入為b_n萬元，寫出a_n,b_n的表達式；

(2)至少經過幾年，旅游業的總收入才能超過總投入

（1）a_n=800+800×(1－)+…+800×(1－)^n－1=800×(1－)^k－1=4000×［1－()ⁿ］

b_n=400+400×(1+)+…+400×(1+)^k－1=400×()^k－1=1600×［()ⁿ－1］

（2）至少經過5年，旅游業的總收入才能超過總投入

【易錯點22】單位圓中的三角函數線在解題中一方面學生易對此知識遺忘，應用意識不強，另一方面易將角的三角函數值所對應的三角函數線與線段的長度二者等同起來，產生概念性的錯誤。

例21、下列命題正確的是（）

A、、都是第二象限角，若，則B、、都是第三象限角，若，則C、、都是第四象限角，若，則D、、都是第一象限角，若，則。

【易錯點分析】學生在解答此題時易出現如下錯誤：（1）將象限角簡單理解為銳角或鈍角或270到360度之間的角。（2）思維轉向利用三角函數的單調性，沒有應用三角函數線比較兩角三角函數值大小的意識而使思維受阻。

解析：A、由三角函數易知此時角的正切線的數量比角的正切線的數量要小即B、同理可知C、知滿足條件的角的正切線的數量比角的正切線的數量要大即。正確。D、同理可知應為。

【知識點歸類點拔】單位圓的三角函數線將抽象的角的三角函數值同直觀的有向線段的數量對應起來，體現了數形結合的數學思想，要注意一點的就是角的三角函數值是有向線段的數量而不是長度。三角函數線在解三角不等式、比較角的同名函數值的大小、三角關系式的證明都有著廣泛的應用并且在這些方面有著一定的優越性。例如利用三角函數線易知，等。

【練22】（2000全國高考）已知，那么下列命題正確的是（）

A、  若、都是第一象限角，則B、若、都是第二象限角，則

B、  若、都是第三象限角，則D、若、都是第四象限角，則

答案：D

【易錯點23】在利用三角函數的圖象變換中的周期變換和相位變換解題時。易將和求錯。

例23．要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（）

A、  先將每個x值擴大到原來的4倍，y值不變，再向右平移個單位。

B、  先將每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向左平移個單位。

C、  先把每個x值擴大到原來的4倍，y值不變，再向左平移個單位。

D、  先把每個x值縮小到原來的倍，y值不變，再向右平移個單位。

【易錯點分析】變換成是把每個x值縮小到原來的倍，有的同學誤認為是擴大到原來的倍，這樣就誤選A或C，再把平移到有的同學平移方向錯了，

有的同學平移的單位誤認為是。

解析：由變形為常見有兩種變換方式，一種先進行周期變換，即將的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍得到函數的圖象，

再將函數的圖象縱坐標不變，橫坐標向右平移單位。即得函數。

或者先進行相位變換，即將的圖象上各點的縱坐標不變，橫坐標向右平移個單位，得到函數的圖象，再將其橫坐標變為原來的4倍即得即得函數的圖象。

【知識點歸類點拔】利用圖角變換作圖是作出函數圖象的一種重要的方法，一般地由得到

的圖象有如下兩種思路：一先進行振幅變換即由橫坐標不變，縱坐標變為原來的A倍得到，再進行周期變換即由 縱坐標不變，橫坐標變為原來的倍，得到，再進行相位變換即由橫坐標向左（右）平移個單位，即得，另種就是先進行了振幅變換后，再進行相位變換即由向左（右）平移個單位，即得到函數的圖象，再將其橫坐標變為原來的倍即得。不論哪一種變換都要注意一點就是不論哪一種變換都是對純粹的變量x來說的。

【練23】（2005全國卷天津卷）要得到的圖象，只需將函數的圖象上所有的點的

A、  橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度。B、橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度。C、橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向左平移個單位長度。D、橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變），再向右平移個單位長度。

答案：C

【易錯點24】沒有挖掘題目中的確隱含條件，忽視對角的范圍的限制而造成增解現象。

例24、已知，求的值。

【易錯點分析】本題可依據條件，利用可解得的值，再通過解方程組的方法即可解得、的值。但在解題過程中易忽視這個隱含條件來確定角范圍，主觀認為的值可正可負從而造成增解。

解析：據已知（1）有，又由于，故有，從而即（2）聯立（1）（2）可得，可得。

【知識點歸類點拔】在三角函數的化簡求值過程中，角的范圍的確定一直是其重點和難點，在解題過程中要注意在已有條件的基礎上挖掘隱含條件如：結合角的三角函數值的符號、三角形中各內角均在區間內、與已知角的三角函數值的大小比較結合三角函數的單調性等。本題中實際上由單位圓中的三角函數線可知若則必有,故必有。

【練24】（1994全國高考）已知，則的值是       。

答案：

【易錯點25】根據已知條件確定角的大小，沒有通過確定角的三角函數值再求角的意識或確定角的三角函數名稱不適當造成錯解。

例25、若，且、均為銳角，求的值。

【易錯點分析】本題在解答過程中，若求的正弦，這時由于正弦函數在區間內不單調故滿足條件的角有兩個，兩個是否都滿足還需進一步檢驗這就給解答帶來了困難，但若求的余弦就不易出錯，這是因為余弦函數在內單調，滿足條件的角唯一。

解析：由且、均為銳角知解析：由且、均為銳角知,則由、均為銳角即故

【知識點歸類點拔】根據已知條件確定角的大小，一定要轉化為確定該角的某個三角函數值，再根據此三

角函數值確定角這是求角的必然步驟，在這里要注意兩點一就是要結合角的范圍選擇合適的三角函數名稱

同時要注意盡量用已知角表示待求角，這就需要一定的角的變換技巧如：等。

二是依據三角函數值求角時要注意確定角的范圍的技巧。

【練25】（1）在三角形中，已知，求三角形的內角C的大小。

答案：（提示確定已知角的余弦值，并結合已知條件確定角A的范圍）

（2）（2002天津理，17）已知cos（α＋）＝≤α＜，求cos（2α＋）的值.

答案：=－

【易錯點26】對正弦型函數及余弦型函數的性質：如圖象、對稱軸、對稱中心易遺忘或沒有深刻理解其意義。

例26、如果函數的圖象關于直線對稱，那么a等于（    ）

A. B.－ C.1   D.－1

【易錯點分析】函數的對稱軸一定經過圖象的波峰頂或波谷底，且與y軸平行，而對稱中心是圖象與x軸的交點，學生對函數的對稱性不理解誤認為當時，y=0，導致解答出錯。

解析：（法一）函數的解析式可化為，故的最大值為，依題意，直線是函數的對稱軸，則它通過函數的最大值或最小值點即

，解得.故選D

（法二）依題意函數為,直線是函數的對稱軸,故有，即：，而

故，從而故選D.

（法三）若函數關于直線是函數的對稱則必有，代入即得。

【知識點歸類點拔】對于正弦型函數及余弦型函數它們有無窮多條對稱軸及無數多個對稱中心，它們的意義是分別使得函數取得最值的x值和使得函數值為零的x值，這是它們的幾何和代數特征。希望同學們認真學習本題的三種解法根據具體問題的不同靈活處理。

【練26】（1）（2003年高考江蘇卷18）已知函數上R上的偶函數，其圖象關于點對稱，且在區間上是單調函數，求和ω的值.

答案：或。

（2）（2005全國卷一第17題第一問）設函數的，圖象的一條對稱軸是直線，求  答案：=

【易錯點27】利用正弦定理解三角形時，若已知三角形的兩邊及其一邊的對角解三角形時，易忽視三角形解的個數。

例27、在中，。求的面積

【易錯點分析】根據三角形面積公式，只需利用正弦定理確定三角形的內角C，則相應的三角形內角A即可確定再利用即可求得。但由于正弦函數在區間內不嚴格格單調所以滿足條件的角可能不唯一，這時要借助已知條件加以檢驗，務必做到不漏解、不多解。

解析：根據正弦定理知：即得，由于即滿足條件的三角形有兩個故或.則或故相應的三角形面積為或.

【知識點歸類點拔】正弦定理和余弦定理是解三角形的兩個重要工具，它溝通了三角形中的邊角之間的內在聯系，正弦定理能夠解決兩類問題（1）已知兩角及其一邊，求其它的邊和角。這時有且只有一解。（2）已知兩邊和其中一邊的對角，求其它的邊和角,這是由于正弦函數在在區間內不嚴格格單調，此時三角形解的情況可能是無解、一解、兩解，可通過幾何法來作出判斷三角形解的個數。如：在中，已知a,b和A解的情況如下：

（1）        當A為銳角

（2）若A為直角或鈍角

【練27】（2001全國）如果滿足，，的三角表恰有一個那么k的取值范圍是（）A、B、C、D、或

答案：D

【易錯點28】三角形中的三角函數問題。對三角變換同三角形邊、角之間知識的結合的綜合應用程度不夠。

例28、（1）（2005湖南高考）已知在△ABC中，sinA（sinB＋cosB）－sinC＝0，sinB＋cos2C＝0，求角A、B、C的大小.

【易錯點分析】本題在解答過程中若忽視三角形中三內角的聯系及三角形各內角大小范圍的限制，易使思維受阻或解答出現增解現象。

解法一  由得

所以即

因為所以，從而由知從而.由即由此得所以

解法二：由由、，所以即由得

所以  即因為，所以由從而，知B+2C=不合要求.再由，得所以

2、（北京市東城區2005年高三年級四月份綜合練習）在△ABC中，a、b、c分別是角A、B、C的對邊，且 （Ⅰ）求角B的大小（Ⅱ）若，求△ABC的面積.

【思維分析】根據正弦定理和余弦定理將條件化為三角形邊的關系或角的關系解答。

（Ⅰ）解法一：由正弦定理得將上式代入已知即故A+B+C=，為三角形的內角，.

解法二：由余弦定理得將上式代入         整理得

為三角形的內角，.

（Ⅱ）將代入余弦定理得

【知識點歸類點拔】三角形中的三角函數問題一直是高考的熱點內容之一。對正余弦定理的考查主要涉及三角形的邊角互化（如判斷三角形的形狀等，利用正、余弦定理將條件中含有的邊和角的關系轉化為邊或角的關系是解三角形的常規思路），三角形內的三角函數求值、三角恒等式的證明、三角形外接圓的半徑等都體現了三角函數知識與三角形知識的交匯，體現了高考命題的原則。

【練28】（1）（2004年北京春季高考）在中，a，b，c分別是的對邊長，已知a，b，c成等比數列，且，求的大小及的值。

答案：，

（2）（2005天津）在△ABC中，∠A、∠B、∠C所對的邊長分別為a、b、c，設a、b、c滿足條件和。求∠A和的值。

答案：，

【易錯點29】含參分式不等式的解法。易對分類討論的標準把握不準，分類討論達不到不重不漏的目的。

例29、解關于x的不等式＞1(a≠1).

【易錯點分析】將不等式化為關于x的一元二次不等式后，忽視對二次項系數的正負的討論，導致錯解。

解：原不等式可化為：＞0，即［(a－1)x+(2－a)］(x－2)＞0.

當a＞1時，原不等式與(x－)(x－2)＞0同解.若≥2，即0≤a＜1時，原不等式無解；若＜2，即a＜0或a＞1，于是a＞1時原不等式的解為(－∞，)∪(2，+∞).

當a＜1時，若a＜0，解集為(，2)；若0＜a＜1，解集為(2，)

綜上所述：當a＞1時解集為(－∞，)∪(2，+∞)；當0＜a＜1時，解集為(2，)；當a=0時，解集為；當a＜0時，解集為(，2).

【知識點分類點拔】解不等式對學生的運算化簡等價轉化能力有較高的要求，隨著高考命題原則向能力立意的進一步轉化，對解不等式的考查將會更是熱點，解不等式需要注意下面幾個問題：

(1)熟練掌握一元一次不等式(組)、一元二次不等式(組)的解法.

(2)掌握用序軸標根法解高次不等式和分式不等式，特別要注意因式的處理方法.

(3)掌握無理不等式的三種類型的等價形式，指數和對數不等式的幾種基本類型的解法.

(4)掌握含絕對值不等式的幾種基本類型的解法.

(5)在解不等式的過程中，要充分運用自己的分析能力，把原不等式等價地轉化為易解的不等式.(6)對于含字母的不等式，要能按照正確的分類標準，進行分類討論.

【練29】（2005年江西高考）已知函數為常數）,且方程有兩個實根為

（1）求函數的解析式；（2）設,解關于的不等式：

答案：①當時,解集為②當時,不等式為解集為③當時,解集為

【易錯點30】求函數的定義域與求函數值域錯位

例30、已知函數（1）如果函數的定義域為R求實數m的取值范圍。（2）如果函數的值域為R求實數m的取值范圍。

【易錯點分析】此題學生易忽視對是否為零的討論，而導致思維不全面而漏解。另一方面對兩個問題中定義域為R和值域為R的含義理解不透徹導致錯解。

解析：（1）據題意知若函數的定義域為R即對任意的x值恒成立，令，當=0時，即或。經驗證當時適合，當時，據二次函數知識若對任意x值函數值大于零恒成立，只需解之得或綜上所知m的取值范圍為或。

（2）如果函數的值域為R即對數的真數能取到任意的正數，令當=0時，即或。經驗證當時適合，當時，據二次函數知識知要使的函數值取得所有正值只需解之得綜上可知滿足題意的m的取值范圍是。

【知識點歸類點拔】對于二次型函數或二次型不等式若二次項系數含有字母，要注意對字母是否為零進行討論即函數是一次函數還是二次函數不等式是一次不等式還是二次不等式。同時通過本題的解析同學們要認真體會這種函數與不等式二者在解題中的結合要通過二者的相互轉化而獲得解題的突破破口。再者本題中函數的定義域和值域為R是兩個不同的概念，前者是對任意的自變量x的值函數值恒正，后者是函數值必須取遍所有的正值二者有本質上的區別。

【練30】已知函數的定義域和值域分別為R試分別確定滿足條件的a的取值范圍。答案：（1）或（2）或

【易錯點31】不等式的證明方法。學生不能據已知條件選擇相應的證明方法,達不到對各種證明方法的靈活應用程度。

例31、已知a＞0，b＞0，且a+b=1.求證：(a+)(b+)≥.

【易錯點分析】此題若直接應用重要不等式證明，顯然a+和 b+不能同時取得等號，本題可有如下證明方法。

證法一：(分析綜合法）欲證原式，即證4(ab)²+4(a²+b²)－25ab+4≥0，即證4(ab)²－33(ab)+8≥0，即證ab≤或ab≥8.∵a＞0，b＞0，a+b=1，∴ab≥8不可能成立∵1=a+b≥2試題詳情