1. m和n都是正整數，a1,a2,...,am是{1,2,...,n}中不同的數，只要有ai +aj≤ n（i,j可能相同）那么就有某個k使ai +aj=ak，
求證(a1+...+am)/m≥(n+1)/2。
2. △ABC是等腰三角形，AB=AC，M是BC的中點，O是線AM上的點且OB⊥AB，Q為線段BC上不同于B,C 的任意一點，E,F分別在AB,AC上使得E,Q,F不同并共線。
求證：OQ⊥EF當且僅當QE=QF。
3. 對任何正整數k，定義f(k)為集合{k+1,k+2,...,2k}中的用二進制表示后恰有3個1的元素的個數，
求證對于每個正整數m，存在至少一個k使f(k)=m；并求出使得恰有一個k的所有m值。
4. 試求出所有的正整數對(m,n)使得(n3+1)/(mn-1)是整數。
5. S是所有大于-1的實數集，試找出所有的從S到S的函數f滿足對所有x,y,f(x+f(y)+xf(y))=y+f(x)+yf(x),并且對于-1<x<0和0<x，f(x)/x使嚴格遞增的。
6. 試證明存在滿足下列性質的正整數集合A：對任何由素數構成的無限集S，都有k≥2以及兩個正整數m,n，m ∈A, n不∈A，m和n都是S中k個不同元素的乘積。
1. 設f(x)=xn+5xn-1+3，其中n>1是一個整數。
求證f(x)不能表示成兩個非常數的整系數得多項式的乘積。
2. 設D是銳角三角形ABC內部一點且∠ADB=∠ACB+90o，AC?BD=AD?BC，
3.
在一個無限大的棋盤上以如下方式做游戲。開始時棋盤中的一個n×n的框上整齊的擺放著n2個棋子（每個小方格上放著一個棋子），游戲的每一步都是在水平或者豎直方向上跨越一個棋子而
跳到一個空格子上去，并同時取走所跨越過的棋子。
試找出所有的n值使得游戲以只留一個棋子在棋盤上而結束。
4. 對平面上的三個點P,Q,R，定義m(PQR)為△PQR的最短高的長度(如果P,Q,R共線當然有 m(PQR)=0)。
求證對任何點A,B,C,X有m(ABC)≤m(ABX)+m(AXC)+m(XBC)。
5.
問是否存在一個從正整數到正整數的函數f使得f(1)=2, f(f(n))=f(n)+n對所有n，并且
f(n<f(n+1))？
6. 有n>1盞燈L0,L1，...,Ln-1繞成一圈，為方便Ln+k也表示Lk。 一盞燈只有開或關兩個狀態，初始時刻它們全是開著的，依次執行步驟s0,s1,...,：在步驟si， 如果Li-1點燃，就關掉Li，否則什么都不做。試證明：
1. 試找出所有的整數a,b,c滿足1<a<b<c并且(a-1)(b-1)(c-1)是abc-1的因子。
2. 找出所有定義在實數上并且取值也是實數的函數f使得對所有x,y都有
f(x2+f(y))=y+f(x)2。
3. 空間中有9個點，無4點共面，每兩點之間連接一個被染上紅色或藍色或者不染色的線段，試找出最小的n使得，只要恰好有n條線段被染色，這些染色的線段一定包含一個同色三角形（即三角形的三邊被染上相同的顏色）。
4. L是圓Γ的一條切線，M是L上的一點，試找出所有這樣的點P的軌跡：存在L上的關于M對稱的兩點Q,R，△PQR的內切圓是Γ。
5. 設S是三維空間中的一個有限點集， 集合Sx,Sy,Sz分別是S在平面yz,zx,xy上的投影，
求證：|S|2<=|Sx|?|Sy|?|Sz|。
其中|A|表示集合A的元素個數。
[注：一個點到一個平面上正交投影指的是該點到平面作垂線的垂足。]
6. 對正整數n，S(n)是滿足如下條件最大的整數：對每個正整數k<= S(n)，n2都可寫成k個完全平方數的和。
1. 設I是△ABC的內心，∠A,∠B,∠C的交平分線分別交對邊于A',B',C'點，求證:
1
<
AI?BI?CI
≤
8
4
AA'?BB'?CC'
27
2. 設n>6是一個整數，a1,a2,...,ak 都是小于n的正整數并且與n互素。
如果a2-a1=a3-a2=... =ak-ak-1>,
求證，n是質數或者是2的冪次方。
3. 試找出最小的整數n使得每一個S的n元子集都包含5個兩兩互素的數。
4. 設G是一個有k條邊的連通圖，試證明可是對這些邊編號1,2,...,k使得對于每個屬于兩條或兩條以上的邊的頂點， 從這個頂點出發的所有邊的標號的最大公約數是1。
注：一個圖是由一組頂點和一些連接這些頂點的線段（稱為邊）組成。 每對頂點之間最多有1條邊。如果對圖中的任何兩個不同的頂點x,y都有一些頂點x=v0,v1,..., vm=y使得vi,vi+1(0<=i<m)之間都有一條邊，則稱這個圖是連通的。
5. X是△ABC內部中的一個點，試證明∠XAB,∠XBC, ∠XCA中至少有一個不大于30o。
6. 任意給定一個實數a>1，試構造一個有界的無限序列x0,x1,x2,...
使得對任何x≠y都有|xi-xj||i-j|a>=1。
注：一個無限實數序列x0,x1,x2,... 是有界的如果存在一個常數C使得|xi|<C對任何i成立。
1. 弦AB,CD相交于圓內一點E，M是線段EB上的一點，過E點與△DEM外接圓的切線分別交BC,AC于F,G。
設t=AM/AB，試用t表示EF/EG。
2. 設n>=3，考慮一個圓上由2n-1個不同點構成的集合E。現給E中恰好k個點染上黑色，如果至少有一對黑點使得這兩個黑點之間的弧上（兩段弧中的某一個）包含恰好E中的n個點，就成這樣的染色方法是“好的”。
試找出對于集合E能保證任意一種染色方法都是“好的”的最小的k值。
3. 試找出所有大于1的正整數n滿足(2n+1)/n2也是整數。
4. 試構造一個從正有理數集到正有理數集的函數f使
f(xf(y))=f(x)/y 對任何x,y都成立。
5. 給定一個初始整數n0>1，兩個玩家A,B根據下述規則交替的選擇整數n1,n2,n3,...：
若A選到了數1990就獲勝；若B選到了1就獲勝。分別求除滿足下述條件之一的n0：
(1) A有必勝策略；
(2) B有必勝策略；
(3) A,B都沒有必勝策略。
6. 求證存在一個凸1990邊形使得所有角都相等并且邊長是12,22,...,19902（順序不定）。
1. 試證明集合{1,2,...,1989}可以分拆成117個子集合A1,A2,...,A117 （即這些子集合互不相交且并集為整個集合），滿足每個Ai包含17個元素，并且每個Ai中元素之和都相等。
2. 銳角△ABC，內角∠A的角平分線交△ABC的外界圓于A_1，類似定義B1,C1點。設AA1與∠ B,∠C的外交平分線交于A0點，類似定義B0,C0點。
求證：△A0B0C0的面積是六邊形AC1BA1CB1的 兩倍也是△ABC面積的至少4倍。
3. 設n,k是正整數，S是由平面上n個點構成的集合并且無三線共點，對任何S中的點P至少存在S中的k個點與P等距離。
求證： k<1/2+√2n。
4. 凸四邊形ABCD的邊AB,AD,BC滿足AB=AD+BC，四邊形內部有一與直線CD距離為h的點P，并且AP=h+AD，BP=h+BC，
求證：1/√h<=1/√AD+1/√BC。
5. 試證明對每個正整數n，存在n個連續的正整數使得其中無素數或素數的冪。
6. 設{x1,x2,...,xm} 是{1,2,...,2n}的一個排列，其中n是一個正整數。如果|xi-xi+1|=n對至少 {1,2,...,2n-1}中的一個i成立就說這個排列{x1,x2,...,xm}具有性質P。 試證明對于任意的n，具有性質P的排列都比不具有的多。
1. 找出所有具有下列性質的三位數 N：N能被11整除且 N/11等于N的各位數字的平方和。
2. 尋找使下式成立的實數x：
4x2/(1 - √(1 + 2x))2 < 2x + 9
3. 直角三角形ABC的斜邊BC的長為a，將它分成 n 等份（n為奇數），令a為從A點向中間的那一小段線段所張的銳角，從A到BC邊的高長為h，求證：
tan a = 4nh/(an2 - a).
4. 已知從A、B引出的高線長度以及從A引出的中線長，求作三角形ABC。
5. 正方體ABCDA'B'C'D'（上底面ABCD，下底面A'B'C'D'）。X是對角線AC上任意一點，Y是B'D'上任意一點。
6. 一個圓錐內有一內接球，又有一圓柱體外切于此圓球，其底面落在圓錐的底面上。令V1 為圓錐的體積，V2 為圓柱的體積。
(a). 求證：V1 不等于 V2 ；
(b). 求V1/V2 的最小值；并在此情況下作出圓錐頂角的一般。
7. 等腰梯形ABCD，AB平行于DC，BC=AD。令AB=a,CD=c，梯形的高為 h。X點在對稱軸上并使得 角BXC、AXD都是直角。試作出所有這樣的X點并計算X到兩底的距離；再討論在什么樣的條件下這樣的X點確實存在。
1. 考慮平面上同一圓心的兩個半徑分別為R > r的圓。P點是小圓上一個固定的點，B使大圓上的動點，BP交大圓于C，過P點作BP的垂線交小圓于A點（如果相切則A=P），
2. n是正整數， A1, A2, ... , A2n+1 都是集合B的子集，假設
試問對于什么樣的n值有辦法將B中的元素都標上0或1使得每個 Ai 都恰好包含n個標0的元素。
3. 函數 f 定義在正整數集上：f(1) = 1; f(3) = 3; 且對每個正整數 n 有
f(2n) = f(n), f(4n + 1) = 2f(2n + 1) - f(n)。
試確定小于或等于1988并滿足 f(n) = n 的正整數 n 的個數。
4. 試證明滿足
1/(x - 1) + 2/(x - 2) + 3/(x - 3) + ... + 70/(x - 70) >= 5/4.
的所有實數 x 的集合是一些互不相交的區間的并集，并且這些區間的長度之和是 1988。
5. 三角形△ABC, 角∠A是直角，D是BC邊上的高的垂足。三角形△ABD、三角形△ACD 的內心的連線分別交邊AB, AC于K,L。求證：三角形ABC的面積是三角形AKL的面積的至少兩倍。
6. a,b都是正整數，且 ab+1整除 a2 + b2. 求證(a2 + b2)/(ab + 1)是完全平方數。
1. 設 pn(k) 是集合{1, 2, 3, ... , n} 上具有 k 個固定點的排列的個數，求證 k從 0 到 n 對(k pn(k) )的求和是 n!。
[一個集合S的一個排列是從S到它自身的一一映射。元素 i 稱為是 f 固定點如果 f(i) = i。]
2. 銳交三角形ABC 的內角A的角平分線交BC于 L，交ABC的外接圓于 N，從 L 點向 AB,AC做垂線，垂足分別是 K、M，求證四邊形 AKNM的面積與三角形ABC的面積相等。
3. x1, x2, ... , xn 是實數并且滿足x12 + x22 + ... + xn2 = 1，求證對每個正整數k >= 2存在不全為0的整數a1, a2, ... , an，使得對每個 i有|ai| <= k - 1 及
|a1x1 + a2x2 + ... + anxn| <= (k - 1)√n/(kn-1)。
4. 求證不存在從非負整數到非負整數的函數 f滿足對所有n有 f(f(n)) = n + 1987 成立。
5. n是大于或等于3的整數，求證存在一個由平面上n個點構成的集合滿足任何兩點的距離都是無理數并且任何三點構成一個面積為有理數的非退化的三角形。
6. n是大于或等于2的整數，如果對所有0<=k<=√n/3都有k2 + k + n 是素數，則
當0<=k<=n-2時，k2 + k + n 都是素數。
1. d是不為2,5,13的正整數，試證明可以在集合{2, 5, 13, d}中找出不同的兩數a,b滿足ab-1不是一個完全平方數。
2. 在三角形 A1A2A3 所在的平面上有一給定點P0，當s>=4時定義 As = As-3 ，現使用以下的方法構造一系列點P1, P2, P3, ...： Pk+1 是 Pk 繞 Ak+1 順時針旋轉120度得到的點（k = 0, 1, 2,...）。如果 P1986 = P0，求證A1A2A3是等邊三角形。
3. 給正五邊形的每個頂點賦值一個整數，使這5個整數之和是正的。對于任何三個連續的頂點設它們所賦予的數分別是x,y,z，如果y < 0則執行下述操作：將x,y,z分別替換為x + y, -y, z + y。重復執行這樣的操作直到這5個頂點數中至少有一個是負值。試問能否經過有限步之后操作結束。
4. O是正n(n >= 5)邊形的中心 ，設 A, B 是一對相鄰的頂點。設開始的時候三角形XYZ與三角形OAB重合，現用如下的方式移動三角形XYZ：保持Y、Z始終在多邊形的邊界上、X在多邊形的內部。試求出當Y、Z都走遍多邊形的邊界時X點所形成的軌跡。
5. 試找出所有定義在非負實數并取值也是非負實數的函數 f，使其滿足f(2) = 0；當 0<= x <2時f(x)不等于0；對所有x,y都有f(xf(y))f(y)=f(x+y)。
6. 給定平面上的一個有限點集，每個點的坐標都是整數，問有沒有一種將這些點涂成紅色或白色的染色方法使得在任何一條平行于坐標軸（兩個坐標軸中的任何一個）的直線 L上的紅點和白點的個數之差不大于1？
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