1. 已知x1 >= x2 >= ... >= xn, 以及y1 >= y2 >= ... >= yn 都是實數，求證 若z1 ,z2 ,...,zn 是yi 的任意排列則有
∑(xi-yi)2 <= ∑(xi-zi)2
上式中左右兩邊的求和都是i從1到n。
2. 令a1 < a2 < a3 < ... 是一遞增正整數序列，求證對所有i>=1，存在無窮多個 an 可以寫成 an = rai + saj的形式，其中r，s是正實數且j > i。
3. 任意三角形ABC的邊上，向外作三角形ABR,BCP，CAQ，使角CBP、角CAQ都是45度，角BCP、角ACQ都是30度，角ABR、角BAR都是15度。求證角QRP是直角并且QR=RP。
4. 令A是將44444444寫成十進制數字時的各位數字之和，令B時A的各位數字之和，求B的各位數字之和。
5. 判定并證明能否在單位圓上找到1975個點使得任意兩點間的距離為有理數。
6. 找出所有兩個變量的多項式P(x, y)使其滿足：
P(y + z, x) + P(z + x, y) + P(x + y, z) = 0;
1. 三個玩家玩游戲。在三張撲克牌上分別寫上一個正整數，并且每張牌上的數都不相同。在每一輪游戲中都是隨機的把卡片分給這些玩家，然后每個玩家拿到所分得卡片上數目的籌碼。當游戲進行時，玩家手上的籌碼自然是越來越多。假設游戲至少進行了兩輪以上。在最后一輪結束時，第一個玩家有籌碼20個，第二個玩家有10個，第三個玩家有9個。又已知在最后一輪游戲中第三個玩家拿到的是最大數目的籌碼。試問，在第一輪游戲中哪個玩家收到了中間數量的籌碼？
2. 三角形ABC，求證在邊AB上存在一點D使得CD是AD、DB的幾何平均值的充要條件是
sin A sin B <= sin2(C/2).
3. 試證明對任意非負整數n，下式都不能被5整除：
∑ C(2n+1,2k+1)23k，
上式中的求和是k從0到n，符號 C(r,s) 表示二項式系數 r!/(s!(r-s)!)。
4. 沿著一個 8 x 8 象棋盤（黑白相間）中的線將其分割成p個不相交的長方形，使得每個長方形內的黑白小方格的數目一樣，并且每個長方形中小方格的數量也都不一樣多。求出所有可能p值中的最大值；并對這樣的最大值求出所有可能的分法（即求出那些長方形的大小）。
5. a,b,c,d是任意實數，判定下式的所有可能值：
a/(a+b+d) + b/(a+b+c) + c/(b+c+d) + d/(a+c+d)。
6. 設 P(x) 是一個指數d>0的整系數多項式，n是P(X)=1或-1的不同整根的個數，則有
n <= d + 2.
1. OP1, OP2, ... , OP2n+1 是平面上的單位向量，其中點 P1, P2, ... , P2n+1 都是位于通過點O的一條直線的同一側，求證
|OP1 + ... + OP2n+1| >= 1.
2. 問能否在空間中找到一個不共面的有限點集M使得，對M中的任何兩點A、B，都可以再在M中尋找到兩點C、D，而直線AB、CD是不相同的并且是互相平行的。
3. 考慮所有這樣的實數a、b使得方程
x4 + ax3 + bx2 + ax + 1 = 0
至少有一個實根。試找出 a2 + b2 的最小值。
4. 一個士兵需要在一個等邊三角形的區域內探測有沒有地雷，他的掃雷器的半徑是三角形高的一半，士兵從三角形的一個定點出發，試問如果要完成任務且使行程最短他應該走什么樣的路徑？
5. G是具有下述形式且非常值的函數的集合：
f(x) = ax + b，其中a,b,x都是實數。
并且已知G具有這些性質：
? 如果f,g都屬于G，則 fg(x) = f(g(x)) 也屬于G；
? 如果f屬于G，則 f-1(x) = x/a - b/a 也屬于G；
? 對任何f屬于G，存在一個實數 xf 使得 f(xf) = xf成立。
求證：存在實數 M 使得 f(M)=M對所有G中的函數f都成立。
6. a1, a2, ... , an 是正實數，實數 q 滿足0 < q < 1，試求出n格實數 b1, b2, ... , bn 使得：
1.有十個互不相同的二位數，求證必可從中選出兩個不相交的子集，使得這兩個子集中的元素之和相等。
2. 設 n>4， 求證每一個圓內接四邊形都可以分割成 n 個圓內接四邊形。
3. m,n是任意非負整數，求證下式是一整數。
(2m)!(2n)!
m!n!(m+n)!
4. 試找出下述方程組的所有正實數解：
(x12 - x3x5)(x22
- x3x5) <= 0
(x22 - x4x1)(x32
- x4x1) <= 0
(x32 - x5x2)(x42
- x5x2) <= 0
(x42 - x1x3)(x52
- x1x3) <= 0
(x52 - x2x4)(x12
- x2x4) <= 0
5. f、g都是定義在實數上并取值實數的函數，并且滿足方程
f(x + y) + f(x - y) = 2f(x)g(y)，
又已知 f 不恒等于0且 |f(x)| <= 1 。求證對所有x同樣有 |g(x)| <= 1 。
6. 給定四個不相同的平行平面，求證存在一個正四面體，它的四個定點分別在這四個平面上。
1. 令 En = (a1 - a2)(a1 - a3) ... (a1 - an) + (a2 - a1)(a2 - a3) ... (a2 - an) + ... + (an - a1)(an - a2) ... (an - an-1). 求證 En >= 0 對于n=3或5成立，而對于其他自然數n>2不成立。
2. 凸多邊形 P1 的頂點是 A1, A2, ... , A9，若將頂點 A1 平移至Ai 時則 P1 平移成了多邊形 Pi ，求證 P1, P2, ... , P9 之中至少有兩個具有一共同內點。
3. 求證能夠找到一個由形式 2n - 3 （n是正整數）的整數構成的集合并滿足任何兩個元素互質。
4. 四面體ABCD的所有面都是銳角三角形，在線段AB上取一內點X，現在BC上取內點Y，CD上取內點Z，AD上內點T。求證：
5. 對任何自然數 m ，求證存在平面上一有限點集 S，滿足：對S中的每一個點 A，存在S中的恰好 m 個點與 A的距離為單位長。
6. 設 A = (aij),其中 i, j = 1, 2, ... , n，是一個方陣，元素 aij 都是非負整數。若 i、j使得aij = 0，則第i行和第j列的元素之和 大于或等于 n。求證：該方陣中所有元素之和 大于或等于n2/2。
1. M 是三角形ABC的邊AB上的任何一點，r、r1、r2 分別是三角形ABC、AMC、BMC的內切圓的半徑，q 是AB外旁切圓的半徑（即與AB邊相切，與CA、CB的延長線上相切的圓），類似的， q1、q2分別是AC、BC外旁切圓的圓心。求證： r1r2q = rq1q2。
2. 已知0 ≤ xi < b，i = 0, 1, ... ,n 并且 xn > 0, xn-1 > 0。如果 a>b，xnxn-1...x0 是數A在a進制下的表示、也是B在b進制下的表示，則 xn-1xn-2...x0 表示了 A'在a進制下的表示、B'在b進制下的表示。求證：A'B<AB'。
3. 實數 a0, a1, a2, ...滿足 1 = a0 <= a1 <= a2 <= ...，并定義
bn =∑(1 - ak-1/ak)/√ak
其中求和是k從1到n。
4. 試找出所有的正整數 n 使得集合 {n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5} 可被分拆成兩個子集合，每個子集合的元素的乘積相等。
5. 四面體ABCD，角BDC是直角，D向平面ABC作垂線的垂足恰好是三角形ABC的垂心。求證：
(AB + BC + CA)2 ≤ 6(AD2 + BD2 + CD2).
并問何時等號成立？
6. 平面上給定100個點，無三點共線，求證：這些點構成的三角形中至多70% 是銳角三角形。
1. 對任意正整數 n，求證有無窮多個正整數 m 使得 n4 + m 不是質數。
2. 令 f(x) = cos(a1 + x) + 1/2 cos(a2 + x) + 1/4 cos(a3 + x) + ... + 1/2n-1 cos(an + x), 其中 ai 是實數常量，x是實數變量�，F已知 f(x1) = f(x2) = 0，求證 x1 - x2 是 π 的整數倍。
3. 對每一個k = 1, 2, 3, 4, 5，試找出 a>0 應滿足的充要條件使得存在一個四面體，其中 k個邊長均為 a，其余 6-k個邊的長度均為 1。
4. 以AB為直徑的半圓弧，C是其上不同于A、B的一點，D是C向AB作垂線的垂足。K1 是三角形ABC的內切圓， 圓K2 與CD、DA以及半圓都相切，圓K3 與CD、DB及半圓相切。求證：圓K1、 K2 、 K3 除AB外還有一條公切線。
5. 平面上已給定了 n>4個點，無三點共線。求證至少有 (n-3)(n-4)/2 個凸四邊形，其頂點都是已給點集中的點。
6. 給定實數x1, x2, y1, y2, z1, z2, 滿足 x1 > 0, x2 > 0, x1y1 > z12, x2y2 > z22，求證：
8
≤
1
+
1
(x1 + x2)(y1 + y2) - (z1 + z2)2
x1y1 - z12
x2y2 - z22
并給出等號成立的充分必要條件。
1. 求證有且僅有一個三角形，它的邊長為連續整數，有一個角是另外一個角的兩倍。
2. 試找出所有的正整數 n，其各位數的乘積等于 n2 - 10n - 22。
3. a, b, c 是不全為0的實數。x1, x2, ... , xn 是滿足下述方程組的未知數：
axi2 + bxi + c = xi+1, 對于 i=1,2,...,n-1；
axn2 + bxn + c = x1；
若設 M= (b - 1)2 - 4ac ，求證：
4. 求證任何四面體上都有一個頂點使得經過該頂點的三條邊可構成一個三角形的三邊。
5. 令f是定義在所有實數并取值實數的函數，并且對于某個 a>0及任何 x>0 有
f(x + a) = 1/2 +√[f(x)-f(x)2]
求證 f 是周期函數，并且當 a=1時請給出一個非常值函數的例子。
6. 對任何自然數 n，試計算下式的值
[(n+1)/2] + [(n+2)/4] + [(n+4)/8] + ... + [(n+2k)/2k+1] + ...
其中[x]表示不超過 x 的最大整數。
2005 International Mathematical Olympiad
第一天(4.5小時)
1. 等邊三角形ABC各邊上的六個點A1,A2(∈BC),B1,B2(∈CA),C1,C2(∈AB)構成六邊長相等的凸六邊形A1A2B1B2C1C2.
求證:三條直線A1B2,B1C2,C1A2交于一點.
2. 整數數列a1,a2,……中有無窮多個正項及無窮多個負項.已知,對每個正整數n,數a1,a2,…,an除以n所得到的余數互不相同.
證明:每個整數在數列a1,a2,……中都出現且只出現一次.
3. x,y,z為正數且xyz≥1.求證:
(x5-x2)/(x5+y2+z2)+(y5-y2)/(y5+z2+x2)+(z5-z2)/(z5+x2+y2)≥0.
第二天(4.5小時)
4.試求與無窮數列an=2n+3n+6n－1(n≥1)的一切項均互素的所有正整數.
5.取定凸四邊形ABCD,其中BC=DA,BC與DA不平行.動點E,F分別在線段BC,DA上且滿足BE=DF.直線AC與BD交于P, BD與EF交于Q, EF與AC交于R.求證:當E,F變動時,所有三角形PQR的外接圓周除了P外還有一個公共點.
6.一次數學競賽共給出6道題.已知,每兩題均被多于2/5的選手同時解出,但無一人解出所有6道題.證明:至少有兩人各解出5道題.
2004IMO(中文版)
1. △ABC 為銳角三角形，AB ≠ AC；以BC為直徑的圓分別交AB和AC于M 和N . 記BC中點為
O. ∠BAC和∠MON的角平分線交于R. 求證△BMR的外接圓和△CNR的外接圓有一個公共點在
BC邊上.
2. 求所有的實系數多項式f，使得對所有滿足 ab + bc + ca = 0的實數a, b, c 有
f(a?b) + f(b?c) + f(c?a) = 2f(a + b + c).
3. 定義一個由6個單位正方形構成的“鉤”（圖傳不上：3 X 3 的去掉中心塊和一邊上連
續的兩塊，包括由此圖經旋轉、反射得到的圖形）. 定出所有的能被鉤覆蓋的m×n的矩形
.
4. 設n >= 3. t_1, t_2, ..., t_n > 0 滿足
n^2 + 1 > (t_1 + t_2 + ... + t_n)(1/t_1 + 1/t_2 + ... + 1/t_n)
證明t_1, t_2, ..., t_n中隨便取3個數都能構成一個三角
5. 凸四邊形ABCD的對角線BD 不平分∠ABC和∠CDA. ABCD內一點P滿足∠PBC = ∠DBA和∠
PDC = ∠BDA. 求證：ABCD是圓的內接四邊形當且僅當AP = CP.
6. 稱一個正整數為“交替的”，如果它的十進表示的任兩個連續數位的奇偶性不同. 求所
有的正整數n，n的某個倍數是交替的.
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