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試題詳情

兩個(gè)原理與排列

〖考綱要求〗掌握兩個(gè)原理，并能用這兩面?zhèn)�原理分析和解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題，理解排列的意義，掌握排列數(shù)公式，并能用它們解決一些簡(jiǎn)單的問(wèn)題。

〖雙基回顧〗

1、分類計(jì)數(shù)原理：

做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m₁種不同的方法，在第二類辦法中有m₂種不同的方法，……，在第n類辦法中有m_n種不同的方法。那么完成這件事共有  N=m₁+m₂+…+m_n  種不同的方法。

2、分步計(jì)數(shù)原理：

做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m₁種不同的方法，做第二步有m₂種不同的方法，……，做第n步有m_n種不同的方法，那么完成這件事有N=m₁×m₂×…×m_n

種不同的方法。

二者區(qū)別：_____________________________________________________________________

3、排列的定義：從n個(gè)不同的元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列. 由定義可知，兩個(gè)排列相同，則這兩個(gè)排列的元素和排列順序均完全相同.

排列數(shù)：從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有排列的個(gè)數(shù)，用符號(hào)表示。

全排列：_____________________________________________________________________

4、公式：=____________________   =____________   0！=_____________

〖課前訓(xùn)練〗

1、已知a∈｛3,4,5｝，b∈｛0,2,7,8｝,r∈｛1,8,9｝則方程(x－a)²＋(y－b)²=r²可以表示_______個(gè)不同的圓。

2、若a∈｛1,2,3,5｝, b∈｛1,2,3,5｝則方程y=表示的不同的直線條數(shù)為_(kāi)_______。

3、一部紀(jì)錄片在4個(gè)單位輪映，每一單位放映一場(chǎng)，可有_______種輪映次序。

4、若從集合P到集合Q=｛a、b、c｝所作的不同映射共有81個(gè)，則從集合Q到集合P可作的不同映射共有________個(gè)。

5、某賽季足球比賽的計(jì)分規(guī)則是：勝一場(chǎng)得3分；平一場(chǎng)得1分；負(fù)一場(chǎng)得0分。一球隊(duì)打完15場(chǎng)，積分33分。若不考慮順序，該隊(duì)勝、負(fù)、平的情況共有………………………………（    ）

（A）3種子        （B）4種      （C）5種         （D）6種    

〖典例分析〗

例1、（1）6名同學(xué)報(bào)名參加數(shù)學(xué)、物理、英語(yǔ)競(jìng)賽，每人報(bào)且僅報(bào)一科，則不同的報(bào)名方法共有多少種？（2）從1到40正整數(shù)中每次取出兩個(gè)數(shù)，使它們的和大于40，則不同的取法共有多少種？

例2、5名學(xué)生報(bào)名，參加4項(xiàng)體育比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，報(bào)名方法種數(shù)為多少？又他們爭(zhēng)奪這4項(xiàng)比賽的冠軍的可能性有多少種？

例3、要排出某班一天中語(yǔ)文、數(shù)學(xué)、政治、英語(yǔ)、體育、藝術(shù)6堂課的課程表，要求數(shù)學(xué)排在上午（前四節(jié)）、體育排在下午（后兩節(jié)），求不同的排法種數(shù)。

例4、由0、1、2、3、4、5、6、可以組成多少個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的

（1）五位數(shù)；                     （2）五位偶數(shù)；          （3）能被5整除的五位數(shù)；

（4）能被3整除的五位數(shù)；         （5）比42310大的五位數(shù).

〖課堂練習(xí)〗

1、4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起的排法有………………………………（    ）

（A）       （B）      （C）     （D）

2、A、B、C、D、E五人并排站成一排，如果A、B必須相鄰且B在A的右邊，那么不同的排法種數(shù)為……………………………………………………………………………………………（    ）

（A）60            （B）48         （C）36        （D）24

3、210的所有正約數(shù)的個(gè)數(shù)共有………………………………………………………………（    ）

（A）12個(gè)          （B）14個(gè)         （C）16個(gè)          （D）20個(gè)  

4、在5名運(yùn)動(dòng)員中，選4名參加4×100米接力賽，甲、乙兩人都不跑中間兩棒的安排方法不多少種？

〖課堂小結(jié)〗

1、分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理的區(qū)別在于完成一件事是______還是______。若是分類，則N=m₁＋m₂…+m_n;若是分步，則N= m₁?m₂…m_n

2排列問(wèn)題的解題思想方法：

（1）直接法――體現(xiàn)合理分類（不重不漏）；（2）間接法――體現(xiàn)逆向思維（正難則反）

〖能力測(cè)試〗                        姓名____________________得分___________________

1、集合A=｛a,b,c｝,B=｛d,e,f,g｝,從集合A到集合B的不同映射個(gè)數(shù)是……………………（    ）

（A）24         （B）81         （C）6             （D）64

2、要排一個(gè)有5個(gè)獨(dú)唱節(jié)目和3個(gè)舞蹈節(jié)目的節(jié)目單，如果舞蹈節(jié)目不排在開(kāi)頭，并且任意兩個(gè)舞蹈節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)有………………………………………………（    ）

（A）   （B）   （C）   （D）  

3、用1、2、3、4、5這五個(gè)數(shù)字組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中偶數(shù)共有……………（    ）個(gè)

（A）24        （B）30       （C）40           （D）60

4、有四位司機(jī)，四位售票員分配到四輛公共汽車(chē)上，使每輛汽車(chē)有一位司機(jī)和一位售票員，則可能有的分配方案種數(shù)為……………………………………………………………………………（    ）

（A）          （B）         （C）             （D）

5、將三封信投入4個(gè)不同的郵筒，有________不同的投法，4名學(xué)生從3個(gè)不同的樓梯下樓，有________種不同的下法。

6從0、1、2、3、4五個(gè)數(shù)字中，任選3個(gè)作為二次函數(shù)的系數(shù)（各項(xiàng)系數(shù)均不相同），可以得到二

次函數(shù)_________個(gè)。

7、同室四人各寫(xiě)一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式為_(kāi)_______種。

8、甲廠生產(chǎn)的電視機(jī)外殼有3種，顏色有4種；乙廠生產(chǎn)的電視機(jī)外殼另有4種，顏色另有5種，問(wèn)兩個(gè)廠的電視機(jī)從外殼、顏色看共有多少種？

9、（1）由數(shù)字1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)沒(méi)有復(fù)數(shù)字的正整數(shù)？

  （2）由數(shù)字1、2、3、4、5可以組成多少個(gè)沒(méi)有復(fù)數(shù)字，并且比13000大的正整數(shù)？

10、5名學(xué)生站成一排，其中A不排站在兩端，B不能站在正中間，求不同的排法種數(shù)。

11、由數(shù)字0、1、2、3、4、5組成沒(méi)有復(fù)數(shù)字的六位數(shù)，其中個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的有多少個(gè)？

組合與組合數(shù)

〖考綱要求〗理解組合的意義，掌握組合數(shù)的計(jì)算公式和組合數(shù)性質(zhì)，能解決簡(jiǎn)單的組合應(yīng)用題。

〖雙基回顧〗

1、組合的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素，并成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合.

2、組合數(shù)：從n個(gè)不同的元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有組合的個(gè)數(shù)，用符號(hào)表示.

3、組合數(shù)公式：（1）______________________（2）_______________________.

4、組合數(shù)性質(zhì)：（1）______________________      （2）____________________________.

〖課前訓(xùn)練〗

1、下列四式總能成立的是…………………………………………………………………………（    ）

（A）     （B）  （C）  （D）(n＋1)!－n!=n＋1

2、某乒乓球隊(duì)有9名隊(duì)員，其中2名是種子選手，現(xiàn)在挑選5名隊(duì)員參加比賽，種子選手都必須在內(nèi)，那么不同的選法共有………………………………………………………………（    ）種。

（A）126              （B）84             （C）35         （D）21

3、某小組共有10名學(xué)生，其中女生3名，現(xiàn)選舉2名代表，至少有1名女生當(dāng)選的不同選法共有…………………………………………………………………………………………（    ）種。

（A）27          （B）48         （C）21           （D）24

4、已知｛1，2｝Z ｛1，2，3，4，5｝，滿足這個(gè)關(guān)系式的集合Z共有…………（    ）個(gè)。

（A）2           （B）6            （C）4           （D）8

5、正十二邊形的對(duì)角線的條數(shù)是______________

6、有13個(gè)隊(duì)參加籃球賽，比賽時(shí)先分成兩組，第一組7個(gè)隊(duì)，第二組6個(gè)隊(duì)，各組都進(jìn)行單循環(huán)賽，然后由各組的前兩名共4個(gè)隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)決定冠軍、亞軍，共需__________場(chǎng)比賽。

7、某毛巾廠生產(chǎn)的毛巾，每100條毛巾中有次品5條，在抽樣檢查時(shí)，抽三條進(jìn)行檢查。

  （1）共有_________種抽法。                  （2）恰有一條次品的抽法有____________種。

   （3）至少有一條次品的抽法有__________種。  （4）最多有一條次品的抽法有__________種。

8、一架天平有7個(gè)砝碼，質(zhì)量分別是1克、2克、4克、8克、16克、32克、64克，如果每次稱量至少有一個(gè)砝碼，那么這架天平可以稱量不同質(zhì)量的物體的種數(shù)是__________。

〖典例解析〗

例1、設(shè)M和N是不重合的兩個(gè)平面，在平面M上有5個(gè)點(diǎn)，在平面N上有4個(gè)點(diǎn)，由這些點(diǎn)最多可確定多少個(gè)不同位置的三棱錐（請(qǐng)用直接法和間接法兩種方法解）？

例2、（1）圖中有多少個(gè)矩形？

    （2）從A到B有多少種最短走法？

例3、10名演員，其中5名能歌，8名善舞，從中選出5人，使這5人能演出一個(gè)由一人獨(dú)唱四人伴舞的節(jié)目，共有幾種選法？

例4、在一張節(jié)目表中，原有6個(gè)節(jié)目，如果保持這些節(jié)目的相對(duì)順序不變，再添加進(jìn)去三個(gè)節(jié)目，求共有多少種安排方法？

例5、二次函數(shù)y=ax²＋bx＋c的系數(shù)a、b、c是取自0，1，2，3，4這五個(gè)數(shù)中不同的值且a＞b,求這樣的二次函數(shù)共有多少個(gè)？

例6、證明：＋＋＋……=

〖課堂小結(jié)〗

1、  組合數(shù)公式有連乘和階乘兩種形式，常分別用計(jì)算和證明。組合數(shù)的性質(zhì)常用于等式證明和簡(jiǎn)

化計(jì)算。

2、解有限制條件的組合題，通常有直接法（合理分類）和間接法（逆向思維）。

3、解組合應(yīng)用題時(shí)，注意“至少”、“最多”、“恰好”等詞的含義。

〖課堂練習(xí)〗

1、（1）某段鐵路上有12個(gè)車(chē)站，共有多少種不同價(jià)格的客票？

（2）某校舉行排球單循環(huán)賽，有8個(gè)隊(duì)參加，共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？

（3）平面內(nèi)有12個(gè)點(diǎn)，任何3點(diǎn)不共線，以每3點(diǎn)為頂點(diǎn)作三角形，一共可作多少個(gè)三角形？

（4）某人射擊6次，恰好有3槍命中的結(jié)果有多少種？

2、以一個(gè)正方體的頂點(diǎn)為頂點(diǎn)的四面體共有………………………………………………（    ）個(gè)。

（A）70         （B）64       （C）58        （D）52

3、計(jì)算：（1）＋＋＋……=         （2）若，則=

〖能力測(cè)試〗   姓名______________                            得分_________________

1、四面體的一個(gè)頂點(diǎn)為A，從其它頂點(diǎn)與各棱中點(diǎn)中取三個(gè)點(diǎn)，使它們和點(diǎn)A在同一平面上，不同的取法有…………………………………………………………………………………（    ）種。

（A）36           （B）33         （C）30         （D）39 

2、在200件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從中任意抽取5件，其中至少2件次品的抽法有…（    ）種。

（A）   （B）－   （C）＋    （D）－

3三名醫(yī)生和六名護(hù)士被分配到三所學(xué)校為學(xué)生體檢，每校分配一名醫(yī)生和二名護(hù)士，不同的分配方法共有………………………………………………………………………………………（    ）種。

（A）90         （B）180        （C）270       （D）540

4、五項(xiàng)不同的工程由3個(gè)工程隊(duì)全部承包下來(lái)，每隊(duì)至少承包一項(xiàng)一程，則不同的承包方案有

………………………………………………………………………………………（    ）種。

     （A）30          （B）60        （C）150          （D）180

5、從1、2、……10這十個(gè)數(shù)字中任取四個(gè)數(shù)，使它們的和為奇數(shù)，共有___________取法。

6、設(shè)含有10個(gè)元素組成的集合的全部子集數(shù)為S，其中由3個(gè)元素組成的子集數(shù)為T(mén)，則______________。

7、從一組學(xué)生中選出四名學(xué)生當(dāng)代表的選法有A種，從這組學(xué)生中選正、副組長(zhǎng)各一人的選法有B種，若=，問(wèn)這組學(xué)生共有多少人？

8、在一次考試中，要求學(xué)生做試卷中10個(gè)考題中的6個(gè)，并且要求至少包含后5題中的3個(gè)題，則考生答題的不同選法種類是多少？

9、某車(chē)間生產(chǎn)出某種產(chǎn)品50件，其中3件是次品，其余47件是合格品，從這50件產(chǎn)品中任意抽取5件，求其中至少有兩件是次品的概率是多少？

*10、設(shè)集合A=｛1，2，3，…10｝，（1）設(shè)A的含3個(gè)元素的子集個(gè)數(shù)為n, 求n的值。

   （2）設(shè)A的含3個(gè)元素的每個(gè)子集中，3個(gè)元素的和分別為a₁、a₂、a₃、…、a_n，

求a₁＋a₂＋a₃＋…＋a_n的值。

排列、組合應(yīng)用題

【考綱要求】

能正確地運(yùn)用兩個(gè)原理，合理地進(jìn)行分類與分步，掌握解排列、組合混合題的一般方法。方案合理，步、類分清；有序排列，無(wú)序組合；類型對(duì)準(zhǔn)；混合應(yīng)用，先組合后排列。

【課前練習(xí)】

試題詳情

試卷類型：A

饒平縣第一中學(xué)2009年普通高考測(cè)試題（一）

數(shù)     學(xué)（理 科）

本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，共4頁(yè)。 第Ⅰ卷1至2頁(yè)，第Ⅱ卷3至4頁(yè)；答題卡共6面。滿分150分�？荚囉脮r(shí)120分鐘。

注意事項(xiàng)：

1．答卷前，考生務(wù)必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的姓名和考生號(hào)填寫(xiě)在答題卡上。用2B鉛筆將答題卡試卷類型（A）填涂在答題卡上。在答題卡右上角的“試室號(hào)”和“座位號(hào)”欄填寫(xiě)試室號(hào)、座位號(hào)，將相應(yīng)的試室號(hào)、座位號(hào)信息點(diǎn)涂黑。

2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案，不能答在試卷上。

3．非選擇題必須用黑色字跡鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫(xiě)在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動(dòng)，先劃掉原來(lái)的答案，然后再寫(xiě)上新的答案；不準(zhǔn)使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答的答案無(wú)效。

4．考試結(jié)束后，將試卷和答題卡一并交回。

參考公式：

       如果事件、互斥，那么                                          球的表面積公式

       如果事件、相互獨(dú)立，那么                                   其中表示球的半徑

                                                      球的體積公式

       如果事件在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是                        

       那么在次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生次的概率                  其中表示球的半徑

第一部分（選擇題，共40分）

試題詳情

試題詳情

試題詳情

　　　　　　　桂林市2009屆高三第二次調(diào)研考試題　　　姓名　　　

數(shù)學(xué)（理　科）                 　　　　　　                  

試題詳情

平面的基本性質(zhì)

〖知識(shí)點(diǎn)分布〗1、平面；2、平面的基本性質(zhì)；3、平面圖形的直觀圖的畫(huà)法。

〖考綱要求〗1、掌握平面的基本性質(zhì)；2、會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的直觀圖；3、熟悉各種符號(hào)及其應(yīng)用。

〖復(fù)習(xí)要求〗掌握平面的基本性質(zhì)，主要是三個(gè)公理、三個(gè)推論及其應(yīng)用.會(huì)用斜二測(cè)畫(huà)法畫(huà)水平放置的直觀圖；會(huì)證明共面、共點(diǎn)、共線問(wèn)題；掌握反證法的應(yīng)用；知道什么叫“空間四邊形”.

〖雙基回顧〗

公理1：________________________________        ____.用符號(hào)表示為：_____________________.

公理2：_________________________________   _________.用符號(hào)表示為：_____________________.公理3：_____________________._______________________________________________________

推論1：_________________________________________________.

推論2：_________________________________________________.

推論3：___________________________________________________. 

公理1是證明____________________________________的依據(jù)；

公理2是證明___________________的依據(jù)；

公理3及其三個(gè)推論是證明__________________________________________.的依據(jù)。

2、斜二測(cè)畫(huà)法的規(guī)則： ①________________      _____,②______________________________,

③___________________        ___,④_____________________________.

〖課前練習(xí)〗

1、下面幾個(gè)命題：⑴兩兩相交的三條直線共面；⑵如果兩個(gè)平面有公共點(diǎn)，則公共點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)；⑶一條直線與兩條平行直線都相交，那么這三條直線共面；⑷有三個(gè)內(nèi)角是直角的空間四邊形一定是矩形；⑸順次連接空間四邊形各邊中點(diǎn)所得的四邊形是平行四邊形。其中正確命題的個(gè)數(shù)是……………………………………………………………………………………………………（    ）

  (A)2個(gè)               (B)3個(gè)              (C)4個(gè)             (D)5個(gè)

2、設(shè)E、F、G、H是空間四點(diǎn).命題甲：E、F、G、H不共面；命題乙：直線EF、GH不相交，那么甲是乙的…………………………………………………………………………………（    ）條件

(A)充分不必要         (B)必要不充分       (C)充要             (D)既不充分也不必要

3、由空間四點(diǎn)中某些確定平面的元素，可以確定平面的個(gè)數(shù)為…………………………………（    ）

(A)0個(gè)               (B)1個(gè)              (C)1個(gè)或者4個(gè)      (D)不存在

5、命題甲：空間中若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線，它的逆命題記作乙，則（     ）

（A）甲、乙都正確；    （B）甲、乙都不正確；（C）甲不正確，乙正確；（D）甲正確、乙不正確。

〖典型例題〗

1、已知直線a∥b∥c，直線d與a、b、c分別交于A、B、C， 

求證：四直線a、b、c、d共面.

2、已知△ABC在平面a外，三邊AB、BC、CA分別與平面a交于P、Q、R，求證：P、Q、R共線.

3、如圖，空間四邊形ABCD中，E、F分別是AB、AD的中點(diǎn)，G、H分別在BC、CD上，且BG：GC=DH：HC=1：2

（1）求證：E、F、G、H四點(diǎn)共面。

（2）設(shè)EG與HF交于點(diǎn)P，求證：P、A、C三點(diǎn)共線。

4、三個(gè)平面兩兩相交，得到三條交線，求證：它們

或者互相平行或者交于一點(diǎn).

〖課堂練習(xí)〗

1、一個(gè)平面把空間分為        部分；兩個(gè)平面把空間分為         部分；三個(gè)平面把空間分

為               部分.

2、一條直線和該直線外不共線的三點(diǎn)最多可以確定平面的個(gè)數(shù)

為………………………………………………………………（    ）

  (A)1              (B)2            (C)3            (D)4

3、正方體AC₁中，O是BD中點(diǎn)，A₁C與截面BDC₁交于P，那么C₁、P、O三點(diǎn)共線。其理由是               .

〖課堂小結(jié)〗

1、證明共面通常有方法：⑴先作一個(gè)平面，再證明有關(guān)的點(diǎn)在此平面內(nèi)；⑵分別過(guò)某些點(diǎn)作多個(gè)平面，然后證明這些平面重合.

2、公理2是證明直線共點(diǎn)的依據(jù)，應(yīng)該這樣理解：

⑴如果A、B是交點(diǎn)，那么AB是交線；

⑵如果兩個(gè)不同平面有三個(gè)或者更多的交點(diǎn)，那么它們共面；

⑶如果a∩b=l，點(diǎn)P是a、b的一個(gè)公共點(diǎn)，那么P∈l.

〖能力測(cè)試〗                                  班級(jí)           姓名             

1、a、b兩個(gè)不重合平面，a上取3個(gè)點(diǎn)、b上取4個(gè)點(diǎn)，則由這些點(diǎn)最多可以確定平面的個(gè)數(shù)為（    ）

(A)30             (B)32             (C)35              (D)40

2、兩條直線l、m都在平面a內(nèi)并且都不在b內(nèi).命題甲：l、m中至少有一條與b相交；命題乙：與a、b相交.那么甲是乙的………………………………………………………………………………（    ）

(A)充分不必要     (B)必要不充分     (C)充要            (D)既不充分也不必要

3、給出下列命題：⑴梯形的四個(gè)頂點(diǎn)共面；⑵三條平行直線共面；⑶有三個(gè)公共點(diǎn)的兩個(gè)平面重合；⑷每?jī)蓷l都相交并且交點(diǎn)全部不同的四條直線共面.  其中正確命題的個(gè)數(shù)為……………（    ）

(A)1              (B)2              (C)3               (D)4

4、下列各種四邊形中，可能不是平面四邊形的是…………………………………………………（    ）

(A)內(nèi)接于圓的四邊形                 (B)四邊相等的四邊形

(C)僅有一組對(duì)邊平行的四邊形         (D)相鄰兩邊成的角都是直角的四邊形.

5、空間四點(diǎn)“無(wú)三點(diǎn)共線”是“四點(diǎn)共面”的……………………………………………………（    ）

(A)充分不必要     (B)必要不充分     (C)充要            (D)既不充分也不必要

6、如圖正方體中，E、F分別是AA₁、CC₁上的點(diǎn)并且AE=C₁F，

求證：B、E、D₁、F共面.

7、正方體A―C₁中，設(shè)A₁C與平面ABC₁D₁交于Q，求證：B、

Q、D₁三點(diǎn)共線.

8、在三棱錐V―ABC中，D、E、F分別是VA、VB、VC上的點(diǎn)并且=.求證：直線DF、EG、AB共點(diǎn).

空間兩條直線

〖知識(shí)點(diǎn)分布〗1、空間的平行直線；2、異面直線及其夾角；3、異面直線的距離。

〖考綱要求〗

1、了解空間兩條直線的位置關(guān)系；2、掌握異面直線所成的角與兩條異面直線互相垂直的概念；能運(yùn)用上述知識(shí)進(jìn)行論證和解決有關(guān)問(wèn)題。對(duì)于異面直線的距離，只要求會(huì)利用給出的公垂線計(jì)算距離。

〖雙基回顧〗

1、公理4（平行線的傳遞性）：_____________             _________________________________.

2、等角定理：_________________________________________________________________________.

3、空間兩直線的位置關(guān)系：_____________________________________________________________.

4、異面直線：

（1）定義：______________________________________          __________________________.

  （2）判定定理：_____________________________________________________________________.

  （3）異面直線所成的角：①定義：____________________________________   _______________.

②取值范圍：___________________.

③兩條異面直線互相垂直：_____________________________________________.

④所成角的求法：法一：平移法：選點(diǎn)、平移、解三角形，注意取值范圍；  法二：向量法。

⑤異面直線的距離：

定義：__________________        ________.性質(zhì)：兩條異面直線的公垂線有且只有一條。

〖課前訓(xùn)練〗

1、異面直線是………………………………………………………………………………………（     ）

  （A）同在某一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線。     （B）某平面內(nèi)一條直線和這個(gè)平面外的一條直線。

（C）分別位于兩個(gè)不同平面內(nèi)的兩條直線。（D）無(wú)交點(diǎn)且不共面的兩條直線。

2、（91全國(guó)）若把兩異面直線看成“一對(duì)”，則六棱錐的棱所在12條直線中，異面直線共有……（     ）

（A）12對(duì)         （B）24對(duì)          （C）36對(duì)          （D）48對(duì)

3、下列說(shuō)法中，正確的是…………………………………………………………………………（     ）

①空間中，兩個(gè)角的兩邊分別平行，則這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)。

②垂直于同一條直線的兩條直線平行。

③分別和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線。

④若a、b是異面直線，b、c是異面直線，則a、c也是異面直線。

4、正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，E、F分別是BB₁和CC₁的中點(diǎn)，則AE與BF所成的角余弦為        。

6、如圖正方體的棱長(zhǎng)為a，那么

⑴與BA₁異面的棱分別有                      ；⑵BA₁與CC₁成角大小為        ；

⑶BA₁與AA₁成角大小為           ；⑷直線BC與AA₁的距離        ；

〖典型例題分析〗

1、ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形，O是中心，OP⊥平面ABCD，OP=2，M是OP中點(diǎn).⑴求證：PC與BM是異

面直線；⑵求PC、BM所成角.

2、如圖，在棱長(zhǎng)都為a的四面體中，E、F分別為AD、BC的中點(diǎn)。

（1）求證：EF是AD和BC的公垂線。

（2）求EF的長(zhǎng)。

（3）求異面直線AF與CE所成的角。

3、如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD―A₁B₁C₁D₁中，O為側(cè)面ADD₁A₁的中心，

求：（1）B₁O與BD所成角的大小。

（2）B₁O與C₁D₁的距離。

4、如圖，四面體ABCD中，AB、BC、BD兩兩互相垂直，且AB=BC=2，E是AC中點(diǎn)，異面直線AD與BE所成角的大小為arccos，求BD與平面ADC所成的角。

〖課堂練習(xí)〗

1、已知直線a，如果直線b同時(shí)滿足以下三個(gè)條件：⑴與a異面；⑵與a成角為定值；⑶與a的距離為定值.那么這樣的直線b有        條.

2、已知異面直線a、b分別在平面a、b內(nèi)，a∩b=c，那么c與a、b的關(guān)系為…………………（    ）

(A)與a、b都相交  (B)至少與a、b之一相交 (C)至多與a、b之一相交 (D)只能與a、b之一相交

3、（90年上海）設(shè)a、b是兩條異面直線，那么下列四個(gè)命題中的假命題是……………………（    ）

（A）經(jīng)過(guò)直線a有且只有一個(gè)平面平行于直線b。（B）經(jīng)過(guò)直線a有且只有一個(gè)平面垂直于直線b。   （C）存在分別經(jīng)過(guò)直線a和b的兩個(gè)互相平行的平面。

（D）存在分別經(jīng)過(guò)直線a和b的兩個(gè)互相垂直的平面。

4、（95年全國(guó)）如圖，A₁B₁C₁?ABC是直三棱柱，∠BCA=90°,點(diǎn)D₁、F₁分別是A₁B₁、A₁C₁的中點(diǎn)，若BC=CA=CC1，則BD₁與AF₁所成角的余弦值是…………………（    ）

（A）      （B）      （C）       （D）

〖能力測(cè)試〗                                       班級(jí)           .姓名             

1、甲：a、b異面；乙：a、b無(wú)公共點(diǎn)，那么甲是乙的…………………………………………（    ）

(A)充分不必要條件   (B)必要不充分條件    (C)充要條件         (D)既不充分也不必要條件

2、a、b異面，那么下列結(jié)論正確的是……………………………………………………………（    ）

(A)過(guò)不在a、b上的點(diǎn)P一定可以作直線與a、b都相交

(B)過(guò)不在a、b上的點(diǎn)P一定可以作平面與a、b都垂直

(C)過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b垂直        (D)過(guò)a一定可以作一個(gè)平面與b平行

4、設(shè)有三條直線a、b、c，其中b和c是一對(duì)異面直線，如果三條直線可確定的平面?zhèn)�數(shù)是n個(gè)，則n可能取的值是………………………………………………………………………………（    ）。

（A）0，1          （B）1，2           （C）0，2          （D）0，1，2

5、已知A是△BCD所在平面外一點(diǎn)，E、F分別是BC和AD的中點(diǎn)，若BD⊥AC，且BD=AC，

   則EF與BD所成的角等于________________.

6、正四棱錐P─ABCD的底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)相等，E是PA的中點(diǎn)，則異面直線BE與PC所成角的余弦值等于_______________。

7（96年全國(guó)）如圖，正方形ABCD所在平面與正方形ABEF所在平面

成60°的二面角，則異面直線AD與BF所成角的余弦值是____________.

8、（2001年江西）在空間中，

①若四點(diǎn)不共面，則這四點(diǎn)中任何三點(diǎn)都不共線。

②若兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)，則這兩條直線是異面直線。

以上兩個(gè)命題中，逆命題為真命題的是：___________________（把符合要求的命題序號(hào)都填上）。

9、如圖，長(zhǎng)方體AC₁中，AB=BC=2，AA₁=1，E、F分別是A₁B₁、BB₁的中點(diǎn)，求：

⑴EF、AD₁所成角；

⑵A₁D₁、BC₁的距離；

⑶AC₁、B₁C所成角.（提示：用空間向量知識(shí)）

空間的平行

〖考綱要求〗掌握直線與平面的平行的概念、性質(zhì)、判定；平面與平面的平行的概念、性質(zhì)、判定.

〖復(fù)習(xí)要求〗能運(yùn)用直線與平面平行的性質(zhì)定理、判定定理進(jìn)行論證和解決有關(guān)問(wèn)題. 能運(yùn)用平面與平面平行的性質(zhì)定理、判定定理進(jìn)行論證和解決有關(guān)問(wèn)題.

〖知識(shí)回顧〗

1、直線與平面平行的定義：

2、直線與平面平行的判定定理：

    ⑴線線平行線面平行；⑵平面a∥b，直線aÌaa∥b

3、直線與平面平行的性質(zhì)定理：

線面平行線線平行

  4、兩個(gè)平面平行的判定定理：

⑴平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；⑵垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行.

⑶如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行.

5、兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理：

⑴a∥β，aaa∥β；              ⑵a∥β，γ∩a=a，γ∩β=ba∥b.

⑶a∥β，a⊥aa⊥β；              ⑷夾在平行平面間的平行線段相等.

⑸過(guò)平面外一點(diǎn)，能并且只能作一個(gè)平面與已知平面平行.

〖課前練習(xí)〗

1、直線與平面平行的充要條件是這條直線與平面內(nèi)的…………………………………………（    ）

  (A)一條直線不相交     (B)兩條直線不相交   (C)任意直線不相交   (D)無(wú)數(shù)直線不相交.

2、a、b表示平面，m、n表示直線，則m∥a的一個(gè)充分條件是………………………………（    ）

  (A) a⊥b并且m⊥b     (B) a∩b=n，m∥n    (C) m∥n，n∥a     (D) a∥b，mÌ.b

3、過(guò)直線l外兩點(diǎn)作與l平行的平面，那么這樣的平面………………………………………（    ）

  (A) 不存在            (B) 只有一個(gè)        (C)有無(wú)數(shù)個(gè)         (D) 不能確定

4、如果一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系是…………（    ）

(A)平行          (B)相交          (C)平行或者相交         (D)不能確定

5、下列命題正確的是………………………………………………………………………………（    ）

(A)如果兩個(gè)平面有三個(gè)公共點(diǎn)，那么它們重合         

(B)過(guò)兩條異面直線中的一條可以作無(wú)數(shù)個(gè)平面與另一條直線平行        

(C)在兩個(gè)平行平面中，一個(gè)平面內(nèi)的任何直線都與另一個(gè)平面平行        

(D)如果兩個(gè)平面平行，那么分別在兩個(gè)平面中的兩條直線平行

6、給出命題：⑴垂直于同一直線的兩個(gè)平面平行；⑵平行于同一直線的兩個(gè)平面平行；⑶垂直于同一平面的兩個(gè)平面平行；⑷平行于同一平面的兩個(gè)平面平行；其中正確命題個(gè)數(shù)有…（    ）

(A)1             (B)2              (C)3                   (D)4

7、 ⑴過(guò)兩條異面直線中的一條和另一條平行的平面有                         個(gè).

⑵過(guò)兩條平行直線中的一條和另一條平行的平面有                         個(gè).

〖典型例題〗

1、a∩b=l，a∥a，a∥b，求證：a∥l.

2、正方體AC₁中，M、N分別為A₁B₁、A₁D₁的中點(diǎn)，E、F分別是B₁C₁、

C₁D₁的中點(diǎn).

⑴求證：E、F、B、D共面；⑵求證：平面AMN∥平面EFDB.

3、直三棱柱ABC―A₁B₁C₁中，過(guò)A₁、B、C₁的平面與平面ABC交于直線l. ⑴確定l與A₁C₁的位置關(guān)系； ⑵如果AA₁=1，AB=4，BC=3，∠ABC=90度，求A₁到l的距離.

4、如圖，空間四邊形ABCD被一平面所截，截面EFGH是平行四邊形. ⑴求證：CD∥平面EFGH；⑵如果AB、CD成角為a，AB=a， CD=b是定值，求截面EFGH面積的最大值.

〖課堂練習(xí)〗

1、已知a、b、c是三條不重合直線，a、b、g是三個(gè)不重合的平面，下列命題：

⑴a∥c，b∥ca∥b；⑵a∥g，b∥ga∥b；⑶c∥a，c∥ba∥b；

⑷g∥a，b∥aa∥b；⑸a∥c，a∥ca∥a；⑹a∥g，a∥ga∥a.

其中正確的命題是…………………………………………………………………………………（    ）

(A)⑴、⑷、       (B) ⑴、⑷、⑸     (C)⑴、⑵、⑶        (D)⑵、⑷、⑹

2、平面M上有不共線的三點(diǎn)到平面N的距離相等，那么平面M、N的關(guān)系為……………………（    ）

(A) 平行          (B)重合            (C)平行或者重合      (D)不能確定

3、a、b異面，a⊥平面M，b⊥平面N，那么平面M、N的位置關(guān)系是…………………………（    ）

(A) 平行          (B)重合            (C)相交              (D)不能確定

4、直線a平面a，那么平面M∥平面a是直線a∥M的…………………………………………（    ）

(A)充分不必要條件 (B)必要不充分條件  (C)充要條件          (D)既不充分也不必要條件

5、在空間，下列命題正確的是………………………………………………………………………（    ）

(A)如果兩條直線a、b與直線c成等角，那么a∥b.

(B)如果兩條直線a、b與平面M成等角，那么a∥b.

(C)如果直線a平面M、N成等角，那么M∥N.         

(D)如果平面P與平面M、N成等角，那么M∥N.

6、直線a∥直線b，a∥平面a，那么b與a的關(guān)系為                   .

〖能力測(cè)試〗                                         姓名                 得分       .

1、設(shè)直線a平面a，命題甲：平面a∥b；命題乙：直線a∥b，那么甲是乙的………………（    ）

(A)充分不必要條件     (B)必要不充分條件  (C)充要條件  (D)既不充分也不必要條件

2、a、b是異面直線，P是a、b外任意一點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是………………………………（    ）

(A)過(guò)P可以作一個(gè)平面與a、b都平行       (B)過(guò)P可以作一個(gè)平面與a、b都垂直

(C)過(guò)P可以作一直線與a、b都平行         (D)過(guò)P可以作一直線與a、b成等角.

3、下列命題：

⑴直線上有兩點(diǎn)到平面距離相等，那么直線與平面平行

⑵夾在兩個(gè)平行平面間的兩條異面線段的中點(diǎn)連線平行與這兩個(gè)平面

⑶直線m⊥平面a，直線n ⊥m，那么直線n∥a

⑷a、b是異面直線，則存在唯一的平面a，使它與a、b平行并且距離相等.

其中正確的命題是…………………………………………………………………………………（    ）

(A)⑴與⑵         (B) ⑵與⑶            (C)⑶與⑷           (D)⑵與⑷

4、兩個(gè)平面距離12cm，一條直線與它們成60，則該直線被夾在這兩個(gè)平面間的線段長(zhǎng)為       .

6、AC、BD是夾在兩個(gè)平行平面M、N間的兩條線段，AC=13，BD=15，AC與BD在平面M內(nèi)的射影長(zhǎng)度之和為14，那么平面M、N的距離為         .

7、如圖，兩個(gè)全等的正方形ABCD與ABEF，M∈AE，N∈BD，并

且AM=DN，求證：MN∥平面BCE

空間的垂直關(guān)系

〖考綱要求〗掌握直線與平面的垂直的概念、性質(zhì)、判定，掌握兩個(gè)平面的位置關(guān)系，能運(yùn)用兩平面垂直的性質(zhì)與判定進(jìn)行論證和解決有關(guān)問(wèn)題..

〖復(fù)習(xí)要求〗能運(yùn)用直線與平面垂直的性質(zhì)定理、判定定理進(jìn)行論證和解決有關(guān)問(wèn)題，熟練掌握兩個(gè)平面的位置關(guān)系及其有關(guān)概念，會(huì)用兩個(gè)平面垂直的定義、判定定理、性質(zhì)定理進(jìn)行計(jì)算和證明.

〖知識(shí)回顧〗

1、直線與平面垂直的定義：

2、直線與平面垂直的判定定理：

⑴定義；       ⑵直線與平面內(nèi)的兩條相交直線垂直；       ⑶a∥b，a⊥ab⊥a

3、直線與平面垂直的性質(zhì)定理：a⊥a且b⊥aa∥b

  4、特殊結(jié)論：

過(guò)一點(diǎn)有并且只有一條直線與已知平面垂直；過(guò)一點(diǎn)有并且只有一個(gè)平面與已知直線垂直.

5、兩個(gè)平面垂直的判定：

⑴定義；    ⑵判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直.

⑶如果一個(gè)平面和另一個(gè)平面的平行線垂直，那么這兩個(gè)平面垂直.

  6、兩個(gè)平面垂直的性質(zhì)：

⑴兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面.

⑵兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi).

〖課前練習(xí)〗

1、直線l與平面內(nèi)a的兩條直線都垂直，那么l與a關(guān)系是………………………………………（    ）

  (A)垂直            (B)平行             (C)斜交         (D)不能確定.

2、“直線l與平面內(nèi)a的無(wú)數(shù)直線都垂直”是“l⊥a”的………………………………………（    ）

  (A) 充分不必要條件 (B) 必要不充分條件  (C) 充要條件    (D) 既不充分也不必要條件

  5、過(guò)平面M 外的一條斜線a作平面N垂直于M，這樣的平面N個(gè)數(shù)為……………………（    ）

  (A)0               (B)1                (C)2            (D)無(wú)數(shù)

6、過(guò)平面M外A、B兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與平面M垂直，那么………………………………（    ）

  (A)AB∥M                       (B)AB與M成60度角  

(C)AB⊥M                       (D)A、B到M等距離

〖典型例題〗

 1、已知ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，M、N分別是AB、

PC中點(diǎn)，求證：AB⊥MN.

2、在四面體S―ABC中，如果SA=SB=SC=a，∠BSC=90，∠ASC=∠ASB=60º，求證：平面SBC⊥平面ABC

3、平行六面體A―C₁中，各個(gè)面都是全等的菱形，求證：面ACC₁A₁⊥面BDD₁B₁.

4、如圖，△ABC是正三角形，EC⊥平面ABC，BD∥CE，并且CE=CA=2BD，M是EA的中點(diǎn)，

求證：⑴DE=DA；⑵平面BDM⊥平面ECA；⑶平面DEA⊥平面ECA.