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遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈5：

應用型問題

    數學應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一, 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是深刻理解題意,學會文字語言向數學的符號語言的翻譯轉化,這就需要建立恰當的數學模型,這當中,函數,數列,不等式，排列組合是較為常見的模型,而三角,立幾,解幾等模型也應在復課時引起重視.

    例1某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定時開放健身房和娛樂室。據調查統計，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問，隨著時間的推移，去健身房的人數能否趨于穩定？

講解: 引入字母,轉化為遞歸數列模型.

設第n次去健身房的人數為a_n，去娛樂室的人數為b_n，則.

.

，于是

即      .

.故隨著時間的推移，去健身房的人數穩定在100人左右.

上述解法中提煉的模型, 使我們聯想到了課本典型習題（代數下冊P.132第34題）

已知數列的項滿足

其中，證明這個數列的通項公式是

有趣的是, 用此模型可以解決許多實際應用題, 特別, 2002年全國高考解答題中的應用題(下文例9)就屬此類模型.

    例2 某人上午7時乘摩托艇以勻速V千米/小時（4≤V≤20）從A港出發前往50千米處的B港，然后乘汽車以勻速W千米/小時（30≤W≤100）自B港向300千米處的C市駛去，在同一天的16時至21時到達C市, 設汽車、摩托艇所需的時間分別是x小時、y小時，若所需經費元，那么V、W分別為多少時，所需經費最少？并求出這時所花的經費.

    講解: 題中已知了字母, 只需要建立不等式和函數模型進行求解.

由于又

則z最大時P最小.

作出可行域，可知過點（10，4）時, z有最大值38，

    ∴P有最小值93，這時V=12.5，W=30.

    視這是整體思維的具體體現, 當中的換元法是數學解題的常用方法.

    例3 某鐵路指揮部接到預報，24小時后將有一場超歷史記錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時內筑一道歸時堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經測算，其工程量除現有施工人員連續奮戰外，還需要20輛翻斗車同時作業24小時。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調，每隔20分鐘有一輛車到達并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時內能否完成防洪堤壩工程？并說明理由.

講解: 引入字母, 構建等差數列和不等式模型.

由20輛車同時工作24小時可完成全部工程可知，每輛車，每小時的工作效率為，設從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a₁，a₂，…, a₂₅小時，依題意它們組成公差（小時）的等差數列，且

，化簡可得.

解得.

可見a₁的工作時間可以滿足要求，即工程可以在24小時內完成.

對照此題與2002年全國高考文科數學解答題中的應用題, 你一定會感覺二者的解法是大同小異的. 學習數學就需要這種將舊模式中的方法遷移為解答新題的有用工具, 這要求你不斷的聯想, 力求尋找恰當的解題方案.

試題詳情

遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈4：

開放型問題

        數學開放性問題是近年來高考命題的一個新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標的操作模式分為:規律探索型,問題探究型,數學建模型,操作設計型,情景研究型.如果未知的是解題假設,那么就稱為條件開放題;如果未知的是解題目標,那么就稱為結論開放題;如果未知的是解題推理,那么就稱為策略開放題.當然,作為數學高考題中的開放題其“開放度”是較弱的,如何解答這類問題,還是通過若干范例加以講解.

例 1 設等比數列的公比為  ，前 項和為 ，是否存在常數 ，使數列 也成等比數列？若存在，求出常數；若不存在，請  明 理 由.

   講解 存在型開放題的求解一般是從假設存在入手, 逐步深化解題進程的.

   設存在常數， 使數列 成等比數列.

     (i) 當  時， 代入上式得

          即=0

但, 于是不存在常數 ，使成等比數列.

     (ii) 當 時，， 代 入 上 式 得

    .

       綜 上 可 知 ,  存 在 常 數 ，使成等比數列.

   等比數列n項求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 !

例2  某機床廠今年年初用98萬元購進一臺數控機床，并立即投入生產使用，計劃第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設使用x年后數控機床的盈利額為y萬元.

（1）寫出y與x之間的函數關系式；

（2）從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）；

 (3 ) 使用若干年后，對機床的處理方案有兩種：

 (i )當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該機床；

     (ii )當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床，問用哪種方案處理較為合算？請說明你的理由.

講解 本例兼顧應用性和開放性, 是實際工作中經常遇到的問題.

   （1）

            =.                                    

   （2）解不等式  ＞0,

得       ＜x＜.

∵　x∈N， 　∴　3 ≤x≤ 17.

故從第3年工廠開始盈利.

（3）(i) ∵　≤40

當且僅當時，即x=7時，等號成立.

∴　到2008年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利12×7+30=114萬元.

(ii)　　y=-2x²+40x-98= -2（x-10）² +102，

當x=10時，y_max=102.

故到2011年，盈利額達到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元.

試題詳情

遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈3：

代數推理

數學是“教會年輕人思考”的科學, 針對代數推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過典型的問題, 解析代數推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時將函數與方程, 數形結合, 分類與討論, 等價與化歸等數學思想方法貫穿于整個的解題訓練過程當中.

    例1  設函數，已知，時恒有，求a的取值范圍.

     講解: 由

         ,

從而只要求直線L不在半圓C下方時, 直線L 的y截距的最小值.

當直線與半圓相切時，易求得舍去）.

故.

本例的求解在于 關鍵在于構造新的函數, 進而通過解幾模型進行推理解題, 當中, 滲透著數形結合的數學思想方法, 顯示了解題思維轉換的靈活性和流暢性.

還須指出的是: 數形結合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請三思而后行.

    例2 已知不等式對于大于1的正整數n恒成立，試確定a的取值范圍.

    講解: 構造函數，易證(請思考:用什么方法證明呢?)為增函數.

    ∵n是大于1的 正整數，

對一切大于1的正整數恒成立，必須,

即

這里的構造函數和例1屬于同類型, 學習解題就應當在解題活動的過程中不斷的逐類旁通, 舉一反三, 總結一些解題的小結論. 針對恒成立的問題, 函數最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請提煉你的小結論.

    例3  已知函數在區間[－b，1－b]上的最大值為25，求b的值.

    講解: 由已知二次函數配方, 得

     時，的最大值為4b²+3=25. 

      上遞增，

      上遞增，

         .

       關于二次函數問題是歷年高考的熱門話題, 值得讀者在復課時重點強化訓練. 針對拋物線頂點橫坐標在不在區間[－b，1－b], 自然引出解題形態的三種情況, 這顯示了分類討論的數學思想在解題當中的充分運用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統一完全依具體的數學問題而定, 需要在解題時靈活把握.

   例4已知

    的單調區間；

    （2）若

    講解: （1） 對 已 知 函 數 進 行 降 次 分 項 變 形  , 得 ,

    （2）首先證明任意

事實上,

     而

      .

     函 數 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新 , 是 既 考 知 識 又 考 能 力 的 好 題  型 , 在 高 考 備 考 中 有 較 高 的 訓 練 價 值.. 針對本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法!

     例5  已知函數f(x)=（ａ＞０，ａ≠１）．?

(1) 證明函數f(x)的圖象關于點P()對稱．?

(2) 令a_n＝，對一切自然數n，先猜想使a_n＞ｎ^２成立的最小自然數a,并證明之．?

(3) 求證：∈Ｎ).

講解: (1)關于函數的圖象關于定點P對稱, 可采用解幾中的坐標證法.

設M(x,y)是f(x)圖象上任一點，則M關于P()的對稱點為M’（１－ｘ，１－ｙ），?

∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，

故函數f(x)的圖象關于點P()對稱.?

(2)將f(n)、f(1-n)的表達式代入a_n的表達式，化簡可得a_n＝ａ^ｎ猜a=3,

即3^ｎ＞ｎ^２．?

下面用數學歸納法證明．?

設n=k(k≥２)時，3^ｋ＞ｋ^２．?

那么n=k+1，3^ｋ＋１＞３?３^ｋ＞３ｋ^２?

又3k^２－（ｋ＋１）^２＝２（ｋ－）^２－≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）?

∴３^ｎ＞ｎ^２.?

(3)∵３^ｋ＞ｋ^２?

∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ?

令k=1,2,…，n，得n個同向不等式，并相加得：

函數與數列綜合型問題在高考中頻頻出現,是歷年高考試題中的一道亮麗的風景線.針對本例,你能夠猜想出最小自然數a=3嗎? 試試你的數學猜想能力.

    例6 已知二次函數，設方程的兩個實根為x₁和x₂.

   （1）如果，若函數的對稱軸為x=x₀，求證：x₀＞－1；

   （2）如果，求b的取值范圍.

講解:（1）設，由得, 即

            ，

故；

（2）由同號.

①若.

又，負根舍去）代入上式得

，解得；

②若 即4a－2b+3＜0.

同理可求得.

    故當

    對你而言, 本例解題思維的障礙點在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類問題, 你會很順利的克服嗎? 我們力求做到學一題會一類, 不斷提高邏輯推理能力.

   例7 對于函數，若存在成立，則稱的不動點。如果函數有且只有兩個不動點0，2，且

   （1）求函數的解析式；

   （2）已知各項不為零的數列，求數列通項；

   （3）如果數列滿足，求證：當時，恒有成立.

  講解:  依題意有,化簡為 由違達定理, 得

解得 代入表達式，由

得 不止有兩個不動點，

（2）由題設得     （*）

且          （**）

由（*）與（**）兩式相減得：

解得（舍去）或，由，若這與矛盾，，即{是以-1為首項，-1為公差的等差數列，；

  （3）采用反證法，假設則由（1）知

,有

，而當這與假設矛盾，故假設不成立，.

  關于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上:

  由得<0或

  結論成立；

  若，此時從而即數列{}在時單調遞減，由，可知上成立.

     比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數學解題后需要進行必要的反思, 學會反思才能長進.

    例8 設a，b為常數，：把平面上任意一點

 （a，b）映射為函數

   （1）證明：不存在兩個不同點對應于同一個函數；

   （2）證明：當，這里t為常數；

   （3）對于屬于M的一個固定值，得，在映射F的作用下，M₁作為象，求其原象，并說明它是什么圖象.

    講解: （1）假設有兩個不同的點（a，b），（c，d）對應同一函數，即與相同，

即 對一切實數x均成立.

特別令x=0，得a=c；令，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個不同點矛盾，假設不成立

故不存在兩個不同點對應同函數.

（2）當時，可得常數a₀，b₀，使

=

由于為常數，設是常數.

從而.

（3）設，由此得

在映射F之下，的原象是（m，n），則M₁的原象是

.

消去t得，即在映射F之下，M₁的原象是以原點為圓心，為半徑的圓.

    本題將集合, 映射, 函數綜合為一體, 其典型性和新穎性兼顧, 是一道用“活題考死知識”的好題目, 具有很強的訓練價值.

例9  已知函數f(t)滿足對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.

   （1）求f(1)的值;

   （2）證明：對一切大于1的正整數t，恒有f(t)>t；

   （3）試求滿足f(t)=t的整數t的個數，并說明理由.

講解 （1）為求f(1)的值，需令

令.

令.

   （2）令(※)

.

由,

,

于是對于一切大于1的正整數t，恒有f(t)>t.

   （3）由※及（1）可知.

下面證明當整數.

(※)得

即……，

將諸不等式相加得

   .

綜上，滿足條件的整數只有t=1，.

本題的求解顯示了對函數方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，這種賦值法在2002年全國高考第（21）題中得到了很好的考查.

例10  已知函數f（x）在（－1，1）上有定義，且滿足x、y∈（－1，1） 有．

（1）證明：f（x）在（－1，1）上為奇函數；

（2）對數列求；

（3）求證

    講解  （1）令則

            令則 為奇函數. 

   （2）， 

    是以－1為首項，2為公比的等比數列．

  （3）

 而  

    本例將函數、方程、數列、不等式等代數知識集于一題，是考查分析問題和解決問題能力的范例. 在求解當中，化歸出等比（等差）數列是數列問題常用的解題方法.

試題詳情