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專題八《銳角三角函數與解直角三角形》
●中考點擊
考點分析：
內容
要求
1、特殊角的三角函數值
Ⅰ
2、利用計算器求銳角的三角函數值，并能根據已知的三角函數值求對應的銳角
Ⅱ
3、綜合運用三角函數解決與直角三角形有關的簡單實際問題
Ⅱ
命題預測：本專題內容主要涉及兩方面，一是銳角三角函數問題的基本運算，二是解直角三角形．其中，解直角三角形的應用題是中考重點考查的內容，題型廣泛，有測建筑物高度的，有與航海有關的問題，有與筑路、修堤有關的問題．要注意把具體問題轉化為數學模型，在計算時不能直接算出某些量時，要通過列方程的辦法加以解決．
預測2007年中考的考查熱點，主要要求能夠正確地應用sinA、cosA、tgA、ctgA表示直角三角形兩邊的比，并且要熟記30°、45°、60°角的各個三角函數值．理解直角三角形中的邊、角之間的關系，會用勾股定理及銳角三角函數解直角三角形，并會用相關的知識解決一些簡單的實際問題，尤其是在計算距離、高度和角度等方面．
●難點透視
例1已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝3，那么下列各式中，正確的是
A、
B、
C、
D、
【考點要求】本題考查銳角三角函數的概念。
【思路點撥】根據題目所給條件，可畫出直角三角形，結合圖形容易判斷
是∠B的正切值。
【答案】選C。
【方法點撥】部分學生會直接憑想象判斷并選擇結果，從而容易導致錯誤。突破方法：這類題目本身難度不大，但卻容易出現錯誤，關鍵是要畫出圖形，結合圖形進行判斷更具直觀性，可減少錯誤的發生。
例2某山路坡面坡度
,某人沿此山路向上前進
【考點要求】本是考查坡度與坡角正切值關系。
【思路點撥】坡度即坡角的正切值為
，所以坡角的正弦值可求得等于
，所以沿著山路前進=10（米）。
【答案】填10。
【方法點撥】少數學生因為未能正確理解坡度的意義，而出現使用錯誤。突破方法：牢記坡度表示坡角的正切值即坡角的對邊：坡角的鄰邊=，然后再結合直角三角形，可求出坡角的正弦值，從而容易求得結果。
例3如圖8-1，在△ABC中，∠C＝90°，點D在BC上，BD＝4，AD＝BC，cos∠ADC=
．求：（1）DC的長；（2）sinB的值．
【考點要求】本題考查銳三角函數概念的相關知識及其簡單運用。
【思路點撥】（1）∵在Rt△ABC中，cos∠ADC＝＝
，設CD＝3k，∴AD＝5k
又∵BC＝AD，∴3k+4＝5k，∴k＝2． ∴CD＝3k＝6
（2）∵BC＝3k＋4＝6＋4＝10，AC＝
＝4k＝8
∴AB＝
∴sinB=
【答案】（1）CD＝6；（2）sinB=
。
【方法點撥】本題的關鍵是抓住“AD＝BC”這一相等的關系，應用銳角三角函數的定義及勾股定理解題．
例4如圖所示，秋千鏈子的長度為
，則秋千踏板與地面的最大距離約為多少？(參考數據：
≈0.8,
≈0.6)
【考點要求】本題考查利用銳角三角函數知識和解直角三角形解決實際生活中的直角三角形問題．
【思路點撥】設秋千鏈子的上端固定于A處，秋千踏板擺動到最高位置時踏板位于B處．過點A，
B的鉛垂線分別為AD，BE，點D，E在地面上，過B作BC⊥AD于點C．
在Rt
中，∵
，
，
∴ AC=
≈
=1.8（m）．
∴ 
≈
（m）．
∴ 
≈
（m）．
【答案】秋千擺動時踏板與地面的最大距離約為m．
【方法點撥】部分學生想直接求出踏板離地最高的距離即BE，但卻缺少條件。突破方法：通過作輔助線，將BE轉化到CD位置上，根據題目所給條件容易求出AC，從而可求得CD的長。
解題關鍵：利用解直角三角形求解實際問題的關鍵在于構造適當的直角三角形。
例5如圖8-5，一條漁船某時刻在位置A觀測燈塔B、C(燈塔B距離A處較近)，兩個燈塔恰好在北偏東65°45′的方向上，漁船向正東方向航行l小時45分鐘之后到達D點，觀測到燈塔B恰好在正北方向上，已知兩個燈塔之間的距離是12海里，漁船的速度是16海里／時，又知在燈塔C周圍18.6海里內有暗礁，問這條漁船按原來的方向繼續航行，有沒有觸礁的危險?
【考點要求】本題考查解直角三角形在航海問題中的運用，解決這類問題的關鍵在于構造相關的直角三角形幫助解題．
【思路點撥】在Rt△ABD中，
（海里），
∠BAD=90°-65°45′=24°15′.
∵cos24°15′=
， ∴
(海里).
AC=AB+BC=30.71+12=42.71(海里).
在Rt△ACE中，sin24°15′=
，
∴CE=AC?sin24°15′=42.71×0.4107=17.54(海里).
∵17.54＜18.6，∴有觸礁危險。
【答案】有觸礁危險，不能繼續航行。
【方法點撥】本題有兩個難點，一是要能將實際問題抽象為數學問題，二是構造合適的直角形。突破方法：有無觸礁危險，關鍵看離燈塔C最近的距離與18.6的大小關系，如果最近的距離大于18.6，則不會有觸礁危險。
解題關鍵：離燈塔最近的距離是從燈塔向航線作垂線段。
例6某數學興趣小組，利用樹影測量樹高．已測出樹AB的影長AC為
（1）求出樹高AB；
（2）因水土流失，此時樹AB沿太陽光線方向倒下，在傾倒過程中，樹影長度發生了變化，假設太陽光線與地面夾角保持不變，試求樹影的最大長度．
（計算結果精確到
≈1.414，
≈1.732）
 |
【考點要求】本題考查解直角三角形在測量中的實際運用．
【思路點撥】（1）在Rt△A BC中，∠BAC＝90°，∠C＝30°
∵tanC＝
∴AB＝AC?tanC＝9×
≈5.2（米）
（2）以點A為圓心，以AB為半徑作圓弧，當太陽光線與圓弧相切時樹影最長，點D為切點，DE⊥AD交AC于E點，（如圖2）
在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，∠E＝30°，
∴AE＝2AD＝2×5.2＝10.4（米）
【答案】樹高AB約為
【方法點撥】部分學生第（1）問沒有太大困難，第（2）問中樹在傾倒過程中，確定何處樹影最長比較困難。突破方法：以A為圓心，AB為半徑作圓弧，其中與圓弧相切的太陽光線所照射得到的樹影最長。
解題關鍵：如何用直觀的方式將樹傾倒過程體現出來，這是解決該題的關鍵所在。
例7初三（5）班綜合實踐小組去湖濱花園測量人工湖的長，如圖
，結果精確到
【考點要求】本題考查解直角三角形在實際生活當中的綜合運用．要求學生能根據問題實際快速確定正確解決問題的方法．
【思路點撥】過點B作BE⊥D，BF⊥D，垂足分別為E，F，如圖2
由題意知，AD⊥CD
∴四邊形BFDE為矩形
∴BF=ED
在Rt△ABE中，AE=AB?cos∠EAB
在Rt△BCF中，BF=BC?cos∠FBC
∴AD=AE+BF=20?cos60o+40?cos45o
=
=
=10+20×1.414
=38.28（米）
【答案】
【方法點撥】部分學生知道需要利用解直角三角形來解題，但卻又不知從何處入手。突破方法：在無法直接求出AD長的情況下，可考慮分段計算，也就是構造多個直角三角形，化整為零，各個突破，再積零為整，求得結果。
●難點突破方法總結
銳角三角函數與解直角三角形在近年的中考中，難度比以前有所降低，與課改相一致的是提高了應用的要求，強調利用解直角三角形知識解決生活實際中的有關測量、航海、定位等方面的運用。因此，在本專題中，有以下幾點應加以注意。
1.正確理解銳三角函數的概念，能準確表達各三角函數，并能說出常用特殊角的三角函數值。
2.在完成銳角三角函數的填空、選擇題時，要能根據題意畫出相關圖形，結合圖形解題更具直觀性。
3.能將實際問題轉化為相關的直角三角形問題，即把實際問題抽象為幾何問題，研究圖形，利用數形結合思想、方程思想等解決生活問題。
4.注重基礎，不斷創新，掌握解直角三角形的基本技能，能靈活應對在測量、航海、定位等現代生活中常見問題，這也是以后中考命題的趨勢。
●拓展練習
海南省國興中學 海師附中 嘉積中學 三亞一中
2009年高三聯考地理科試題卷
注意事項：
（1）本試卷分為試題卷和答題卷兩部分。答案寫在答題卷上，寫在試題卷上無效。
（2）本試卷共12頁，試題卷8頁，答題卷4頁。
（3）本試卷滿分100分，考試時間90分鐘。
第Ⅰ卷
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專題七《圓》
●中考點擊
考點分析：
內容
要求
1、圓、等圓、等弧等概念及圓的對稱性，點和圓的位置關系以及其有關概念
Ⅰ
2、弧、弦、圓心角、弦心距四者之間的關系，能根據具體條件確定這四者之間的關系
Ⅱ
3、圓的性質及圓周角與圓心角的關系、直徑所對圓周角的特征，靈活運用圓周角的知識進行有關的推理論證及計算
Ⅱ
4、垂徑定理的應用及逆定理的應用，會添加與之相關的輔助線
Ⅱ
5、圓與三角形和圓內接四邊形的知識及綜合運用
Ⅱ
命題預測：本專題主要考查圓的重要性質以及和圓有關的角、線段、環長和面積的計算，另外也會考查圓與勾股定理、相似三角形知識的綜合應用．其中，點和圓、直線和圓的位置關系的判斷以及和圓有關的簡單計算一般以選擇填空題形式考查；有關圓與圖形的相似、三角函數、函數等知識的綜合應用一般是以證明、閱讀理解、探索存在等解答題的形式考查．
從2005和2006年各地區中考試題中有關圓的考查內容占分比例分析，課改區一般占到10%左右，而非課改區以往對這一部分較為看重，前幾年一般占到20%以上，但近年已降至14%左右，不難看出正逐步向課改區靠攏，而且難度也有所降低．預測2008年中考這部分內容的考查會更加貼近生活，重視實用，同時強調基礎，突出能力的考查．
●難題透視
例1如圖7-1，在
中，弦
平行于弦
，若
，則
____度．
【考點要求】本題主要考查圓中圓心角與圓周角之間的關系．
【思路點拔】∵∠B=
∠AOC，
∴∠B=40°
∵AD∥BC
∴∠B =40°
【答案】填：40
【方法點撥】本題部分學生不能很快發現所求角與已知角之間的關系．突破方法：抓住題中的所在條件，如本題中的兩條弦平行，由此可將∠DAB轉化為∠ABC，然后再利用圓周角與圓心的角關系求解．
解題關鍵：本題要求學生要熟悉同弧所對的圓周角與圓心角之間的關系，即同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，同時還要根據平行線的性質進行解題．
例2如圖8-2，AB是的⊙O的直徑，BC、CD、DA是⊙O的弦，且BC=CD=DA，則∠BCD=（ ）
A．1000 B．
【考點要求】本題考查了圓中弧、弦、圓心（周）角之間的關系，以及直徑所對的弧是半圓等基本知識．
【思路點拔】∵AB是的⊙O的直徑
∴
度數是1800
∵BC=CD=DA
∴
=
=
∵∠BCD=
=1200
【答案】選填C
【方法點撥】本題要求學生要能比較熟悉圓中的弧、弦和圓心角之間的有關系，即同圓中相等的弦所對的弧相等，所對的圓心角也相等，同時還要知道直徑是圓的一條特殊的弦，其所對的圓心角等于180°，以及圓心角與圓周角之間的關系，綜合運用這些知識，容易理解要求某個圓周角，只需求得其所對的弧的度數．
例3已知：AB和CD為⊙O的兩條平行弦，⊙O的半徑為
【考點要求】本題考查圓中弦、弦心距等與弦有關的計算問題．
【思路點拔】由于圓內的的兩條弦均小于圓的直徑，因此可確定出圓中的兩條平行弦的位置關系有兩種：一是位于圓心的同側；二是位于圓心的異側．如圖8-3：過O作EF⊥AB，分別交AB、CD于E、F，則AE=4┩，CF=3┩，由勾股定理可求出OE=3┩，OF=4┩．故當AB、CD在圓心異側時，距離為7┩，在圓心同側時，距離為1┩．
【答案】填：7┩或1┩
【方法點撥】本題難點有兩個：一是有不少學生容易只考慮其中的一種情形，而忽視另一情形；二是輔助線的添加．突破方法：一般幾何填空題中，如果不配圖，在自己作圖時，應全面考慮各種可能情況．圓中與弦有關的計算或證明問題，往往需要連結半徑和弦心距，以構造直角三角形，從而應用勾股定理進行計算．
例4用圓規、直尺作圖，不寫作法，但要保留作圖痕跡．
某居民小區一處圓柱形的輸水管道破裂，維修人員為更換管道，需確定管道圓形截面的半徑，如圖7-5圖是水平放置的破裂管道有水部分的截面．
（1）請你補全這個輸水管道的圓形截面；
（2）若這個輸水管道有水部分的水面寬AB＝
【考點要求】本題考查圓內心的確定，及與弦有關計算問題，同時考查學生動手操作圖形的能力和利用基本知識解決簡單問題的能力．
【思路點拔】（1）正確作出圖形，如圖7-6并做答．
（2）過O作OC⊥AB于D ，交弧AB于C，
∵OC⊥AB
， ∴BD＝
AB＝×16＝
由題意可知，CD＝
設半徑為x cm，則OD＝（x－4）cm．
在Rt△BOD 中，由勾股定理得：
OD2＋BD2＝OB2， ∴( x－4)2＋82＝x2．
∴x＝10．
【答案】這個圓形截面的半徑為
【方法點撥】這是一道作圖與解答相結合的中考題，部分學生不會補全整個圓面或者補全之后不知如何進行計算．突破方法：補全圓面的關鍵在于確定圓心，然后再利用勾股定理進行計算．
解題關鍵：確定圓心時，主要根據圓的定義，取弧上的兩條弦，作出兩條弦的垂直平分線，交點即為圓心，然后連結半徑構造直角三角形．
例5如圖7-7，有一木制圓形臉譜工藝品，H、T兩點為臉譜的耳朵，打算在工藝品反面兩耳連線中點D處打一小孔．現在只有一塊無刻度單位的直角三角板（斜邊大于工藝品的直徑），請你用兩種不同的方法確定點D的位置（畫出圖形表示），并且分別說明理由．
【考點要求】本題考查線段垂直平分線知識，通過對圓中弦的中點的確定，考查學生綜合運用知識的能力．
【思路點拔】方法一：畫弦的垂直平分線常用的依據是根據垂徑定理，如圖7-8中，圖①，畫TH的垂線L交TH于D，則點D就是TH的中點．
方法二：利用全等三角形，如圖②，分別過點T、H畫HC⊥TO，TE⊥HO，HC與TE相交于點F，過點O、F畫直線L交HT于點D，由畫圖知，Rt△HOC≌Rt△TOE，易得HF=TF，又OH=OT，所以點O、F在HT的中垂線上，所以HD=TD了，則點D就是HT的中點．
方法三：如圖③，（原理同方法二）
【答案】見圖．
【方法點撥】這一道題有一定的開放性，題目中只提供了一塊無刻度單位的直角三角板（斜邊大于工藝品的直徑），工具的限至使用學生思維不易完全打開．突破方法： 充分利用三角板直角，可畫垂直線段，從而能夠根據垂徑定理或者構造全等的直角三角形來確定弦的中點．
例6如圖7-9，AB是⊙O的直徑，BD是⊙O的弦，延長BD到點C，使DC=BD，連接AC交⊙O與點F．
（1）AB與AC的大小有什么關系?為什么?
（2）按角的大小分類， 請你判斷△ABC屬于哪一類三角形，并說明理由．
【考點要求】本題考查與圓有關的性質在三角中的應用．
【思路點拔】（1）（方法1）連接DO ，∵OD是△ABC的中位線，
∴DO∥CA，∵∠ODB＝∠C，∴OD＝BO ，∴∠OBD＝∠ODB，
∴∠OBD＝∠ACB，∴AB＝AC
（方法2）連接AD， ∵AB是⊙O的直徑，∴AO⊥BC，
∵BD＝CD，∴AB＝AC
（方法3）連接DO∵OD是△ABC的中位線，∴OD=
AC ，OB=OD=AB，∴AB=AC
（2） 連接AD，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°
∴∠B＜∠ACB＝90°．∠C＜∠ACB＝90°．∴∠B、∠C為銳角
∵AC和⊙O交于點F，連接BF，
∴∠A＜∠BFC＝90°．∴△ABC為銳角三角形
【答案】（1）AB＝AC；（2）△ABC為銳角三角形
【方法點撥】部分學生第（1）題會做出判斷，但不知如何證明，而第（2）題又容易將問題結果簡單、特殊化，易錯誤的判斷為等邊三角形．突破方法：判斷或證明線段的大小關系時，一般結論是相等，在同一個三角形中可根據等角對等邊證明，如果在兩個三角形中，往往會根據三角形全等證明，同時還要看清題目要求，如本題就是要求按角的大小分類進行判斷，而不是邊的大小關系．
解題關鍵：證明同一個三角形中的兩邊相等，一般根據等角對等邊進行證明．
例7如圖7-13，已知AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為H．
（1）求證：AH ?AB=AC2；
（2）若過A的直線與弦CD（不含端點）相交于點E，與⊙O相交于點F，求證：AE?AF=AC2；
（3）若過A的直線與直線CD相交于點P，與⊙O相交于點Q，判斷AP?AQ=AC2是否成立(不必證明)．
【考點要求】本題考查與圓有關的三角形相似問題，是一道幾何綜合證明題．
【思路點拔】（1）連結CB，∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=90°．
而∠CAH=∠BAC，∴△CAH∽△BAC ．
∴
， 即AH?AB=AC2
．
（2）連結FB，易證△AHE∽△AFB，
∴ AE?AF=AH?AB，
∴ AE?AF=AC2 ．
(也可連結CF，證△AEC∽△ACF)
（3）結論AP?AQ=AC2成立．
【答案】 （3）結論AP?AQ=AC2成立．
【規律總結】等積式的證明往往要轉化為比例式進行，部分學生不知改寫為何種比例式比較合適．突破方法：把等積式轉化為比例式時，要結合圖形書寫，如證明AH ?AB=AC2時，可將其先轉化為，然后從比例式中對應邊的比容易看出證明的目標為△CAH∽△BAC，從而使得解題變得有的放矢．
解題關鍵：證明圓中的等積式或比例式問題時，往往會利用三角形的相似，因為圓中容易證明角相等．
●難點突破方法總結
在求解有關圓的中考試題，尤其是難題時，應盡量注意巧妙而又快速地找到其突破口，把題目由繁化簡，變難為易．歸納下來，有這樣幾個方面值得考生們注意：
1.掌握解題的關鍵點．（1）有直徑，常作其所對的圓周角；（2）有切線，常將切點與圓心連結起來；（3）有關弦的問題，常需作弦心距．聯系垂徑定理和直角三角形中的勾股定理；（4）研究兩圓位置關系時，常作公切線和連心線；（5）有關切線的判定問題，根據題目條件，主要是兩條思路，連半徑證明垂直，或者是作垂直證明半徑．
2.重視基本定理與基本圖形相結合，計算與推理相結合，靈活運用各種方法．
3.重視數學思想方法的應用．運用分析法、演繹法、截補法，結合方程思想、分類討論思想、數形結合思想解有關圓的應用題，探索開放性題和方案設計．
●拓展演練
海南省國興中學、海師附中、農墾中學、三亞一中
2009年高三聯考化學科試題卷副卷
注意事項：
1．本試卷分第I卷(選擇題)和第II卷(非選擇題)兩部分。答卷前，考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答第I卷時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
可能用到的相對原子質量：H
第I卷
2009屆國興中學 海師附中 嘉積中學 三亞一中
高三聯考語文科試卷B
注意事項：
（1）本試卷分為試題卷和答題卡兩部分。試題卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷。請將答案寫在答題卡上，寫在試卷上無效。
（2）本試卷共17 頁。其中試題卷10 頁，答題卷 7 頁。
（3）本試卷滿分150分，考試時間為150分鐘。
第Ⅰ卷
甲 必考題
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專題五《線段、角與三角形》
●中考點擊
考點分析：
內容
要求
1、直線、線段、射線的概念，線段中點的概念及應用
Ⅰ
2、角平分線、線段的垂直平分線、平行線的性質
Ⅱ
3、余角、補角、鄰補角的概念，進行角度換算
Ⅰ
4、平行線的概念、性質及判定，兩點之間的距離，點到直線的距離
Ⅱ
5、三角形的有關概念，三角形中線的性質及運用
Ⅰ
6、全等三角形的概念、性質及判定
Ⅱ
7、等腰三角形、直角三角形、等邊三角形的概念、性質及判定
Ⅱ
8、利用勾股定理及其逆定理解決簡問題
Ⅰ
命題預測：從近兩年全國課改實驗區和非課改實驗區的中考試題分析，直線型這部分內容是平面幾何的起始內容，概念比較集中，中考對這部分內容的考查以概念為主，主要考查同學們對幾何概念的認識和理解程度.這類中考題常以填空題和選擇題的形式出現，解題時可采用概念辨析法來提高解題的速度與質量．
三角形的知識歷年中考均有涉及，主要考查基本概念及簡單應用，題型常以填空題、選擇題、解答題等形式出現，分值一般在4％－6％之間．近年來有部分地區又出現了一些探索、開放型題目，意在考查學生的知識運用能力和創新能力，其中值得注意的網格中的三角形問題．
2007年中考，將繼續考查線段的中點的概念及應用，對頂角、余角、補角的性質及應用．繼續考查垂線、線段的垂直平分線的性質的應用，進一步突出平行線性質與判定方法的綜合應用．三角形全等的性質和判定，等腰三角形、直角三角形的性質和判定．
●難點透視
例1下列說法中，正確的是（ ）
A．一條射線把一個角分成兩個角，這條射線叫做這個角的平分線
B．
是直線
外一點，
，
，
分別是上的三點，已知
，
，
，則點到的距離一定是1
C．相等的角是對頂角
D．鈍角的補角一定是銳角
【考點要求】本題考查對線與角的基本概念的掌握。
【思路點撥】四個選擇支分別給出了四個不同說法，需要用角平分線、點到直線的距離、對頂角和鈍角、銳角、補角的有關概念做出判斷．
一條射線把一個角分成兩個角，這兩個角不一定相等，A錯；
不一定是點到的距離，所以B錯；相等的角也不一定是對頂角，故C也錯．
【答案】選D．
【方法點撥】部分學生沒有充分題解距離的意義，容易錯誤認地為B是正確答案。突破方法：結合圖形進行判斷，線段PA雖然是最短的，但不一定與直線垂直，因此不可稱作距離。
解題關鍵：正確理解直線外一點到直線的距離是過這點所作直線的垂線段的長度。
例2如圖5-1，AB、CD、EF相交于O，AB⊥CD，OG平分∠AOE，∠FOD=28°，則∠AOG的度數為（ ）
A．56° B．59° C．60° D．62°
【解析】本題考查通過相交線、垂線、角平分線的組合圖形來檢查同學們觀察、分析圖形的能力．
因為∠FOD與∠COE是對頂角，所以∠COE=28°，又AB⊥CD，所以∠COE＋∠EOB=90°，故∠EOB=62°.由＋∠AOE=180°，有∠AOE=118°.因為OG平分∠AOE，所以∠AOG=59°．
【答案】選B。
本題的突破方法：要抓住OG平分∠AOE，所以要求∠AOG的度數，只要能求出∠AOE的度數即可。
例3如圖5-2，已知BC=CD=DE=EA,∠A=20°,那么∠B的度數是
度。
【考點要求】本題考查等腰三角形基本性質及等邊三角形的判定等知識的運用。
【思路點撥】根據等邊對等角及三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和可依次求得∠EDA=20°，∠DEC=40°，∠DCE=40°，∠BDC=60°，又BC=CD，所以△BCD是等邊三角形。
【答案】∠B的度數是60度。
【方法點撥】部分學生在第二次使用“三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內角的和”求∠BDC時，容易出現錯誤求得∠BDC=80度。突破方法：看清每一個外角是哪個三角形的外角。∠BDC是△ACD的外角，所以與其不相鄰的兩個內角分別等于20度、40度。
例4如圖5-3，△ADF和△BCE中，∠A=∠B，點D、E、F、C在同―直線上，有如下三個關系式：① AD=BC；② DE=CF；③BE∥AF。
（1）請用其中兩個關系式作為條件，另一個作為結論，寫出所有你認為正確的命題．（用序號寫出命題書寫形式，如：如果
、，那么）
（2）選擇（1）中你寫出的―個命題，說明它正確的理由．
【考點要求】本題考查的是全全等三角形的判定與性質的應用。
【思路點撥】這是一種開放性的問題，不拘于某種固定的答案，其特點是靈活性較強，能較好地考查學生的思維組織及對知識的靈活運用程度。（1）如果①，③，那么②；如果②，③，那么①；（2）可根據角角邊、角邊角進行證明。
【答案】如果①，③，那么②；證明略。
【方法點撥】部分學生對三角形全等的判定方法掌握不夠到位，會錯寫成“如果①，②，那么③”的形式。突破方法：在證明三角形全等問題時，要盡量避開出現“邊邊角”條件的情況。
例5我們來探究 “雪花曲線”的有關問題：圖5-4中的圖（1）是邊長為1的正三角形，將此正三角形的每條邊三等分，而以居中的那一條線段為底邊再作正三角形，然后以其兩腰代替底邊,得到第二個圖形如圖5-4中的圖（2）；再將圖5-4中的圖（2）的每條邊三等分，并重復上述的作法，得到第三個圖形如圖5-4中的圖（3）；如此繼續下去，得到的第五個圖形的周長應等于（ ）
A．3 B．
C．
D．
【考點要求】本題是一道和三角形的周長有關的探索型問題．
【思路點撥】從圖形我們可以觀察到從第一個圖形開始，每進行一次操作，所得到的圖形的周長是原來圖形周長的
倍，所以第二個圖形的周長為
；第三個圖形的周長為
；第四個圖形的面積為
；第五個圖形的面積為
．
【答案】選B．
【方法點撥】部分學生無法找出其中的變化規律，想通過逐個計算的方法求解，此方法較為繁雜從而導致計算錯誤。突破方法：從前一個三角形到后一個三角的每邊長發生的變化進行分析，找出變化規律，而整個周長的變化也具有相同規律。
解題關鍵：本題作為規律探索題，可用公式表示結果，如第n個圖形的周長應等于
。
例6已知：如圖5-6，圓O是△ABC的外接圓，圓心O在這個三角形的高CD上，E、F分別是邊AC和BC的中點，求證：四邊形CEDF是菱形.
【考點要求】本題綜合考查了三角形、四邊形及圓的有關知識。
，
，
，
，
，
，
，
。
【答案】證明參見思路點撥。
【方法點撥】部分學生容易根據“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”證明CE=DE，CF=BF，但卻不知怎么證明這四條邊相等。突破方法：先要設法證明△ABC是等腰三角形。
解題關鍵：本題在等AC=BC時，除了用全等，也可根據圓中的垂徑定理進行證明。
例7一架長
，斜立在一豎直的墻上，這時梯子底端距墻底
【考點要求】本題考查勾股定理的應用．
【思路點撥】是的．
證明1：
在
中，
米．
米．
在
中，
米．
．即梯子底端也滑動了
證明2：
在中，米．
米．
可證
．
所以
米．
．即梯子底端也滑動了
梯子的底端在水平方向沿一條直線也將滑動
【答案】證明參見思路點撥。
【方法點撥】本題突破方法主要就是利用勾股定理進行證明，但要注意的是這一結論并不是對所有情形都成立，多數情況下梯子在豎直和水平方向上的滑動距離并不相等，關鍵要看相關的數據。
例8如圖5-7，已知在△ABC中，AB=AC，∠BAC=120°，AC的垂直平分線EF交AC于點E，交BC于點F.求證：BF=2CF．
【考點要求】本題考查線段的垂直平分線的有關知識。
【思路點撥】本題解題關鍵是輔助線的添加，連結EF可求解．
因為EF是AC的垂直平分線，所以AF=FC。
因為AB=AC，∠BAC=120°，所以∠B=∠C=30°，所以∠BAF=90°，所以AF=
BF，即BF=2AF．
【答案】證明參見思路點撥。
【方法點撥】部分學生沒有添加輔助線，因而無法將CF進行轉化，證明不到BF與CF的關系。突破方法：在同一直線上的的線段倍數關系證明，應設法轉化到同一個三角形中，根據特殊角的相關性質加以證明。
解題關鍵：利用垂直平分線的性質，作出輔助線AF，將CF轉化為AF，再進行證明。
例9一個直立的火柴盒在桌面上倒下，啟迪人們發現了勾股定理的一種新的證明方法．如5-8，火柴盒的一個側面
倒下到
的位置，連結
，設
，請利用四邊形
的面積證明勾股定理：
．
【考點要求】本題考查勾股定理的證明，試題貼近生活，設計新穎，操作簡單，有利于培養學生的動手能力．
【思路點撥】因為四邊形為直角梯形，
所以
而Rt
Rt
，所以
所以
所以
，所以
即．
【答案】證明參見思路點撥。
【方法點撥】部分學生因未能將四邊形的面積分割成恰當的圖形，從而無從證明。突破方法：可將四邊形分為三個三角形，分別計算面積，而四邊形本身又是一個直角梯形，也可整體求出其面積，從而建立相等關系。
● 難點突破方法總結
在本部分試題中，出現較多容易混淆的概念和性質，如直線、射線、線段；對頂角、鄰補角；平角與直線；平行線折判定與性質；垂線與垂線段的作圖等。在應考時可利用“比較 ”的思想方法，弄清它們的聯系與區別，以防作出錯誤推斷。此外，還有以下幾點需要注意。
1.掌握角平分線的性質和垂直平分線性質，能靈活運用它們解決實際問題。
2.掌握三角形有關的性質、判定與解題方法，如倍長中線法、構造全等三角形法，截長補短法等是應考的前提。
3.加強對探索題、動點問題、創新題的訓練與研究，并不斷歸納總結方法，逐步形成數學能力。
3.掌握三角形證明題的解題思路和方法，如分解圖形法，構造圖形法，分析法，綜合法，以及數形結合法等。
4.注重知識的歸納總結，并逐步形成一個相對完整的體系，以便于求解綜合題、創新題和開放題。
●拓展演練
海南省國興中學 海師附中 嘉積中學 三亞一中2009年高三聯考數學（文科）試卷(備用)
第I卷（選擇題，共60分）
注意事項：
（1）本試卷分為試題卷和答題卷兩部分。請將答案寫在答題卷上，寫在試題卷上無效。
（2）本試卷共11頁，試題卷6頁，答題卷5 頁。
（3）本試卷滿分150分，考試時間120分鐘。
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專題四《統計與概率》
●中考點擊
考點分析：
內容
要求
1、數據的收集、整理、描述與分析等統計的意義
Ⅰ
2、總體、個體、樣本，全面調查及抽樣抽查，頻數、頻率等概念
Ⅰ
3、利用扇形圖、條形圖、直方圖及折線圖進行數據整理
Ⅱ
4、理解概率的意義，會用列舉法及頻率求概率
Ⅱ
5、能利用統計與概率知識解決實際生活中的有關問題
Ⅱ
命題預測：概率是新課程標準下新增的一部分內容，從2004、2005以及2006年課改實驗區的中考試題來看，概率在試題中占有一定的比例，一般在10分左右，因此概率已成為近兩年及今后中考命題的亮點和熱點．
在中考命題時，關于概率的考題，多設置為現實生活中的情境問題，要求學生能分清現實生活中的隨機事件，并能利用畫樹狀圖及列表的方法計算一些簡單事件發生的概率．因此學生在復習時要多接觸現實生活，多作實驗，留心身邊的每一件事，把實際問題與理論知識結合到一塊來考慮問題．預測2007年將進一步考查在具體情況中求簡單事件發生的概率以及運用概率的知識對一些現象作出合理的解釋．
●難點透視
例1六個學生進行投籃比賽，投進的個數分別為2、3、5、13、3、10，這六個數的中位數為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【考點要求】本題考查統計的基本概念中位數的意義．
【思路點拔】中位數是把數據按一定順序排列后位于中間位置的一個數或兩個數的平均數，本題共6個數據，按從小到大順序排列后，中間位置的兩個數是第3、4個，分別是3和5，它們的平均數為4，所以中位數是4．
【答案】選B．
【錯解剖析】不能正確理解中位數的意義，簡單的理解成中間位置上的一個數或兩個數的平均數．突破方法：判斷中位數時，必須先按一定順序排列．
解題關鍵：要看清一組數據是否按一定順序排列．
例2如圖4-1是甲、乙兩戶居民家庭全年支出費用的扇形統計圖．根據統計圖，下面對全年食品支出費用判斷正確的是（ ）
A．甲戶比乙戶多 B．乙戶比甲戶多
C．甲、乙兩戶一樣多 D．無法確定哪一戶多
【考點要求】本題考查扇形統計圖的意義．
【思路點拔】因為扇形統計圖中的數據只能反映各組數據所占的百分比的大小，題目中并沒有提供支出的總費用，所以不能確定全年食品支出的具體大小．
【答案】選D．
【錯解分析】部分學生簡單地從所占百分比進行比較判斷．突破方法：具體費用的多少，必須用總費用乘各項支出的百分比．
解題關鍵：扇形圖中各項的百分比表示各組數據所占的比例大小，但不能表示具體的數值．
例3 “長三角”16個城市中浙江省有7個城市．圖4-2中，圖1、圖2分別表示2004年這7個城市GDP（國民生產總值）的總量和增長速度．則下列對嘉興經濟的評價，錯誤的是
A．GDP總量列第五位 B．GDP總量超過平均值
C．經濟增長速度列第二位 D．經濟增長速度超過平均值
【考點要求】本題考查條形統計知識，要求能根據統計分析相關數據，得出信息．
【思路點拔】由條形圖1可知，嘉興GDP總量在杭州、寧波、紹興、臺州之后，位列第5，而由條形圖2可知GDP增長速度位于舟山之后，列第2；由圖1，可算得GDP總量平均值為1301.6億元，由條形圖2可算得增長速度平均值為15.5%．
【答案】選B．
【方法點撥】本題以計算為主．突破方法：要做出正確選擇，必須求出兩個條形圖中提供信息的平均值．
例4一位賣“運動鞋”的經銷商到一所學校對9位學生的鞋號進行了抽樣調查. 其號碼為：24、22、21、24、23、20、24、23、24. 經銷商最感興趣的是這組數據中的（ ）
A．中位數 B．眾數 C．平均數 D．方差
【考點要求】本題考查統計知識在生活中的應用．
【思路點拔】因為經銷商所關心的是哪種號碼的鞋最好銷售，也就是各種號碼中賣出最多的．
【答案】選B．
【規律總結】本題是一道聯系生活實際的問題．突破方法：銷售商最想知道的是哪種號碼的鞋最好賣，能反應出這一點的是眾數．
例5甲、乙、丙三臺機床生產直徑為
【考點要求】本題考查方差的有關知識，方差越小，說明數據波動越小，比較穩定．
【思路點拔】因為S2乙＜S2丙＜S2甲，所以乙機床生產的螺絲質量比較穩定．
【答案】填乙．
【錯解剖析】不能正確理解方差與波動之間的關系．突破方法：正確理解方差越大，波動越大，說明數據越不穩定．
例6以下說法合理的是（ ）
A、小明在10次拋圖釘的試驗中發現3次釘尖朝上，由此他說釘尖朝上的概率是30%
B、拋擲一枚普通的正六面體骰子，出現6的概率是1/6的意思是每6次就有1次擲得6
C、某彩票的中獎機會是2%，那么如果買100張彩票一定會有2張中獎．
D、在一次課堂進行的試驗中，甲、乙兩組同學估計硬幣落地后，正面朝上的概率分別為0.48和0.51．
【考點要求】本題考查對概率意義的理解．
【思路點拔】A項中實驗次太少；B項應該是經過大量實驗平均每6次有一次擲得6；C不一定，彩票數量很大，這100張中可能一張也不會中獎，也可能不止一張中獎；D項兩組概率接近0.5，所以正確．
【答案】選D．
【錯解剖析】容易錯選B，主要是由于未能正確理解概率的意義，必須是在大量試驗的前提下，平均每6次就有1次．
例7如果甲邀請乙玩一個同時拋擲兩枚硬幣的游戲，游戲的規則如下：同時拋出兩個正面，乙得1分；拋出其他結果，甲得1分. 誰先累積到10分，誰就獲勝.你認為 （填“甲”或“乙”）獲勝的可能性更大.
【考點要求】本題考查利用概率判斷規則的公平性．
【思路點拔】兩枚硬幣拋擲的所有可能結果是：正正、正反、反正、反反，其中兩個正面的概率是P（兩個正面）=
，所以甲的積分為：
×1=，乙的積分為：×1=.因此甲獲勝可能性更大．
【答案】填甲．
【錯解剖析】部分學生易錯誤的認為其它他結果為一正一反即正反與反正，從而把甲得分概率錯求為
．突破方法：兩個正面之外的其他結果包括一正一反、反反．
解題關鍵：用列舉法把各種結果全部表示出來．
例8用6個球（除顏色外沒有區別）設計滿足以下條件的游戲：摸到白球的概率為，摸到紅球的概率為
，摸到黃球的概率為
，則應設
個白球， 個紅球， 個黃球．
【考點要求】本題考查概率實驗中小球數目的確定．
【思路點拔】因為一共有6個球，需滿足條件：摸到白球的概率為，摸到紅球的概率為，摸到黃球的概率為，則白球有6×=3個，紅球有6×=2個，黃球有6×=1個．
【答案】填3，2，1．
【錯解剖析】部分學生容易忽視總共是6個球，而只考慮三種顏色球之比為3：2：1.
例9在中考體育達標跳繩項目測試中，1分鐘跳160次為達標，小華記錄了她預測時1分鐘跳的次數分別為145，156，143，163，166，則他在該次預測中達標的概率是
【考點要求】本題主要考查計算簡單事件發生的概率．
【思路點拔】這個事件的所有可能出現的結果有5種，其中達標的結果有2種，所以他達標的概率是
.
【答案】
【方法點拔】由預測的達標概率來估計中考達標原概率．
例10我市部分學生參加了2005年全國初中數學競賽決賽，并取得優異成績. 已知競賽成績分數都是整數，試題滿分為140分，參賽學生的成績分數分布情況如下：
分數段
0－19
20－39
40－59
60－79
80－99
100－119
120－140
人 數
0
37
68
95
56
32
12
請根據以上信息解答下列問題：
（1） 全市共有多少人參加本次數學競賽決賽？最低分和最高分在什么分數范圍？
（2） 經競賽組委會評定，競賽成績在60分以上 (含60分)的考生均可獲得不同等級的獎勵，求我市參加本次競賽決賽考生的獲獎比例；
（3） 決賽成績分數的中位數落在哪個分數段內？
（4） 上表還提供了其他信息，例如：“沒獲獎的人數為105人”等等. 請你再寫出兩條此表提供的信息.
【考點要求】本題考查利用統計知識對所給數據進行分析，并解決相關問題．
【思路點拔】（1）全市共有300名學生參加本次競賽決賽，最低分在20－39之間，最高分在120－140之間
（2） 本次決賽共有195人獲獎，獲獎率為65％ .
（3） 決賽成績的中位數落在60―79分數段內.
（4） 如“120分以上有12人；60至79分數段的人數最多；……”等.
【答案】（1）最低分在20－39之間，最高分在120－140之間；
（2）獲獎率為65％；
（3）60至79分；
（4）120分以上有12人；60至79分數段的人數最多．
【方法點拔】從問題出發，對表格中的數據進行分析，找出對解題有用的信息．
例11市體校準備挑選一名跳高運動員參加全市中學生運動會，對跳高運動隊的甲、乙兩名運動員進行了8次選拔比賽．他們的成績（單位：m）如下：
甲：1.70 1.65 1.68 1.69 1.72 1.73 1.68 1.67
乙：1.60 1.73 1.72 1.61 1.62 1.71 1.70 1.75
(1)甲、乙兩名運動員的跳高平均成績分別是多少？
(2)哪位運動員的成績更為穩定？
(3)若預測，跳過
【考點要求】本題考查平均數、方差等知識，并能利用方差判斷成績的穩定性，從而幫助作出決策的實際應用問題．
【思路點拔】（1）
（2）
故甲穩定
（3）可能選甲參加，因為甲8次成績都跳過
也可能選乙參加，因為甲僅3次超過1.70m．（答案不唯一，言之有據即可）
【答案】（1）；
（2）甲穩定；
（3）答案不唯一，言之有據即可
【方法點拔】回答第（3）問時，并無固定答案，從不同角度可做出不同回答．
例12如圖所示，A、B兩個旅游點從2002年至2006年“五、一”的旅游人數變化情況分別用實線和虛線表示．根據圖中所示解答以下問題：
（1）B旅游點的旅游人數相對上一年，增長最快的是哪一年？
（2）求A、B兩個旅游點從2002到2006年旅游人數的平均數和方差，并從平均數和方差的角度，用一句話對這兩個旅游點的情況進行評價；
（3）A旅游點現在的門票價格為每人80元，為保護旅游點環境和游客的安全，A旅游點的最佳接待人數為4萬人，為控制游客數量，A旅游點決定提高門票價格．已知門票價格x（元）與游客人數y（萬人）滿足函數關系
．若要使A旅游點的游客人數不超過4萬人，則門票價格至少應提高多少？
【考點要求】本題考查從折線圖中獲取信息，并結合信息加以評價，解決相關問題．
(1)B旅游點的旅游人數相對上一年增長最快的是2005年．
(2)
＝
＝3（萬元），
＝
＝3（萬元）
＝
[(-2)
＋(-1)＋0＋1＋2]＝2，
＝[0＋0＋(-1)＋1＋0]＝
從2002至2006年，A、B兩個旅游點平均每年的旅游人數均為3萬人，但A旅游點較B旅游點的旅游人數波動大．
(3)由題意，得 ５－
≤４ 解得x≥100 100-80＝20
【答案】（1）2005年；
（2）從2002至2006年，A、B兩個旅游點平均每年的旅游人數均為3萬人，但A旅游點較B旅游點的旅游人數波動大；
（3）至少要提高20元．
【方法點拔】完成第（3）問時要先確定票價與游客人數的函數關系，然后根據題目要求列出不等式，求出相應的票價，再計算出票價提高多少．
例13小紅和小明在操場做游戲，他們先在地上畫了半徑分別2ｍ和3ｍ的同心圓（如圖4-5），蒙上眼在一定距離外向圈內擲小石子，擲中陰影小紅勝，否則小明勝，未擲入圈內不算，你來當裁判．
（1）你認為游戲公平嗎？為什么？
（2）游戲結束后，小明邊走邊想，“反過來，能否用頻率估計概率的方法，來估算非規則圖形的面積呢？”．請你設計方案，解決這一問題．（要求畫出圖形，說明設計步驟、原理，寫出公式）
【考點要求】本題考查設計用頻率估計概率的方法，來估算非規則圖形的面積的方案，即用概率知識進行方案設計．
【思路點拔】（1）不公平
∵P(陰)=
，即小紅勝率為
，小明勝率為
∴游戲對雙方不公平
（2）能利用頻率估計概率的實驗方法估算非規則圖形的面積．
設計方案：① 設計一個可測量面積的規則圖形將非規則圖形圍起來（如正方形，其面積為S）．如圖4-6所示；
② 往圖形中擲點(如蒙上眼往圖形中隨意擲石子，擲在圖外不作記錄)．
③ 當擲點數充分大（如1萬次），記錄并統計結果，設擲入正方形內m次，其中n次擲圖形內．
④
設非規則圖形的面積為S＇，用頻率估計概率，即頻率P＇（擲入非規則圖形內）=
概率P(擲入非規則圖形內)=
，
故
【答案】（1）不公平；
（2）能利用頻率估計概率的實驗方法估算非規則圖形的面積．
【方法點拔】本題第（2）問的解決是在第（1）問的逆向思維基礎上進行，只有正確解決了第（1）問并能正逆理解才能有第（2）問的方案設計思路．
● 難點突破方法總結
統計與概率問題中，中考考查以基礎題主為，難題一般為實際運用，解題時應注意以下幾點．
1．提高運算技能，平均數、中位數、極差、方差、頻率等數值都要定的數學運算得到，而運算的結果將會影響到統計的預測．
2．提高閱讀理解和識別圖表的能力，統計問題的試題中，許多問題都是以社會熱點為背景，形式靈活多樣，綜合性較強，強調課內知識和課外活動相結合，調查分析和收集整理相結合；
3．注重在具體情境中體會概率的意義，理解概率對生活指導的現實作用；
4．加強統計與概率之間的關系，同時要避免將概率內容的學習變成數字運算的練習；
5．加強訓練，能用規范的語言表述自己的觀點．
●拓展演練
海南省國興中學 海師附中 嘉積中學 三亞一中
2009年高三聯考物理科試卷
注意事項：
1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。答卷前，請考生務必將自己的姓名、準考證號填寫在答題卡上。
2．回答第I卷時，選出小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，用再選涂其它答案標號。寫在本試卷上無效。
3．回答第II卷時，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。
4．考試結束后，將本試卷和答題卡一并交回。
第Ⅰ卷（選擇題，共34分）
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專題三《函數》
●中考點擊
考點分析：
內容
要求
1、函數的概念和平面直角坐標系中某些點的坐標特點
Ⅰ
2、自變量與函數之間的變化關系及圖像的識別，理解圖像與變量的關系
Ⅰ
3、一次函數的概念和圖像
Ⅰ
4、一次函數的增減性、象限分布情況，會作圖
Ⅱ
5、反比例函數的概念、圖像特征，以及在實際生活中的應用
Ⅱ
6、二次函數的概念和性質，在實際情景中理解二次函數的意義，會利用二次函數刻畫實際問題中變量之間的關系并能解決實際生活問題
Ⅱ
命題預測：函數是數形結合的重要體現，是每年中考的必考內容，函數的概念主要用選擇、填空的形式考查自變量的取值范圍，及自變量與因變量的變化圖像、平面直角坐標系等，一般占2%左右．一次函數與一次方程有緊密地聯系，是中考必考內容，一般以填空、選擇、解答題及綜合題的形式考查，占5%左右．反比例函數的圖像和性質的考查常以客觀題形式出現，要關注反比例函數與實際問題的聯系，突出應用價值，3―6分；二次函數是初中數學的一個十分重要的內容，是中考的熱點，多以壓軸題出現在試卷中．要求：能通過對實際問題情景分析確定二次函數的表達式，并體會二次函數的意義；會用描點法畫二次函數圖像，能叢圖像上分析二次函數的性質；會根據公式確定圖像的頂點、開口方向和對稱軸，并能解決實際問題．會求一元二次方程的近似值．
分析近年中考，尤其是課改實驗區的試題，預計2007年除了繼續考查自變量的取值范圍及自變量與因變量之間的變化圖像，一次函數的圖像和性質，在實際問題中考查對反比例函數的概念及性質的理解．同時將注重考查二次函數，特別是二次函數的在實際生活中應用．
●難點透視
例1反比例函數
的圖象經過點（2，5），若點（1，n）在反比例函數的圖象上，則n的值是
．
【考點要求】本題考查用反比例函數圖象上的點確定其解析式，并會用解析式確定點的坐標．
【思路點撥】因為反比例函數的圖象經過點（2，5），所以可將點（2，5）的坐標代入
，求k就可確定解析式，再將點（1，n）代入解析式中求n的值．或直接根據反比例函數性質即圖象上點的橫、縱坐標之積為常數k來求n，由題意得2×5=1×n，所以n=10．
【答案】填10.
【方法點撥】由反比例函數解析式經過變形，可以得到
，因為k是一個常數，所以在反比例函數圖象上的所在的點的橫、縱坐標的乘積是一個定值，根據這個結論，很容易求出這類問題的結果．
例2如圖3-1，已知點A的坐標為（1，0），點B在直線
上運動，當線段AB最短時，點B的坐標為
A. (0，0) B. 
C. 
D. 
【考點要求】本題考查一次函數、線段、直角三角形等知識，數形結合是重要的數學方法之一．
當線段AB最短時AB⊥BO，又由點B在直線上可知∠AOB=45°，且OA=1，過點B作x軸的垂線，根據等腰“三線合一”及直角三角形“斜邊的中線等于斜邊的一半”容易求得點B坐標為，
【答案】選B．
【誤區警示】部分學生能找出B點運動到何處線段AB最短，但卻無法求出具體坐標。突破方法：已知直線BO解析式，求點的坐標是根據兩直線相交，再求出AB直線的解析式，利用方程組求出交點坐標。
解題關鍵：互相垂直的兩直線解析式中，一次項系數互為倒數，據此再結合點A的坐標可求出直線AB的解析式。
例3某出版社出版一種適合中學生閱讀的科普讀物，若該讀物首次出版印刷的印數不少于5000冊時，投入的成本與印數間的相應數據如下：
印數x（冊）
5000
8000
10000
15000
…
成績y（元）
28500
36000
41000
53500
…
（1）經過對上表中數據的探究，發現這種讀物的投入成本y（元）是印數x（冊）的一次函數．求這個一次函數的解析式（不要求寫出x的以值范圍）；
（2）如果出版社投入成績48000元，那么能印讀物多少冊？
【考點要求】本題考查一次函數解析式的確定及其應用．
【思路點撥】（1）設所求一次函數解析式為
，則
，解得
,所以所求函數的關系式為
.
（2）因為
，所以x=12800
【答案】能印該讀物12800冊．
【方法點撥】關鍵要從題目所給表格中的數據選擇合適的一對值代入所設解析式，求出解析式。
例4若M
、N
、P
三點都在函數
（ｋ＜0）的圖象上，則
的大小關系為（ ）
A、
＞
＞
B、＞＞ C、＞＞ D、＞＞
【考點要求】本題考查反比例函數的性質及用函數圖象比較函數值大小．
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