題目列表(包括答案和解析)
6.已知
均為銳角,若
的 ( )
A.充分而不必要條件 B.必要而不充分條件
C.充要條件 D.既不充分也不必要條件
解:∵由
、
均為銳角,
得0<α<α+β<
∴sin(α+β)>sinα,但
、
均為銳角,sinα<sin(α+β),不一定能推出α+β<
,如α=
,β=
就是一個反例,選(C)
5.不等式組
的解集為 ( )
A.
B.
C.
D.![]()
解∵|x-2|<2的解集為(0,4),log2(x2-1)>1的解集為
,∴不等式組
的解集
,選(C)
4.設向量a=(-1,2),b=(2,-1),則(a·b)(a+b)等于 ( )
A.(1,1) B.(-4,-4) C.-4 D.(-2,-2)
解:(a·b)(a+b)=[-2+(-2)](1,1)=(-4,-4),選(B)
3.若函數
是定義在R上的偶函數,在
上是減函數,且
,則使得
的取值范圍是 ( )
A.
B.![]()
C.
D.(-2,2)
解:∵函數
是定義在R上的偶函數,在
上是減函數,且
,∴f(-2)=0, 在
上
的x的取值范圍是
,又由對稱性
,∴在R上fx)<0仰x的取值范圍為(-2,2),選(D)
2.
( )
A.
B.
C.
D.![]()
解:
,選(D)
1.圓
關于原點(0,0)對稱的圓的方程為 ( )
A.
B.![]()
C.
D.![]()
解:∵圓
的圓心(-2,0)關于原點對稱的點為(2,0),∴圓
關于原點對稱的圓為(x-2)2+y2=5,選(A).
22.(本小題12分)
(Ⅰ)證明:(1)當n=2時,
,不等式成立.
(2)假設當
時不等式成立,即![]()
那么
. 這就是說,當
時不等式成立.
根據(1)、(2)可知:
成立.
(Ⅱ)證法一:
由遞推公式及(Ⅰ)的結論有
![]()
兩邊取對數并利用已知不等式得
![]()
故
![]()
上式從1到
求和可得
![]()
![]()
即![]()
(Ⅱ)證法二:
由數學歸納法易證
成立,故
![]()
令![]()
取對數并利用已知不等式得 ![]()
![]()
上式從2到n求和得 ![]()
![]()
因![]()
故
成立.
21.(本小題12分)
解:(Ⅰ)設雙曲線C2的方程為
,則![]()
故C2的方程為![]()
(II)將![]()
由直線l與橢圓C1恒有兩個不同的交點得
![]()
即
①
.
由直線l與雙曲線C2恒有兩個不同的交點A,B得
![]()
![]()
![]()
解此不等式得
③
由①、②、③得
![]()
故k的取值范圍為![]()
20.(本小題13分)
解法一:
(Ⅰ)因AB⊥面BB1C1C,故AB⊥BE.
又EB1⊥EA,且EA在面BCC1B1內的射影為EB.
由三垂線定理的逆定理知EB1⊥BE,因此BE是異面直線
AB與EB1的公垂線,
在平行四邊形BCC1B1中,設EB=x,則EB1=
,
作BD⊥CC1,交CC1于D,則BD=BC·![]()
在△BEB1中,由面積關系得
.
(負根舍去)
![]()
解之得CE=2,故此時E與C1重合,由題意舍去
.
因此x=1,即異面直線AB與EB1的距離為1.
(Ⅱ)過E作EG//B1A1,則GE⊥面BCC1B,故GE⊥EB1且GE在圓A1B1E內,
又已知AE⊥EB1
故∠AEG是二面角A-EB1-A1的平面角.
因EG//B1A1//BA,∠AEG=∠BAE,故![]()
解法二:
(Ⅰ)![]()
而BB1C1C得AB⊥EB1從而
=0.
![]()
設O是BB1的中點,連接EO及OC1,則在Rt△BEB1中,EO=
BB1=OB1=1,
因為在△OB1C1中,B1C1=1,∠OB1C1=
,故△OB1C1是正三角形,
所以OC1=OB1=1,
又因∠OC1E=∠B1C1C-∠B1C1O=
故△OC1E是正三角形,
所以C1E=1,故CE=1,易見△BCE是正三角形,從面BE=1,
即異面直線AB與EB1的距離是1.
(Ⅱ)由(I)可得∠AEB是二面角A-EB1-B的平面角,在Rt△ABE中,由AB=
,
BE=1,得tanAEB=
.
又由已知得平面A1B1E⊥平面BB1C1C,
故二面角A-EB1-A1的平面角
,故
![]()
解法三:
(I)以B為原點,
、
分別為y、z軸建立空間直角坐標系.
由于BC=1,BB1=2,AB=
,∠BCC1=
,
在三棱柱ABC-A1B1C1中有
B(0,0,0),A(0,0,
),B1(0,2,0),
![]()
設![]()
![]()
![]()
![]()
又AB⊥面BCC1B1,故AB⊥BE. 因此BE是異面直線AB、EB1的公垂線,
則
,故異面直線AB、EB1的距離為1.
(II)由已知有
故二面角A-EB1-A1的平面角
的大小為向量
的夾角.
![]()
19.(本小題13分)
![]()
(1)當![]()
![]()
|
x |
|
x1 |
|
|
|
|
|
+ |
0 |
- |
0 |
+ |
|
|
|
|
|
|
|
即此時
有兩個極值點.
(2)當
有兩個相同的實根![]()
于是![]()
無極值.
(3)![]()
![]()
為增函數,此時
無極值. 因此當
無極值點.
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