伴你學單元達標測試卷九年級數學蘇科版
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21. （本題8分）已知關于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2m + 1)x + m^{2}-4=0$.
（1）當$m$為何值時，方程有兩個不相等的實數根？
（2）若邊長為5的菱形的兩條對角線的長分別為方程兩根的2倍，求$m$的值.
答案：（1）$m＞-\frac{17}{4}$
解析：$\Delta=(2m + 1)^{2}-4(m^{2}-4)=4m + 17＞0$，解得$m＞-\frac{17}{4}$。
（2）$m=-4$
解析：設方程兩根為$x_{1},x_{2}$，則對角線長$2x_{1},2x_{2}$，菱形性質$(x_{1})^{2}+(x_{2})^{2}=5^{2}$，韋達定理$x_{1} + x_{2}=-(2m + 1)$，$x_{1}x_{2}=m^{2}-4$，則$(x_{1} + x_{2})^{2}-2x_{1}x_{2}=25$，代入得$(2m + 1)^{2}-2(m^{2}-4)=25$，解得$m=-4$或$m=2$，又對角線長為正，$2x_{1},2x_{2}＞0$，則$x_{1} + x_{2}＞0$，$m=-4$。
22. （本題6分）如圖，老李想用長為70 m的柵欄，再借助房屋的外墻圍成一個矩形羊圈ABCD，并在邊BC上留一個2 m寬的門。
（1）當羊圈的長和寬分別為多少米時，能圍成一個面積為640 m2的羊圈？
（2）羊圈的面積能達到650 m2嗎？如果能，給出設計方案；如果不能，說明理由.
答案：（1）長32米，寬20米
解析：設寬AB=x，則長BC=70 - 2x + 2=72 - 2x，面積$x(72 - 2x)=640$，$x^{2}-36x + 320=0$，解得$x=20$或$x=16$，長為32或40，取長32米，寬20米。
（2）不能
解析：面積$x(72 - 2x)=650$，$2x^{2}-72x + 650=0$，$\Delta=5184 - 5200=-16＜0$，方程無解，不能達到。
23. （本題6分）在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=10 cm，BC=6 cm，動點P、Q分別從點A、B同時出發，點P以2 cm/s沿AB向終點B移動，點Q以1 cm/s沿BC向終點C移動，一點到達終點另一點停止。設運動時間為x s.
（1）當x為何值時，△PBQ為等腰直角三角形？
（2）是否存在x的值，使得四邊形APQC的面積等于20 cm2？若存在，求出x的值；若不存在，說明理由.
答案：（1）$x=\frac{8}{3}$
解析：AB=8cm，PB=8 - 2x，BQ=x，等腰直角三角形則$8 - 2x=x$，解得$x=\frac{8}{3}$。
（2）存在，$x=2$
解析：在$\text{Rt}\triangle ABC$中，$AB=\sqrt{AC^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-6^{2}}=8\ \text{cm}$，$\triangle ABC$面積為$\frac{1}{2}\times8\times6=24\ \text{cm}^2$。四邊形$APQC$面積$=24 - S_{\triangle PBQ}=20$，則$S_{\triangle PBQ}=4$。$PB=8 - 2x$，$BQ=x$，$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}(8 - 2x)x=4$，即$(8 - 2x)x=8$，$ -2x^{2}+8x - 8=0$，$x^{2}-4x + 4=0$，$(x - 2)^{2}=0$，解得$x=2$。此時$P$移動$4\ \text{cm}$，$PB=4\ \text{cm}$，$Q$移動$2\ \text{cm}$，$BQ=2\ \text{cm}$，$S_{\triangle PBQ}=\frac{1}{2}\times4\times2=4$，滿足條件，故存在$x=2$。
