11. 設全集$ U = \mathbf{Z} $，集合$ M = \{x | x = 3k + 1, k \in \mathbf{Z}\} $，$ N = \{x | x = 3k + 2, k \in \mathbf{Z}\} $，$ P = \{x | x = 3k, k \in \mathbf{Z}\} $。判斷下列各式是否成立，并說明理由。
(1) $ \complement_U (M \cup N) = P $；
成立
(2) $ M = \{x | x = 3k - 2, k \in \mathbf{Z}\} $；
成立
(3) $ N = \{x | x = 3k - 1, k \in \mathbf{Z}\} $。
成立
答案：(1) 成立
解析：$ M \cup N = \{x | x = 3k + 1 或 3k + 2, k \in \mathbf{Z}\} $，即所有不是3的倍數的整數，所以$ \complement_U (M \cup N) = \{x | x = 3k, k \in \mathbf{Z}\} = P $。
(2) 成立
解析：令$ k' = k - 1 $，則$ x = 3(k' + 1) + 1 = 3k' + 4 $（舍），正確應為$ x = 3k - 2 = 3(k - 1) + 1 $，$ k \in \mathbf{Z} $，所以$ M = \{x | x = 3k - 2, k \in \mathbf{Z}\} $。
(3) 成立
解析：$ x = 3k - 1 = 3(k - 1) + 2 $，$ k \in \mathbf{Z} $，所以$ N = \{x | x = 3k - 1, k \in \mathbf{Z}\} $。
12. 已知兩個正整數集合$ A=\{a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\} $，$ B=\{a_{1}^{2},a_{2}^{2},a_{3}^{2},a_{4}^{2}\} $，其中$ a_{1}＜a_{2}＜a_{3}＜a_{4} $.若$ A\cap B=\{a_{1},a_{4}\} $，且$ a_{1}+a_{4}=10 $，$ A\cup B $的所有元素之和是124，求集合$ A $，$ B $.
集合$ A $為
$\{1,3,4,9\}$
，集合$ B $為
$\{1,9,16,81\}$
.
答案：$ A=\{1,3,4,9\} $，$ B=\{1,9,16,81\} $
因為$ A,B $是正整數集合，$ a_{1}＜a_{2}＜a_{3}＜a_{4} $，且$ A\cap B=\{a_{1},a_{4}\} $，所以$ a_{1}=a_{1}^{2} $，解得$ a_{1}=1 $.又$ a_{1}+a_{4}=10 $，則$ a_{4}=9 $.因為$ a_{4}=9 \in B $，所以$ 9 $是$ A $中某個元素的平方，故$ A $中必有元素$ 3 $.設$ A=\{1,3,x,9\} $，$ B=\{1,9,x^{2},81\} $，其中$ 3＜x＜9 $.$ A\cup B $的元素之和為$ 1+3+x+9+x^{2}+81=124 $，即$ x^{2}+x-30=0 $，解得$ x=5 $或$ x=-6 $（舍去），但$ x=5 $時$ A\cap B=\{1,9,25\} $與$ A\cap B=\{1,9\} $矛盾，故$ x=4 $，此時$ A=\{1,3,4,9\} $，$ B=\{1,9,16,81\} $，符合題意.
