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性

質

（1）定義域：

（2）值域：

（3）過點，即當時，

（4）在（0，+∞）上是增函數

（4）在上是減函數

3．例題分析：

例1、求下列各函數的定義域：（1）          ⑵

解：⑴，故定義域為(0,1)∪(1,+∞)

⑵設lg²x=t,則②為2-t-t²≥0，t²+t-2≤0,-2≤t≤1,-2≤lg²x≤1，

-1≤lgx≤1,10^-1≤x≤10      函數的定義域為[,10]

說明1：求復合函數的定義域，需從對數的真數大于0，開平方時被開方數不小于0，分式的分母不等于0等處入手。同時如果有幾個約束條件需要考慮時，應一一研究，防止遺漏。

說明2：此題只是對數函數性質的簡單應用，注意書寫格式。

練習1 (教材P69------2)

例2、(教材P67例2)比較下列各組數中兩個值的大小：

 （1），；  （2）log ₆7 , log ₇ 6；  （3）log ₃1.5 , log ₂ 0.8

解：（1）對數函數y=log_ax在上a>1時是增函數，0<a<1時是減函數；于是a>1時，log_a5.1<log_a5.9; 0<a<1時，log_a5.1>log_a5.9

（2）[方法一] （用中間值比較）log ₆7 >log₆6=1=log₇7>log ₇ 6

[方法二]（用換底公式）log ₆7 與log ₇ 6的大小與的大小lg²7與lg²6的大小lg7與lg6的大小，lg7>lg6,所以log ₆7 >log ₇ 6

（3）log ₃1.5>0> log ₂ 0.8

說明：本例是利用同底的對數函數的增減性比較兩個對數的大小的，底數與1的大小關系不明確時，要分情況對底數進行討論來比較兩個對數的大小；非同底時，可以加入中間值進行比較大小。

練習：教材P69------3

例3、將下列各組中數從小到大用<連接:（1） （2）;     ⑶

解：⑴（對這幾個數進行分組，分為大于1，0到1之間和小于0三組，然后再在每一小組內根據對數函數性質比較大小），小于0的數log_0.43,大于0小于1的數log_0.20.3、log_0.20.4，大于1的數log_0.30.2,所以log_0.43<log_0.20.4<log_0.20.3<log_0.30.2

⑵（三個數都大于1，沒有辦法分組，但可以化成同底的對數加以比較）=，=，所以log₄5<3/2<log₂3

說明：多個對數比較大小時，可以分組比較，也可以化成同一底的對數加以比較

練習：比較0.3²，log₂0.5，log_0.51.5的大小（log₂0.5<log_0.51.5<0.3^2）

^{例4、求函數y=lg2x-4lgx+1,(1≤x≤1000)的值域}

^{解：設lgx=t∈[0,3],y=t2-4t+1,畫出圖象有}

   函數值域為[-3，1]

   練習：當2≤x≤4時，求函數y=的值域

（三）小結：本節課學習了對數函數的定義、圖象和性質，掌握比較同底數對數大小的方法；

（四）、課后作業：教材P70-----2,3,7

補充作業

1．設y=lgx, 則下列結論中錯誤的是   (      )

A. x=1時,y=0  B. x>1時,y>0  C. 0<x<10時,0<y<1  D. x=10時, y=1

2．設，則f(3)的值是________-

3, 比較兩個數的大小:

4, 函數的定義域是_________

5．（1）函數與的圖象關于__________對稱；（2）函數與的圖象關于________對稱；（3）函數與的圖象關于_______對稱。

6. 求函數的值域

7. 設，定義在集合A上的函數的最大值比最小值大1，求a的值；

8*.函數，當時，函數的值域為，求a的值

                             [答案]

1、C；   2、256；   3、>;   4、{x|x>2/7且x≠2/5}；5、⑴x軸；⑵y軸；⑶原點；

6、t=x²-6x+17≥8，=t≤8=-3，值域為(-∞，-3]

7、a>1時，↑，log_aπ-log_a2=1,a=π/2；0<a<1時，↓，log_a2 -log_aπ=1，a=2/π；總之，a=π/2或a=2/π

8*、y=(log_a²x+3log_ax+2),設log_ax=t,y=(t²+3t+2)∈，-2≤t≤-1,-2≤ log_ax ≤-1，因為故0<a<1,log_ax↓，a^-2≥x≥a^-1,這樣 ，a=

                §3.2.2對數函數⑵對數函數的圖象

[三維目標]

[重點難點]圖象與解析式的對應關系

[過程]

從圖象上看出：在y>0上圖象越靠右，底數a的值越大；特別的，取直線y=1，與函數y=log_ax圖象的交點的橫坐標就是a，因此判斷對數函數的圖象對應的底數大小，可以先作出y=1這條直線，通過與圖象交點的橫坐標來體現。

例1、    的圖象如圖所示，那么a,b,c的大小關系是

解：作出y=1直線知：a>c>b

問題2：對數函數值什么情況下為正，什么情況下為負？

x范圍

區間（0，1）

區間（1，+∞）

a>1

-

+

0<a<1

+

-

總結：y=log_ax對于區間（0，1）及（1，+∞）而言，a與x在同區間函數值為正，異區間為負。

例2、已知，則m,n與1的大小關系是___________

解：π-3∈(0,1),二者都小于0，故m、n都大于1，作出圖象知m>n>1>0

練習：當時，已知函數的圖象必過定點M，則M的坐標為_____

（答案：(1,1)）

例3、試作出下列函數的圖象，并指出函數的單調區間，求出函數的值域。

⑴  ；⑵；⑶

   解：⑴y=,在0<x<1上是將y=lgx的圖象關于x軸對稱，如圖，單調增區間，減區間，函數的值域為

    說明：y=|f(x)|的圖象在f(x)<0上的圖象是將y=f(x)該部分的圖象關于x軸對稱得到

⑵函數是偶函數，圖象關于y軸對稱，從而可以得出函數的圖象；函數的單調增區間是(0,+∞)，單調減區間是（-∞，0），函數的值域是（-∞，+∞）

說明：作函數的圖象可以先根據函數的對稱或單調性質，再作圖象

⑶，函數的圖象可看作由函數的圖象在x軸上方（包括在x軸上的點）的部分保持不變，而將x軸下方的部分作關于x軸的對稱而得到。所以可以先作的圖象，將該圖象沿x軸向左平移1個單位，得到函數的圖象，再通過對稱得到的圖象，最后再將得到的圖象沿y軸向上平移2個單位，就得到所求的圖象了。

單調增區間為，單調減區間為，函數的值域為

[補充習題]

1、寫出下列a的范圍：⑴___________;⑵;⑶若函數y=log₂|ax-1|的對稱軸是直線x=2,則a=________;⑷定義在區間（－1，0）內的函數滿足

2、⑴將函數y=log(x-1)的圖象經過____________________平移，可得y=log(2x-2)的圖象；⑵把函數(a>0, a)的圖象向右平移兩個單位，圖象過定點____________

3、已知下列條件，寫出f(x)的解析式。⑴函數f(x)=a^x+k,它的圖像經過點（1，7）及（0，4）,f(x)=________________;⑵函數f(x)為奇函數,且x>0時,f(x)=lg(x+1),則f(x)=________

4、函數y=log₂|x-1|的單調增區間是________

5、根據條件，將下列數從小到大用<號相連。⑴設M=log, ________；⑵若a²>b>a>1,試比較的大小.____________；⑶若，則m,n,0,1的關系為______________

6、求函數的值域；

7、已知函數f(x)=2+log₃x(1≤x≤9)，求函數y=[f(x)]²+f(x²)的最大值和最小值，并求出相應x的值．

8*、求函數的定義域.

                       [解答]

1、⑴或a>1；⑵；⑶a=1/2;⑷0<a<1/2

2、⑴向上平行移動1個單位；⑵(4,0)

3、⑴f(x)=4^x+3；⑵f(x)=

4、（1，+∞）

5、⑴N < P <M;⑵;⑶0<n<m<1

6、y=(log_a²x+3log_ax+2),設log_ax=t,y=(t²+3t+2)∈

7、。令， ，y=t²+6t+6↑,t=1時y_min=6,此時x=1;t=1時y_max=13,此時x=3

8*、欲使f(x)有意義，須    1   當k≤0時，1恒成立，即x∈R;當k>0時：若即a>2，1成立⇔；若即a=2,易知，在0<k<1時，x∈R,在k≥1時，f(x)不存在；

若則

     綜上所述，(1)當k≤0時，f(x)的定義域是R;

 (2)當k>0時

a)           若a>2, f(x)的定義域是

b)若a=2, 在0<k<1時，f(x)的定義域是R,   在k≥1時，f(x)不存在；

     c) 若0<a<2, f(x)的定義域是

                     §3.2.2對數函數⑶對數的復合函數

    1、能根據對數函數的圖象，畫出含有對數式的函數的圖象，并研究它們的有關性質。

    2、能運用函數的通性以及對數函數的特性，討論研究含有對數式的復合函數的值域、單調區間及判斷奇偶性；

    1、通過師生之間、學生與學生之間互相討論、交流，使學生學會共同學習。

2、通過探究、思考、交流，培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，以及綜合運用知識的能力。

    1、通過本課的學習，使學生認清指數函數和對數函數這兩類基本的初等函數在研究方法上的異同之處，使學生體會知識之間的有機聯系以及蘊含在其中的數學思想和方法，樹立學好數學的信心。

    2、在數學過程中，通過學生的相互交流，加深對對數函數和指數函數的性質的理解，深化學生對函數圖象變化規律的理解，培養學生的數學交流能力，同時培養學生傾聽、接受別人意見的優良品質。

進一步理解對數函數的定義,掌握對數函數的圖象和性質的應用

教學重點：1.復合函數的值域及單調區間；2.對數函數的圖象和性質在解題中的運用。

教學難點：對數函數性質的應用1．掌握對數形式的復合函數單調性的判斷方法；

2．滲透應用意識，培養歸納思維能力和邏輯推理能力，提高數學發現能力。

教學過程：

    1、能根據對數函數的圖象，畫出含有對數式的函數的圖象，并研究它們的有關性質。

2、能運用函數的通性以及對數函數的特性，討論研究含有對數式的復合函數的性質。

    1、通過師生之間、學生與學生之間互相討論、交流，使學生學會共同學習。

2、通過探究、思考、交流，培養學生提出問題、分析問題、解決問題的能力，以及綜合運用知識的能力。

    1、通過本課的學習，使學生認清指數函數和對數函數這兩類基本的初等函數在研究方法上的異同之處，使學生體會知識之間的有機聯系以及蘊含在其中的數學思想和方法，樹立學好數學的信心。

    2、在數學過程中，通過學生的相互交流，加深對對數函數和指數函數的性質的理解，深化學生對函數圖象變化規律的理解，培養學生的數學交流能力，同時培養學生傾聽、接受別人意見的優良品質。

教學重點：對數函數的圖象和性質在解題中的運用。

教學難點：對數函數性質的應用，滲透應用意識，培養歸納思維能力和邏輯推理能力，提高數學發現能力。

例1、求函數的定義域、值域和單調區間？ 并在單調遞減區間上給予證明；

解：要使y有意義，須 ?x²+2x+3>0,解得-1<x<3,所以函數的定義域是(-1,3).

設t=?x²+2x+3 由0<?x²+2x+3=-(x-1)²+4≤4,知0<t≤4.

又∵是單調減函數，∴y≥-2,即所求函數的值域是[-2，+∞）.

因為函數t=?x²+2x+3=-(x-1)²+4在（-1，1]上遞增。而在[1，3）上遞減，

所以函數的單調減區間是（-1，1],單調增區間是[1，3）.

證明：對任意x₁,x₂,-1<x₁<x₂≤1，-x₁²+2x₁+3<-x₂²+2x₂+3, log_1/2(-x₁²+2x₁+3)>log_1/2(-x₂²+2x₂+3), 在（-1，1]上↓，同理在[1，3）上單調增

說明：利用對數函數性質判斷函數單調性時，首先要考察函數的定義域，再利用復合函數單調性的判斷方法來求單調區間。

練習：求函數的單調區間（解答：增（-∞，1），減（1，+∞））

例2、判斷函數的奇偶性

解：函數定義域R,f(-x)=log₂(-x+)=log₂

=log₂(+x)^-1=-log₂(+x)=-f(x),所以f(x)為奇函數

    練習：已知函數，(1)求的定義域；(2)判斷的奇偶性。

（解（1）∵，∴，又由得，   ∴ 的定義域為。（2）∵的定義域不關于原點對稱，∴為非奇非偶函數。）

    例3、已知y=(2-)在［0，1］上是x的減函數，求a的取值范圍.

解：∵a＞0且a≠1

當a＞1時，函數t=2->0是減函數

由y= (2-)在［0，1］上x的減函數，知y=t是增函數，∴a＞1

由x［0，1］時，2-2-a＞0,得a＜2, ∴1＜a＜2

當0<a<1時，函數t=2->0是增函數

由y= (2-)在［0，1］上x的減函數，知y=t是減函數，∴0<a<1

由x［0，1］時，2-2-1＞0, ∴0<a<1

綜上述，0<a<1或1＜a＜2

    練習：若函數在區間上是增函數，的取值范圍。

（解：令，∵函數為減函數，∴在區間上遞減，且滿足，∴，解得，

所以，的取值范圍為．）

補充作業

1、已知偶函數f(x)在[2,4]上單調遞減,那么與的大小關系是____

2、如右圖所示，已知0＜a＜1，則在同一坐標系中，函數y=a^-x，和y＝log_a(－x)的圖像只可能是   (      )

3、函數y=lg（）的圖像關于_______________對稱

4、寫出下列函數的單調區間：（1） _____  （2）____________

5、寫出函數的定義域、值域：⑴ _________、_____________

   ⑵______________________、_________________

     6、求函數的定義域。

     7、已知，

（1）求f(x)的定義域；（2）判斷f(x)的奇偶性并證明；（3）求使的x的范圍。

8*．已知y=log₄(x+1+ax²).在下列條件下求實數a的范圍。(1)若函數的定義域為R；(2)函數的值域為R；

[答案]：

1、>

2、C

3、原點

4、⑴減區間，增區間；⑵減區間，增區間

5、⑴定義域[-1，1]，值域[0，1/2]；⑵定義域(-1,0),值域

6、log_a(x+a)<1；a>1時，x+a<a,定義域為{x|-a<x<0};0<a<1時，定義域為{x|x>0}

7、⑴(-1,1);⑵奇函數；⑶a>1時0<x<1；0<a<1時，-1<x<0

8*、⑴t=x+1+ax²>0恒成立，故a>1/4；⑵t=x+1+ax² 在t>0上沒有最值，a=0時可以；a≠0時，作二次函數圖象知a>0且△≥0，0<a≤1/4;總之，0≤a≤1/4）               

§3.2.2對數函數⑷對數方程與不等式

[三維目標]

[重點難點]對數不等式的等價轉化

二、新課內容：

例1、解下方程： （2） 

  解：(1)；(2) x= -1或

說明：解指數型方程先轉化為a^x=N后，有x=log_aN

例2、根據下列條件，分別求實數x的值？（1）

（2）

解：（1）2-x²=x>0,x=1（舍x= -2）  

（2）首先，-<x<1,原方程可以轉化為log₄[(3-x)(2x+1)]=log₄[(2-x)(3+x)] (3-x)(2x+1)]= (2-x)(3+x),x=0

說明：解對數方程log_af(x)=log_ag(x)f(x)=g(x)>0求解，注意一定要對數的真數大于0

例3、甲、乙兩人解關于x的方程:log₂x+b+clog_x2=0,甲寫錯了常數b，得到根、；乙寫錯了常數c，得到根、64.求這個方程真正的根.

解:原方程可變形為log₂²x+blog₂x+c=0.由于甲寫錯了常數b，得到的根為和，∴c=log₂?log₂=6.由于乙寫錯了常數c,得到的根為和64,∴b=－(log₂+log₂64)=－5.故原方程為log₂²x－5log₂x+6=0.因式分解得(log₂x－2)(log₂x－3)=0.∴log₂x=2或log₂x=3，即x=4或x=8.         

例4、解不等式⑴ ⑵2×5^x+1-9>0

解：（1）0<x²+2x-3<3x+1x∈

⑵5^x+1>,x+1>log₅,x>log₅-1

說明：解log_af(x)>log_ag(x)的不等式，在a>1時等價于f(x)>g(x)>0;0<a<1時，等價于0<f(x)<g(x)

a^f(x)>N的不等式a>1時等價于f(x)>log_aN，0<a<1時等價于f(x)<log_aN

a^x=Nx=log_aN，log_af(x)=log_ag(x)f(x)=g(x)>0.

log_af(x)>log_ag(x)，在a>1時等價于f(x)>g(x)>0;0<a<1時，等價于0<f(x)<g(x)

a^f(x)>N的不等式a>1時等價于f(x)>log_aN，0<a<1時等價于f(x)<log_aN

思考：a^f(x)>b^g(x)（a,b>0）的對數不等式等價于____________;方程a^f(x)=b^g(x)（a,b>0）的對數不等式等價于__________(兩邊取常用對數f(x)lga>g(x)lgb,f(x)lga=g(x)lgb)

補充習題：

1、設，函數，則使的的取值范圍是 (  )

A.    B.     C.     D.

2、寫出下列解集⑴方程6⑵____________  ⑶  log()=x+ log()_____________；⑷不等式log_x-1(x²-1)>0_____

3、y=log₂(ax²+x+a)的值域為R,如果a的范圍為T,log₄t∈T,則t的范圍是_________

4、方程log₂(x+4)=3^x的實數根的個數為________

5、如果函數在區間上恒有y>1，則實數a的取值范圍是____________

6、設f(x)=lg，且當x∈(－∞,1］時f(x)有意義，求實數a的取值范圍.

7、已知二次函數f(x)的二次項系數為負數，且對任意x恒有f(2－x)=f(2+x)成立，

解不等式f［(x²+x+)］＞f［(2x²－x+)］

8*、設求x的取值范圍，使

解答：1、C

2、⑴{-log₇2};⑵{1，log₅3+1}；⑶{2};⑷(1,)∪(2,+∞)

3、[1，]

4、2

5、1<a<2

6、欲使x∈(－∞,1]時，f(x)有意義，需1+2^x+4^xa＞0恒成立，也就是a＞－［()^x+()^x］(x≤1)恒成立。所以只要a大于u(x)=－［()^x+()^x］在(－∞,1］上的最大值。   注意到u(x)=－［()^x+()^x］在(－∞,1］上是增函數，∴當x=1時，［u(x)］_max=－.所以a的范圍即可求出  

7、x²+x+與2x²－x+都大于等于，其以1/2為底的對數就都不大于2，f(x)在x≤2上單調增(x²+x+)＞(2x²－x+) ，0<x²+x+< 2x²－x+,x>或x<

8*、>1, >0,()^2x+()^x-1>0, ()^x>,故a>b>0時x>log_a/b;a=b時x為全體實數；0<a<b時x<log_a/b