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四川師大附中高2006屆高三數學總復習（十四）實驗修訂版

§14. 復 數  知識要點

1. ⑴復數的單位為i，它的平方等于－1，即.

⑵復數及其相關概念：

①      復數―形如a + bi的數（其中）；

②      實數―當b = 0時的復數a + bi，即a；

③      虛數―當時的復數a + bi；

④      純虛數―當a = 0且時的復數a + bi，即bi.

⑤      復數a + bi的實部與虛部―a叫做復數的實部，b叫做虛部（注意a，b都是實數）

⑥      復數集C―全體復數的集合，一般用字母C表示.

⑶兩個復數相等的定義：

.

⑷兩個復數，如果不全是實數，就不能比較大小.

注：①若為復數，則若，則.（×）[為復數，而不是實數]

若，則.（√）

②若，則是的必要不充分條件.（當，

時，上式成立）

2. ⑴復平面內的兩點間距離公式：.

其中是復平面內的兩點所對應的復數，間的距離.

由上可得：復平面內以為圓心，為半徑的圓的復數方程：.

⑵曲線方程的復數形式：

①為圓心，r為半徑的圓的方程.

②表示線段的垂直平分線的方程.

③為焦點，長半軸長為a的橢圓的方程（若，此方程表示線段）.

④表示以為焦點，實半軸長為a的雙曲線方程（若，此方程表示兩條射線）.

⑶絕對值不等式：

設是不等于零的復數，則

①.

左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.

②.

左邊取等號的條件是，右邊取等號的條件是.

注：.

3. 共軛復數的性質：

，（a + bi）              

（）                              

注：兩個共軛復數之差是純虛數. （×）[之差可能為零，此時兩個復數是相等的]

4. ⑴①復數的乘方：

②對任何，及有

③ 

注：①以上結論不能拓展到分數指數冪的形式，否則會得到荒謬的結果，如若由就會得到的錯誤結論.

②在實數集成立的. 當為虛數時，，所以復數集內解方程不能采用兩邊平方法.

⑵常用的結論：

若是1的立方虛數根，即，則                                                  .

5.  ⑴復數是實數及純虛數的充要條件：

①.

②若，是純虛數.

⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起點在哪里，都認為是相等的，而相等的向量表示同一復數. 特例：零向量的方向是任意的，其模為零.

注：.

6. ⑴復數的三角形式：.

輻角主值：適合于0≤＜的值，記作.

注：①為零時，可取內任意值.

②輻角是多值的，都相差2的整數倍.

③設則.

⑵復數的代數形式與三角形式的互化：

，，.

⑶幾類三角式的標準形式：

7. 復數集中解一元二次方程：

在復數集內解關于的一元二次方程時，應注意下述問題：

①當時，若＞0，則有二不等實數根；若=0，則有二相等實數根；若＜0，則有二相等復數根（為共軛復數）.

②當不全為實數時，不能用方程根的情況.

③不論為何復數，都可用求根公式求根，并且韋達定理也成立.

8. 復數的三角形式運算：

棣莫弗定理：.

試題詳情

四川師大附中高2006屆高三數學總復習（十三）實驗修訂版

§13. 導 數  知識要點

1. 導數（導函數的簡稱）的定義：設是函數定義域的一點，如果自變量在處有增量，則函數值也引起相應的增量；比值稱為函數在點到之間的平均變化率；如果極限存在，則稱函數在點處可導，并把這個極限叫做在處的導數，記作或，即=.

注：①是增量，我們也稱為“改變量”，因為可正，可負，但不為零.

②以知函數定義域為，的定義域為，則與關系為.

2. 函數在點處連續與點處可導的關系：

⑴函數在點處連續是在點處可導的必要不充分條件.

可以證明，如果在點處可導，那么點處連續.

事實上，令，則相當于.

于是

⑵如果點處連續，那么在點處可導，是不成立的.

例：在點處連續，但在點處不可導，因為，當＞0時，；當＜0時，，故不存在.

注：①可導的奇函數函數其導函數為偶函數.

②可導的偶函數函數其導函數為奇函數.

3. 導數的幾何意義：

函數在點處的導數的幾何意義就是曲線在點處的切線的斜率，也就是說，曲線在點P處的切線的斜率是，切線方程為

4. 求導數的四則運算法則：

（為常數）

注：①必須是可導函數.

②若兩個函數可導，則它們和、差、積、商必可導；若兩個函數均不可導，則它們的和、差、積、商不一定不可導.

例如：設，，則在處均不可導，但它們和

在處均可導.

5. 復合函數的求導法則：或

復合函數的求導法則可推廣到多個中間變量的情形.

6. 函數單調性：

⑴函數單調性的判定方法：設函數在某個區間內可導，如果＞0，則為增函數；如果＜0，則為減函數.

⑵常數的判定方法；

如果函數在區間內恒有=0，則為常數.

注：①是f（x）遞增的充分條件，但不是必要條件，如在上并不是都有，有一個點例外即x=0時f（x） = 0，同樣是f（x）遞減的充分非必要條件.

②一般地，如果f（x）在某區間內有限個點處為零，在其余各點均為正（或負），那么f（x）在該區間上仍舊是單調增加（或單調減少）的.

7. 極值的判別方法：（極值是在附近所有的點，都有＜，則是函數的極大值，極小值同理）

當函數在點處連續時，

①如果在附近的左側＞0，右側＜0，那么是極大值；

②如果在附近的左側＜0，右側＞0，那么是極小值.

也就是說是極值點的充分條件是點兩側導數異號，而不是=0^①. 此外，函數不可導的點也可能是函數的極值點^②. 當然，極值是一個局部概念，極值點的大小關系是不確定的，即有可能極大值比極小值小（函數在某一點附近的點不同）.

注①： 若點是可導函數的極值點，則=0. 但反過來不一定成立. 對于可導函數，其一點是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零.

例如：函數，使=0，但不是極值點.

②例如：函數，在點處不可導，但點是函數的極小值點.

8. 極值與最值的區別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區間上對函數值進行比較.

注：函數的極值點一定有意義.

9. 幾種常見的函數導數：

I.（為常數）                      

（）                   

II.                             

III. 求導的常見方法：

①常用結論：.

②形如或兩邊同取自然對數，可轉化求代數和形式.

③無理函數或形如這類函數，如取自然對數之后可變形為，對兩邊求導可得.

試題詳情

四川師大附中高2006屆高三數學總復習（十二）

§12. 極 限  知識要點

1. ⑴第一數學歸納法：①證明當取第一個時結論正確；②假設當（）時，結論正確，證明當時，結論成立.

⑵第二數學歸納法：設是一個與正整數有關的命題，如果

①當（）時，成立；

②假設當（）時，成立，推得時，也成立.

那么，根據①②對一切自然數時，都成立.

2. ⑴數列極限的表示方法：

①

②當時，.

⑵幾個常用極限：

①（為常數）

②

③對于任意實常數，

當時，

當時，若a = 1，則；若，則不存在

當時，不存在

⑶數列極限的四則運算法則：

如果，那么

①

②

③

特別地，如果C是常數，那么

.

⑷數列極限的應用：

求無窮數列的各項和，特別地，當時，無窮等比數列的各項和為.

（化循環小數為分數方法同上式）

注：并不是每一個無窮數列都有極限.

3. 函數極限；

⑴當自變量無限趨近于常數（但不等于）時，如果函數無限趨進于一個常數，就是說當趨近于時，函數的極限為.記作或當時，.

注：當時，是否存在極限與在處是否定義無關，因為并不要求.（當然，在是否有定義也與在處是否存在極限無關.函數在有定義是存在的既不充分又不必要條件.）

如在處無定義，但存在，因為在處左右極限均等于零.

⑵函數極限的四則運算法則：

如果，那么

①

②

③

特別地，如果C是常數，那么

.

（）

注：①各個函數的極限都應存在.

②四則運算法則可推廣到任意有限個極限的情況，但不能推廣到無限個情況.

⑶幾個常用極限：

①

②（0＜＜1）；（＞1）

③

④，（）

4. 函數的連續性：

⑴如果函數f（x），g（x）在某一點連續，那么函數在點處都連續.

⑵函數f（x）在點處連續必須滿足三個條件：

①函數f（x）在點處有定義；②存在；③函數f（x）在點處的極限值等于該點的函數值，即.

⑶函數f（x）在點處不連續（間斷）的判定：

如果函數f（x）在點處有下列三種情況之一時，則稱為函數f（x）的不連續點.

①f（x）在點處沒有定義，即不存在；②不存在；③存在，但.

5. 零點定理，介值定理，夾逼定理：

⑴零點定理：設函數在閉區間上連續，且.那么在開區間內至少有函數的一個零點，即至少有一點（＜＜）使.

⑵介值定理：設函數在閉區間上連續，且在這區間的端點取不同函數值，，那么對于之間任意的一個數，在開區間內至少有一點，使得（＜＜）.

⑶夾逼定理：設當時，有≤≤，且，則必有

注：：表示以為的極限，則就無限趨近于零.（為最小整數）

6. 幾個常用極限：

①

②

③為常數）

④

⑤為常數）

試題詳情

高考復習科目：數學      高中數學總復習(十一) 

復習內容：高中數學第十一章-概率 第十二章-概率與統計

復習范圍：第十一章、第十二章

編寫時間：2005-5

修訂時間：總計第三次 2005-6

                                   I. 基礎知識要點           

一、概率.

1. 概率：隨機事件A的概率是頻率的穩定值，反之，頻率是概率的近似值.

2. 等可能事件的概率：如果一次試驗中可能出現的結果有年n個，且所有結果出現的可能性都相等，那么，每一個基本事件的概率都是，如果某個事件A包含的結果有m個，那么事件A的概率.

3. ①互斥事件：不可能同時發生的兩個事件叫互斥事件. 如果事件A、B互斥，那么事件A+B發生(即A、B中有一個發生)的概率，等于事件A、B分別發生的概率和，即P(A+B)=P(A)+P(B)，推廣：.

②對立事件：兩個事件必有一個發生的互斥事件叫對立事件. 例如：從1～52張撲克牌中任取一張抽到“紅桃”與抽到“黑桃”互為互斥事件，因為其中一個不可能同時發生，但又不能保證其中一個必然發生，故不是對立事件.而抽到“紅色牌”與抽到黑色牌“互為對立事件，因為其中一個必發生.

注意：i.對立事件的概率和等于1：.

ii.互為對立的兩個事件一定互斥，但互斥不一定是對立事件.

③相互獨立事件：事件A(或B)是否發生對事件B(或A)發生的概率沒有影響.這樣的兩個事件叫做相互獨立事件. 如果兩個相互獨立事件同時發生的概率，等于每個事件發生的概率的積，即P(A?B)=P(A)?P(B). 由此，當兩個事件同時發生的概率P（AB）等于這兩個事件發生概率之和，這時我們也可稱這兩個事件為獨立事件.例如：從一副撲克牌（52張）中任抽一張設A：“抽到老K”；B：“抽到紅牌”則 A應與B互為獨立事件[看上去A與B有關系很有可能不是獨立事件，但.又事件AB表示“既抽到老K對抽到紅牌”即“抽到紅桃老K或方塊老K”有，因此有.

推廣：若事件相互獨立，則.

注意：i. 一般地，如果事件A與B相互獨立，那么A 與與B，與也都相互獨立.

ii. 必然事件與任何事件都是相互獨立的.

iii. 獨立事件是對任意多個事件來講，而互斥事件是對同一實驗來講的多個事件，且這多個事件不能同時發生，故這些事件相互之間必然影響，因此互斥事件一定不是獨立事件.

④獨立重復試驗：若n次重復試驗中，每次試驗結果的概率都不依賴于其他各次試驗的結果，則稱這n次試驗是獨立的. 如果在一次試驗中某事件發生的概率為P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率：.

4. 對任何兩個事件都有

二、隨機變量.

1. 隨機試驗的結構應該是不確定的.試驗如果滿足下述條件：

①試驗可以在相同的情形下重復進行；②試驗的所有可能結果是明確可知的，并且不止一個；③每次試驗總是恰好出現這些結果中的一個，但在一次試驗之前卻不能肯定這次試驗會出現哪一個結果.

它就被稱為一個隨機試驗.

2. 離散型隨機變量：如果對于隨機變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機變量叫做離散型隨機變量.若ξ是一個隨機變量，a，b是常數.則也是一個隨機變量.一般地，若ξ是隨機變量，是連續函數或單調函數，則也是隨機變量.也就是說，隨機變量的某些函數也是隨機變量.

設離散型隨機變量ξ可能取的值為：

ξ取每一個值的概率，則表稱為隨機變量ξ的概率分布，簡稱ξ的分布列.

…

…

P

…

…

有性質①；  ②.

注意：若隨機變量可以取某一區間內的一切值，這樣的變量叫做連續型隨機變量.例如：即可以取0～5之間的一切數，包括整數、小數、無理數.

3. ⑴二項分布：如果在一次試驗中某事件發生的概率是P，那么在n次獨立重復試驗中這個事件恰好發生k次的概率是：[其中] 

于是得到隨機變量ξ的概率分布如下：我們稱這樣的隨機變量ξ服從二項分布，記作～B（n?p），其中n，p為參數，并記.

⑵二項分布的判斷與應用.

①二項分布，實際是對n次獨立重復試驗.關鍵是看某一事件是否是進行n次獨立重復，且每次試驗只有兩種結果，如果不滿足此兩條件，隨機變量就不服從二項分布.

②當隨機變量的總體很大且抽取的樣本容量相對于總體來說又比較小，而每次抽取時又只有兩種試驗結果，此時可以把它看作獨立重復試驗，利用二項分布求其分布列.

4. 幾何分布：“”表示在第k次獨立重復試驗時，事件第一次發生，如果把k次試驗時事件A發生記為，事A不發生記為，那么.根據相互獨立事件的概率乘法分式：于是得到隨機變量ξ的概率分布列.

1

2

3

…

k

…

P

q

qp

…

…

我們稱ξ服從幾何分布，并記，其中

5. ⑴超幾何分布：一批產品共有N件，其中有M（M＜N）件次品，今抽取件，則其中的次品數ξ是一離散型隨機變量，分布列為.〔分子是從M件次品中取k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數，如果規定＜時，則k的范圍可以寫為k=0，1，…，n.〕

⑵超幾何分布的另一種形式：一批產品由 a件次品、b件正品組成，今抽取n件（1≤n≤a+b），則次品數ξ的分布列為.

⑶超幾何分布與二項分布的關系.

設一批產品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時，其中次品數ξ服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數的分布列可如下求得：把個產品編號，則抽取n次共有個可能結果，等可能：含個結果，故，即～.[我們先為k個次品選定位置，共種選法；然后每個次品位置有a種選法，每個正品位置有b種選法] 可以證明：當產品總數很大而抽取個數不多時，，因此二項分布可作為超幾何分布的近似，無放回抽樣可近似看作放回抽樣.

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高考復習科目：數學      高中數學總復習（九） 

復習內容：高中數學第十章-排列組合

復習范圍：第十章

編寫時間：2004-7

修訂時間：總計第三次 2005-4

一、兩個原理.

1. 乘法原理、加法原理.

2. 可以有重復元素的排列.

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高考復習科目：數學      高中數學總復習（九） 

復習內容：高中數學第九章-立體幾何

復習范圍：第九章

編寫時間：2004-7

修訂時間：總計第三次 2005-4

                                   I. 基礎知識要點           

一、 平面.

1. 經過不在同一條直線上的三點確定一個面.

注：兩兩相交且不過同一點的四條直線必在同一平面內.

2. 兩個平面可將平面分成3或4部分.（①兩個平面平行，②兩個平面相交）

3. 過三條互相平行的直線可以確定1或3個平面.（①三條直線在一個平面內平行，②三條直線不在一個平面內平行）

[注]：三條直線可以確定三個平面，三條直線的公共點有0或1個.

4. 三個平面最多可把空間分成 8 部分.（X、Y、Z三個方向）

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高考復習科目：數學      高中數學總復習（八） 

復習內容：高中數學第八章-圓錐曲線方程

復習范圍：第八章

編寫時間：2004-7

修訂時間：總計第三次 2005-4

I. 基礎知識要點

試題詳情

四川師大附中高2006屆高三數學總復習（七）實驗修訂版

§7. 直線和圓的方程  知識要點

試題詳情

四川師大附中高2006屆高三數學總復習（六）

§6. 不 等 式  知識要點

1. ⑴平方平均≥算術平均≥幾何平均≥調和平均（a、b為正數）：

（當a = b時取等）

特別地，（當a = b時，）

冪平均不等式：

⑵含立方的幾個重要不等式（a、b、c為正數）：

①

②

（，）；

（）

⑶絕對值不等式：

⑷算術平均≥幾何平均（a₁、a₂…a_n為正數）：（a₁=a₂…=a_n時取等）

⑸柯西不等式：設則

等號成立當且僅當時成立.（約定時，）

例如：.

⑹常用不等式的放縮法：①

②

2. 常用不等式的解法舉例（x為正數）：

①       

②

類似于

③

試題詳情

高考復習科目：數學      高中數學總復習（五） 

復習內容：高中數學第五章-平面向量

復習范圍：第五章

編寫時間：2004-7

修訂時間：總計第三次 2005-4

1. 長度相等且方向相同的兩個向量是相等的量.

注意：①若為單位向量，則. （） 單位向量只表示向量的模為1，并未指明向量的方向.

②若，則∥. （√）

2. ①=      ②      ③

④設     

        （向量的模，針對向量坐標求模） 

⑤平面向量的數量積：    ⑥     ⑦

⑧

注意：①不一定成立；.

②向量無大小（“大于”、“小于”對向量無意義），向量的模有大小.

③長度為0的向量叫零向量，記，與任意向量平行，的方向是任意的，零向量與零向量相等，且.

④若有一個三角形ABC，則⁰；此結論可推廣到邊形.

⑤若（），則有. （） 當等于時，，而不一定相等.

⑥?=，=（針對向量非坐標求模），≤.

⑦當時，由不能推出，這是因為任一與垂直的非零向量，都有?=0.

⑧若∥，∥，則∥（×）當等于時，不成立.

3. ①向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個實數，使得（平行向量或共線向量）.

當與共線同向：當與共線反向；當則為與任何向量共線.

注意：若共線，則  （×）

若是的投影，夾角為，則，  （√）

②設=，

∥    

⊥

③設，則A、B、C三點共線∥=（）

（）=（）（）

（）?（）=（）?（）

④兩個向量、的夾角公式：

⑤線段的定比分點公式：（和）

設 =（或=），且的坐標分別是，則

推廣1：當時，得線段的中點公式：

推廣2：則（對應終點向量）.

三角形重心坐標公式：△ABC的頂點，重心坐標：

注意：在△ABC中，若0為重心，則，這是充要條件.

⑥平移公式：若點P按向量=平移到P^‘，則

4. ⑴正弦定理：設△ABC的三邊為a、b、c，所對的角為A、B、C，則.

⑵余弦定理：

⑶正切定理：

⑷三角形面積計算公式：

設△ABC的三邊為a，b，c，其高分別為h_a，h_b，h_c，半周長為P，外接圓、內切圓的半徑為R，r.

①S_△=1/2ah_a=1/2bh_b=1/2ch_c                 ②S_△=Pr      ③S_△=abc/4R

④S_△=1/2sinC?ab=1/2ac?sinB=1/2cb?sinA   ⑤S_△=  [海倫公式]  

⑥S_△=1/2（b+c-a）r_a[如下圖]=1/2（b+a-c）r_c=1/2（a+c-b）r_b

[注]：到三角形三邊的距離相等的點有4個，一個是內心，其余3個是旁心.

如圖：                                           圖1中的I為S_△ABC的內心， S_△=Pr

                                                 圖2中的I為S_△ABC的一個旁心，S_△=1/2（b+c-a）r_a

附：三角形的五個“心”；

重心：三角形三條中線交點.

外心：三角形三邊垂直平分線相交于一點.

內心：三角形三內角的平分線相交于一點.

垂心：三角形三邊上的高相交于一點.

旁心：三角形一內角的平分線與另兩條內角的外角平分線相交一點.

⑸已知⊙O是△ABC的內切圓，若BC=a，AC=b，AB=c [注：s為△ABC的半周長,即]

則：①AE==1/2（b+c-a）                                                

②BN==1/2（a+c-b）

③FC==1/2（a+b-c）

綜合上述：由已知得，一個角的鄰邊的切線長，等于半周長減去對邊（如圖4）.                                 

特例：已知在Rt△ABC，c為斜邊，則內切圓半徑r=（如圖3）.           

⑹在△ABC中，有下列等式成立.

證明：因為所以，所以，結論！

⑺在△ABC中，D是BC上任意一點，則.

證明：在△ABCD中，由余弦定理，有①

在△ABC中，由余弦定理有②，②代入①，化簡

可得，（斯德瓦定理）

①若AD是BC上的中線，；

②若AD是∠A的平分線，，其中為半周長；

③若AD是BC上的高，，其中為半周長.

⑻△ABC的判定：

△ABC為直角△∠A + ∠B =

＜△ABC為鈍角△∠A + ∠B＜

＞△ABC為銳角△∠A + ∠B＞

附：證明：，得在鈍角△ABC中，

⑼平行四邊形對角線定理：對角線的平方和等于四邊的平方和.

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