中考數學試題分類匯編---分式方程
1．（2006?湖州市）分式方程
的解是x=_________.x=1
2.（2006?攀枝花市） 分式方程
的解是： x = 0 .
3．（2006?日照市）已知，關于x的方程
，那么
的值為
．
-1
4．（2006?南通市）用換元法解方程
，若設
，則可得關于y的整式方程_______．2y2-4y+1=0
5．（2006?河北�。┯脫Q元法解分式方程
時，如果設
，那么方程可化為關于y的一元二次方程的一般形式是
．
；
6. （2006?益陽市）解分式方程
時，去分母后得（ ）A
A. 
B. 
C. 
D. 
7．（2006?嘉興市）有兩塊面積相同的小麥試驗田，分別收獲小麥
A.
B.
C.
D.
8．（2006?深圳市）解方程：
解：原方程變形，得
=1+
,去分母，得2-x=x-3+1,得x=2.
9.解方程：
.
解:去分母得2x-5=3(2x-1)
即2x-5=6x-3， ∴4x=-2，x=
.
當x=時,2x-1≠0，所以x=是原方程的解
10．（2006?青島市）解分式方程：
=1。
解：=1
2－x－1＝x－3， －2x＝－4
∴ x ＝2
檢驗：把x＝2代入原方程得：左邊＝1＝右邊
∴ x ＝2是原方程的根．
11. （2006?北京市海淀區）解分式方程：
解：去分母得：
去括號得：
解得：
經檢驗是原方程的解。
所以原方程的解為。
12．（2006?濟南市）解方程：
．
解：方程兩邊同乘以
，得
．
解這個方程，得
．
檢驗：將代入原方程，得左邊
右邊．
所以，是原方程的根．
13．（2006?紹興市）解方程
x=4
14．（2006?鹽城市）
解方程：
（換元法）設：
則原方程即為：2y2-y-1=0
解之得：
由
得：x1=x2=-1
由
得：x2-x+1=0，此方程無解
經檢驗：x=1是原方程的解，故原方程的解為x=1
15.（2006?旅順口區）已知關于x的方程
的一個解與方程
的解相同．
⑴求k的值；
⑵求方程的另一個解.
解：（1）∵
， ∴
，∴
經檢驗是原方程的解 ，
把代入方程
，解得k=3
（2）解
，得
，x2=1
∴方程的另一個解為x=1
16．（2006?陜西�。� 用換元法解方程x2－3x－1＝
．
解：設x2－3x＝y，則原方程化為y2－y－12＝0
解這個方程，得y＝－3或y＝4
當y＝－3時，有x2－3x＋3＝0，無解
當y＝4時，有x2－3x－4＝0，解得
x1＝4，x2＝－1．
經檢驗：x1＝4，x2＝－1是原方程的根．
所以，原方程的根為x1＝4，x2＝－1．
17.（2006?吉林長春）A城市每立方米水的水費是B城市的1.25倍，同樣交水費20元，在B城市比在A城市可多用2立方米水，那么A、B兩城市每立方米水的水費各是多少元？
設B城市每立方米水的水費為x元，則A城市為1.25x元，
解得x = 2。
經檢驗x = 2是原方程的解。 1.25x = 2.5（元）。
答：B城市每立方米水費2元，A城市每立方米2.5元。
18.（2006?山東日照）在我市南沿海公路改建工程中，某段工程擬在30天內（含30天）完成．現有甲、乙兩個工程隊，從這兩個工程隊資質材料可知：若兩隊合做24天恰好完成；若兩隊合做18天后，甲工程隊再單獨做10天，也恰好完成．請問：
（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需多少天？
（2）已知甲工程隊每天的施工費用為0．6萬元，乙工程隊每天的施工費用為0．35萬元，要使該工程的施工費用最低，甲、乙兩隊各做多少天（同時施工即為合做）？最低施工費用是多少萬元？
（1）設：甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需x天、y天，
由題意得方程組：
，
解之得：x=40，y=60．
（2）已知甲工程隊每天的施工費用為0．6萬元，乙工程隊每天的施工費用為0．35萬元，根據題意，要使工程在規定時間內完成且施工費用最低，只要使乙工程隊施工30天，其余工程由甲工程隊完成．
由（1）知，乙工程隊30天完成工程的
，
∴甲工程隊需施工
÷
=20（天）．
最低施工費用為0．6×20＋0．35×30=2．25（萬元）．
答：（1）甲、乙兩個工程隊單獨完成該工程各需40天和60天；
�。�2）要使該工程的施工費最低，甲、乙兩隊各做20天和30天，最低施工費用是2．25萬元．
19. （2006?錦州市）錦州市疏港快速干道(錦州至筆架山)將于2006年8月正式通車.屆時錦州至筆架山的公路運行里程將由目前的
解：方法一：
設現行時速是x千米/時，則疏港快速干道的設計時速是1.25x千米/時.根據題意，得
.解這個方程，得x=80. 經檢驗，x=80是所列方程的根.
1.25×80=100(千米/時).
答：疏港快速干道的設計時速是
方法二：設疏港快速干道的設計時速是x千米/時，則現行時速是0.8x千米/時.
根據題意，得
.
解這個方程，得x=100.
經檢驗，x=100是所列方程的根.
答：疏港快速干道的設計時速是
20．（2006?長沙市）在社會主義新農村建設中，某鄉鎮決定對一段公路進行改造．已知這項工程由甲工程隊單獨做需要40天完成；如果由乙工程隊先單獨做10天，那么剩下的工程還需要兩隊合做20天才能完成．
（1）求乙工程隊單獨完成這項工程所需的天數；
（2）求兩隊合做完成這項工程所需的天數．
（1）解：設乙工程隊單獨完成這項工程需要
天，根據題意得：
解之得：
經檢驗：是原方程的解．
答：乙工程隊單獨完成這項工程所需的天數為60天．
�。�2）解：設兩隊合做完成這項工程所需的天數為
天，根據題意得：
解之得：
答：兩隊合做完成這項工程所需的天數為24天．
21．張棟同學到百貨大樓買了兩種型號的信封，共30個，其中買A型號的信封用了1元5角，買B型號的信封用了1元2角，B型號的信封每個比A型號的信封便宜2分．兩種型號信封的單價各是多少?
解：設B型號的信封的單價為x分，則A型號的信封的單價為(x+2)分，
根據題意，得
.去分母，整理得x2-7x-8=0．
解這個方程，得x1=8，x2=-1．
經檢驗x1=8，x2=-1都是原方程的根．但是負數不合題意，舍去．所以x+2=10．
答：A型號的信封的單價為1角，B型號的信封的單價為8分．
22. （2006?棗莊市）近年來，由于受國際石油市場的影響，汽油價格不斷上漲．請你根據下面的信息，幫小明計算今年5月份汽油的價格．
解：設今年5月份汽油價格為x元／升，則去年5月份的汽油價格為（x-1.8）元／升．根據題意，得
整理，得 x2 - l.8x - 14.4 = 0
解這個方程，得x1=4.8，x2=-3
經檢驗兩根都為原方程的根，但x2＝-3 不符合實際意義，故舍去．
答：今年5月份的汽油價格為4.8元／升．
23. (2006?廣安市)甲、乙兩地間鐵路長
解: 設提速后列車速度為x千米/時, 則:
解之得: x1=120 x2=－100(舍去)
經檢驗x=120是原方程的根
∵120<140 ∴仍可再提速
答: 這條鐵路在現有條件下仍可再次提速.
24． 某公司開發的960件新產品，需加工后才能投放市場，現有甲、乙兩個工廠都想加工這批產品，已知甲工廠單獨加工完成這批產品比乙工廠單獨加工完成這批產品多用20天，而乙工廠每天比甲工廠多加工8件產品. 在加工過程中，公司需每天支付50元勞務費請工程師到廠進行技術指導.
（1）甲、乙兩個工廠每天各能加工多少件新產品？
（2）該公司要選擇省時又省錢的工廠加工，乙工廠預計甲工廠將向公司報加工費用為每天800元，請問：乙工廠向公司報加工費用每天最多為多少元時，才可滿足公司要求，有望加工這批產品.
解：（1）設甲工廠每天加工x件，則乙工廠每天加工（x+8）件
由題意得：－20 =
解之得：x1=－24, x2=16.
經檢驗，x1、x2均為所列方程的根，但x1=－24 不合題意，舍去．此時x +8 = 24．
答：甲工廠每天加工16件，乙工廠每天加工24件．
�。�2）由（1）可知加工960件產品，甲工廠要60天，乙工廠要40天．所以甲工廠的加工總費用為60（800 + 50）=51000(元)．
設乙工廠報價為每天m元，則乙工廠的加工總費用為40（m + 50）元 ．
由題意得：40（m + 50）≤51000，解之得m≤1225
答：乙工廠所報加工費每天最多為1225元時，可滿足公司要求，有望加工這批產品．
25.（2006上海閘北）本市進入汛期，部分路面積水比較嚴重．為了改善這一狀況，市政公司決定將一段路的排水工程承包給甲、乙兩工程隊來施工．如果甲、乙兩隊合做需12天完成此項工程；如果甲隊單獨完成此項工程需20天，
求：（1）乙隊單獨完成此項工程需多少天？
（2）如果甲隊每施工一天需要費用2萬元，乙隊每施工一天需要費用1萬元，要使完成該工程所需費用不超過35萬元，那么乙工程隊至少要施工多少天？
（1） 設乙隊單獨完成此項工程各需x天
乙隊工作效率: 
x=30
答：乙隊單獨完成此項工程各需30天.
（2） 設甲、乙兩工程隊合作完成此項工程各需m天和n天
答：要使完成該工程所需費用不超過35萬元，那么乙工程隊至少要施工15天.
26. （2006?江 西 �。┙夥匠蹋�
解：去分母，得 
去括號，得 
移項合并，得 
系數化為1，得 x = 2.
經檢驗 x = 2 是原方程的根.
∴ 原方程的根為x = 2.
大連市2009年高三年級第一次模擬考試
文科綜合能力測試
說明：
1．本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分。全卷共300分�？荚囉脮r150分鐘。
2．試題全部答在“答題紙”上，答在試卷上無效。
第Ⅰ卷 選擇題（140分）
大連市2009年高三年級第一次模擬考試
理科綜合能力試題
說明：
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，其中第Ⅱ卷第30―37題為選考題，其它題為必考題�？忌鞔饡r，將答案答在答題卡上，在本試卷上答題無效�？荚嚱Y束后，將本試卷和答題卡一并交回。
可能用到的相對原子質量：H：
第Ⅰ卷
山東省兗州高補學校2009屆高三模擬
2009年高補學校
數學試卷（理科）
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ第（選擇題）兩部分，共1 50分，考試時間1 20分鐘
第Ⅰ卷
選擇題（本題共12個小題，每小題 5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，有1個是正確的）
1．含有3個元素的集合既可表示為
，又可表示為
，則
的值是（ ）
A．1 B．
C．
D．
2．復數
是純虛數，則
（ ）
A． B．
D．
3．給出如下三個命題：
①若“P且q”為假命題，則p、q均為假命題；
②命題“若
且
，則
”的否命題為“若
且
，則
”；
③四個實數a、b、c、d依次成等比數列的必要而不充分條件是ad＝bc；
④ 在
中，“
”是“
”的充分不必要條件。
其中不正確的合題的個數是 （ ）
A．4
B．
4．在棱長為2的正方體
中， 
是
的中點，則
到平面
的距離是（ ）
A． 
B．
C．
D．
5．已知函數
則二項式
展開式中數項是（ ）
A．第7項 B．第8項 C．第9項 D．第10項
6．若
，則
大小關系是（ ）
A．
B．
C．
D．
7．等差數列
的前
項和為
，若
…
則
等于（ ）
A．
B．
C．0 D．1
8．在如圖所示的流程圖中，若輸入值分別為
則輸出的
數為（ ）
 |
B． 
C．
D．不確定
 |
10．曲線
和直線
在
軸右側的交點按橫坐標從小到大依次記為
…則
等于
A．
B．
C．
D．
11．已知拋物線
與雙曲線
有相的焦點
，點
是兩曲線的一個交點，且
軸，若
為雙曲線的一條漸近線，則的傾斜角所在的區間可能是 （ ）
A．
B． 
C．
D．
12．設函數
在定義域為
，如果對任意的
，存在唯一的
，便
（
為常數）成立，則稱函數在上的均值為，給出下列四個函數：①
；②
③
；④
，則滿足在其定義域上的均值為2的所有函數是 （ ）
A． ①② B． ③④ C．②④ D．①③
第Ⅱ卷（非選擇題，共90分）
注意事項：1．第Ⅱ卷共6頁，用藍、黑色的鋼筆或圓珠筆直接答在答題紙上。
2．答卷前，請將密封線內的項目填寫清楚。
2009年高考歷史沖刺（一）：預測主觀題匯編
1、閱讀下列材料
材料一 漢代華美輕柔的絲織品，經過“絲綢之路”遠銷到以羅馬為中心的地中海地區，中國因此被稱為“絲國”。 ――人民版?必修二《古代中國經濟的基本結構與特點》
 |
漢代絲綢之路
材料二 “不斷擴大產品銷路的需要，驅使資產階級奔走于全球各地。它必須到處落戶，到處創業，到處建立聯系……過去那種地方和民族的閉關自守狀態，被各民族的各方面的互相往來和各方面的互相依賴所代替了”。――馬克思
 |
圖2 19世紀晚期英國海外貿易示意圖
材料三 ……需要積極努力確保發展中國家，尤其是最不發達國家在國際貿易增長中的份額與其經濟發展需要相稱�！D―世界貿易組織宗旨
 |
圖3 1948年以來世界貿易組織（前身為關稅和貿易總協定）成員國
請回答：
（1）根據材料一，概括我國漢代商業發展的基本特征，(2分)試從經濟和政治方面分析形成這一特征的原因。(2分)
（2）從圖1到圖2，商業貿易的范圍發生了怎樣的變化?(2分)材料二中馬克思認為這種現象的產生與什么因素有關? (1分)
（3）圖3反映世界貿易組織成員國的構成發生了怎樣的變化? (1分)結合材料三，談談你對這一變化成因的認識。(2分)
（4）結合圖2和圖3，說說當今世界經濟發展的趨勢。(2分)
2、閱讀下列材料：
材料一
――摘自新華網
材料二 2004年9月，西班牙發生不法分子焚燒華商鞋店事件（右圖）。有人打出標語：“把埃爾切（西班牙制鞋業中心）所有亞洲鞋子都趕出去�！�
――摘自新浪網
材料三 大眾汽車制造公司的新型車“POLO”，雖然是在沃爾夫斯堡（德國城市）組裝的，但是幾乎有一半部件來自國外�！瓎问窃诘聡囍圃觳块T中，從1991年到1995年，就失去了30萬個工作崗位。
材料四 （德國）總理（科爾）說：“我們太貴了”，……有一個詞開始走紅：既得利益�！瓝f這些既得利益現在都需要打破。……（既得利益）指的是病假工資、子女補貼費、對不當解雇的保護、失業救濟金、國家創造就業機會、每周5天工作制、每年30天法定休假，……1996年4月出臺的政府施政綱領使用了這樣的標題：《為了增長和就業》�？茽柡退牟块L們現在開始剝奪這些既得利益，全面削減各種社會福利和工資。……（這些政策的）核心理論之一是德國的社會福利國家變得愈來愈昂貴了，過多的公民……寧愿領取社會福利金而不去工作。
――漢斯―彼得?馬丁 哈拉爾特?舒曼《全球化陷阱――對民主和福利的進攻》
請回答：
（1）材料一和材料二反映的相同問題是什么？
（2）新航路開辟以來，世界經濟全球化趨勢不斷加強。請結合明清以來正反兩個方面的史實，分析我國加入WTO的歷史必然性。
2008屆新課標高三第一次調查測試數學試卷（理）2007.9
09年高考政治押題卷大集結（7）
1.根據國內外經濟形勢的變化，國務院確定了進一步擴大內需，促進經濟增長的十項措施，宣布2009―2010兩年額外投資4萬億元，用于加快建設保障性安居工程、農村基礎實施建設和鐵路、公路和機場等重大基礎設施建設及地震災區重建投入等。這些巨款投入
①是社會總供給的一部分 ②是社會總需求的一部分�、鄞碇鴩铱梢灾涞纳唐贰、軙纬缮鐣徺I力
A.①③ B.①④ C.②③ D.②④
2.假設1部手機=4輛自行車=
A.1部手機=16輛自行車=
C.2部手機=16輛自行車=
3.國務院決定從2008年12月起，在全國推廣“家電下鄉”活動。四類產品（彩電、冰箱、洗衣機、手機），按產品銷售價格13%予以補貼。財政補貼政策支持“家電下鄉”，這對我國經濟發展的意義在于（ ）
①為企業開拓市場，促進家電產業的發展 ②拉動農村消費升級，提高農民生活水平，協調城鄉發展③增加市場流通中的貨幣，降低物價④拉動國內需求，促進經濟增長
A．①② B．①②④ C．①③④ D．②③
9500億元．這一數字創新中國成立60年的最高紀錄據此回答4～5題。
4.溫家寶總理在十一屆全國人大二次會議作政府工作報告時說，2009年全國財政赤字擬安排合計為9500億元。意味著
①中國將繼續實施積極的財政政策 ②中國將繼續實施適度從寬的貨幣政策 ③用最主動、最直接、最有效的辦法擴大內需，刺激經濟增長
④可以彌補財政減收增支形成的缺口
A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④
5.溫家寶總理說：“9500億元，這是中國綜合國力“可以承受的”，總體上也是安全的。”。其唯物論依據是
A.堅持了適度的原則 B.堅持了具體問題具體分析
C.堅持了一切從實際出發 D.堅持用聯系的觀點看問題
6.中國書法歷史悠久，從甲骨文、金文演變為大篆、小篆、隸書。到東漢、魏、晉時期，草書、楷書、行書基本定型，形成了百家爭鳴的景象，回顧書法發展的過程，“商周尚象，秦漢尚勢，晉人尚韻，唐人尚法，宋人尚德”。這說明
①事物的整體和部分是相互轉化�、谑挛镌谂信c繼承、聯系與創新中發展�、凼挛锏淖兓l展是前進性與曲折性的統一 ④事物的矛盾在不同階段具有不同的特點
A.①② B.②④ C.①③ D.③④
“綠色奧運、科技奧運、人文奧運”，是2008年北京奧運會的三大理念，它貫穿了奧運會的籌辦、召開的全過程,據此回答7―8題。
w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com
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7.在北京奧運會游泳項目比賽中，破紀錄的選手無一例外地穿上了一種叫“鯊魚皮”泳衣。該泳衣由極輕、低阻、防水和快干性能LZRPulse面料組成，以高科技熔接生產的無皺褶比賽泳裝。在奧運會之前，“鯊魚皮”已經顯示出驚人的威力，而奧運會則將這一威力推向了最高潮。這表明（ ）
A．實踐是認識的來源，是認識發展的動力 B．認識的發展與進步促進著實踐的發展
C．認識在實踐的基礎上不斷地向前發展 D．在實踐中，科技比人的作用更為重要
8.
A．集體主義是人人都在踐行的價值觀
B．人生價值的實現受一定的社會歷史條件制約
C．人生的自我價值與社會價值是統一的
D．個人對社會的貢獻是多方面的
9.
A．拉姆?亞達夫作為總統擁有實權
B．尼泊爾總理握有行政大權
C．議會是國家的權力中心
D．尼泊爾實行議會制民主共和制
10.4萬億元國家投資落子民生：加快建設保障性安居工程、加快醫療衛生、教育文化等社會事業建設……民生改善正駛入快車道。這體現了（ ）
①中國共產黨是社會主義事業的領導核心 ②堅持黨的群眾路線，落實科學發展觀
③堅持對人民負責的原則 ④轉變政府職能，建設服務型政府
A．①② B．①③ C．②③ D．②④
11.家電下鄉、返鄉農民工就業、農村垃圾處理……全國政協十一屆二次會議上的提案，大多與民生相關。在我國，政協 （ ）
①是重要的決策議事機構 ②具有參政議政的職能
③是愛國統一戰線組織 ④是民主黨派之間的政治聯盟
A．①② B．②③ C．③④ D．②④
12．
①中國在積極實施主權國家的管轄權
②中國既維護了本國利益又維護了人類的共同利益
③中國在積極履行國際義務和責任
④恐怖主義已成為和平與發展的主要障礙
A②③④ B①②④ C①②③ D．①③④
13. 閱讀材料，回答下列問題。（32分）
材料一w.w.w.k.s.5.u.c.o.mwww.ks5u.com
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圖一：中國汽車產量占全球比例圖二：2007年乘用車市場自主與合資品牌銷量比較
注：2008年，我國汽車產量達934.25萬輛，居世界第二。
2009理科綜合物理壓軸題精選(一)
1．如圖1-61所示,粗糙的斜坡傾角α=30°,有一物體從點A以某一初速度開始向上運動,經過2s到達點B速度恰好為零,然后又從點B返回點A,已知點A、B間距離為
【解答】
物體沿斜面向上運動過程中,有
… ① 
… ②
物體沿斜面向下運動過程中,有 
… ③
… ④
由②式,得 
m/s2 … ⑤ 由①、⑤式,得 
… ⑥
代入③式,得 
m/s2 … ⑦ 由④、⑦式, 得 
s
2．研究下面的小實驗: 如圖1-65所示,
原來靜止在水平面上的紙帶上放一質量為m的小金屬塊,
金屬塊離紙帶右端距離為d, 金屬塊與紙帶間動摩擦因數為μ. 現用力向左將紙帶從金屬塊下水平抽出, 設紙帶加速過程極短, 可以認為紙帶在抽動過程中一直做勻速運動. 求:
(1) 金屬塊剛開始運動時受到的摩擦力的大小和方向;
(2) 要將紙帶從金屬塊下水平抽出, 紙帶的速度v應滿足的條件.
【解答】
(1)
金屬塊與紙帶達到共同速度前,金屬塊受滑動摩擦力為
, 方向向左.
(2)
對金屬塊
,
設抽出紙帶的最小速度為
,即紙帶從金屬塊下抽出時金屬塊速度恰等于.
,
金屬塊位移為
, 紙帶位移為
,
兩者恰好距離為
, 可得
， 故要抽出紙帶,紙帶速度 
3．羚羊從靜止開始奔跑, 經過
(1) 獵豹要在其加速階段追到羚羊, X值應在什么范圍?
(2) 獵豹要在最大速度減速前追到羚羊, X值應在什么范圍?
【解答】
(1) 根據題意,獵豹奔跑時的加速度為 
m/s2,
獵豹加速的時間為
s,
羚羊奔跑時的加速度為
m/s2, 羚羊加速度時間 
s
由于羚羊晚跑1s, 所以獵豹在加速階段追到羚羊,
x值的范圍應為 
m.
(2) 根據題意, 獵豹以最大速度且在極限時間內奔跑的距離是
m,
獵豹一共奔跑的距離為 
m.
羚羊在獵豹開始攻擊1.0 s后才開始奔跑, 設羚羊以最大速度奔跑了3 s,
羚羊以最大速度奔跑的距離為
羚羊一共奔跑的距離為s′=
獵豹攻擊羚羊的距離范圍為x ≤
4．如圖所示的裝置可以測量飛行器在豎直方向上做勻加速直線運動的加速度．該裝置是在矩形箱子的上、下壁上各安裝一個可以測力的傳感器，分別連接兩根勁度系數相同（可拉伸可壓縮）的輕彈簧的一端，彈簧的另一端都固定在一個滑塊上，滑塊套在光滑豎直桿上．現將該裝置固定在一飛行器上，傳感器P在上，傳感器Q在下．飛行器在地面靜止時，傳感器P、Q顯示的彈力大小均為10 N．求：
(1)滑塊的質量．（地面處的g=
(2)當飛行器豎直向上飛到離地面
處，此處的重力加速度為多大？(R是地球的半徑）
(3)若在此高度處傳感器P顯示的彈力大小為F'=20 N，此時飛行器的加速度是多大？
解：(1)
(2) 
解之得
(3)由牛頓第二定律，得
,
所以
5．如圖1-71所示, 質量為M的滑塊B套在光滑的水平桿上可自由滑動, 質量為m的小球A用一長為L的輕桿與B上的O點相連接,
輕桿處于水平位置, 可繞O點在豎直平面內自由轉動.
(1) 固定滑塊B, 給小球A一豎直向上的初速度, 使輕桿繞O點轉過90°, 則小球初速度的最小值是多少?
(2) 若M =
【解答】
(1)
小球A的豎直速度為
時, 運動到最高點的速度恰為零,
根據機械能守恒, 得
,則 
.
(2)
當球A運動至最高點時速度為
, 此時滑塊B的速度為
v2, 且
,
A、B水平方向動量守恒,得 
,
根據能量守恒,得
, 解得 
.
6．如圖1-75所示, 半徑為2R的1/4圓弧軌道AB和半徑為R的1/4圓弧軌道BC相切于B點, 兩軌道置于豎直平面內. 在C點的正上方有一厚度不計的旋轉平臺, 沿平臺的一條直徑上開有兩個小孔P、Q.
兩孔離軸心等距離, 旋轉時兩孔均能達到C點的正上方. 質量為m的小球甲從A點以初速度v0= 2gR開始下滑, 在B點與質量為m的乙球發生彈性碰撞, 碰后乙球沿軌道過C點,
且恰能無碰撞穿過小孔P. 為了使小球能從小孔Q落下(不計所有阻力).求:
(1) 乙球到達C點時對軌道的壓力;
(2) 平臺的角速度ω應滿足什么條件.
【解答】
(1)甲球從A到B機械能守恒,即
,
在B點,甲、乙兩球發生彈性碰撞, 交換速度后,
有
.
乙球從B到C,
機械能守恒,有
,解之得 
.
在C點軌道對乙球的彈力提供向心力,
即
.
根據牛頓第三定律,有 
,方向向右, 大小為
.
(2) 乙球在空中運動的時間為
,平臺轉過π弧度時,有
,
平臺轉過
弧度時,有
. ( 其中n = 0,1,2,3 …… )
因此, 上式即為平臺角速度應滿足的條件.
7．如圖1-77所示, 一光滑的1/4圓弧軌道AB位于豎直平面內, 其半徑為R0. 一個質量為m的小物塊從A點無初速度地沿軌道滑下, 在弧形軌道的最低點B處與質量為M的物體相碰,碰后兩者粘在一起, 沿水平方向運動到C點停止.
如果兩個物體與水平面間的動摩擦因數為μ. 求:
(1) 小物塊m滑到弧形軌道最低點還沒有與物體M碰撞前的速度大小;
(2) 兩物體相碰后沿水平面滑行的最大距離.
【解答】
物體m從點A運動到點B,由機械能守恒,得 
，得
,
物體m與物體M相碰過程由動量守恒定律得
, 得
在物體m與物體M滑行過程中,由動能定理,得
,
解得
.
8．一平直長木板A的質量M
=
m0 = 
m/s的速度穿出木塊. 設子彈穿過木塊的時間忽略不計, 隨后木塊相對木板向右滑動, 如果木塊與木板間的動摩擦因數μ= 0.5, g取
【解答】
子彈穿過木塊過程, 有
, 得
m/s.
木塊不滑出木板, 則最后兩者速度相同,
設為
.因為
,所以方向向左,
有
, 得
m/s.
子彈穿出木塊后, 木塊相對地面向右運動, 最后相對地面向左運動, 則木塊必有一相對地面速度為零
的時刻, 而木板則自始至終一直向左運動.
木塊從向右運動到速度為零, 位移為
, 得 
m,
木塊從速度為零到相對木板靜止, 位移為
, 得 
m,
木板在此過程的位移為
, 則
, 得 
m,
要使木塊不滑出木板, 木板的最小長度為
m.
注: 子彈穿出木塊后, 可對木塊和木板組成的系統使用動能定理, 得
,
得木板的最小長度為
m.
9．在納米技術中需要移動或修補原子, 必須使在不停地做熱運動 (速率約幾百米每秒) 的原子幾乎靜止下來且能在一個小的空間區域內停留一段時間, 為此已發明了“激光制冷”的技術, 若把原子和入射光分別類比為一輛小車和一個小球, 則“激光制冷”與下述的力學模型很類似：
一輛質量為m的小車
(一側固定一輕彈簧), 如圖1-79所示以速度v0水平向右運動,一個動量大小為P, 質量可以忽略的小球水平向左射入小車并壓縮彈簧至最短, 接著被鎖定一段時間ΔT, 再解除鎖定使小球以大小相同的動量P水平向右彈出, 緊接著不斷重復上述過程, 最終小車將停下來. 設地面和車廂均為光滑, 除鎖定時間ΔT外, 不計小球在小車上運動和彈 簧壓縮、伸長的時間. 求:
(1) 小球第一次入射后再彈出時, 小車的速度的大小和這一過程中小車動能的減少量;
(2) 從小球第一次入射開始到小車停止運動所經歷的時間.
【解答】
(1)小球射入小車和從小車中彈出的過程中,小球和小車所組成的系統動量守恒.
由動量守恒定律,得
, 
, 則 
.
此過程中小車動能減少量為
, 
.
(2)
小球第二次入射和彈出的過程, 及以后重復進行的過程中,
小球和小車所組成的系統動量守恒. 由動量守恒定律,
得 
, 
,
則 
, 同理可推得 
.
要使小車停下來,即
,小球重復入射和彈出的次數為
,
故小車從開始運動到停下來所經歷時間為
.
10．如圖3-72甲所示, MN為一豎直放置的熒光屏, O點為它的中點, OO′與熒光屏垂直, 且長度為L, 在MN的左側空間存在著一寬度也為L、方向垂直紙面向里的勻強電場, 場強大小為E. 圖乙是從右邊觀察熒光屏得到的平面圖, 在熒光屏上以O點為原點建立如圖乙所示的直角坐標系. 一細束質量為m、電荷量為q的帶正電的粒子以相同的初速度v0從O′點沿
方向射入電場區域. 粒子的重力和粒子間的相互作用都忽略不計.
(1) 若再在MN左側空間加一個寬度也為L的勻強磁場, 使得熒光屏上的亮點恰好位于原點O處, 求這個磁場的磁感應強度B的大小和方向;
(2) 如果磁場的磁感應強度B的大小保持不變, 但把磁場的方向變為與電場方向相同, 則熒光屏上的亮點位于圖乙中的A點, 已知A點的縱坐標y =
【解答】
(1)
粒子若沿直線前進, 應加一豎直向上的勻強磁場.
則
,即
.
如果加一個垂直紙面向里、大小為的勻強磁場,
粒子在垂直于磁場的平面內的分運動是勻速圓周運動邊(見右圖), 在熒光屏上有
,又 
,
有
,
R為圓的半徑, 圓弧所對的圓心角
,
粒子在電場方向上做勻加速運動, 加速度
,
粒子在磁場中運動時間
,
粒子在電場中的橫向位移, 即x方向上的位移為
.
由
, 得 
. 化簡為 
.
11．如圖3-73甲所示, 在坐標xOy平面的第1象限內有一勻強磁場, 磁感應強度大小恒為B,方向垂直于xOy平面, 且隨時間做周期性變化, 如圖3-73乙所示, 規定垂直xOy平面向里的磁場方向為正.
一個質量為m、帶正電量為q的粒子, 在t=0時刻從坐標原點O以初速度v0沿x軸的正方向射入, 在勻強磁場中運動, 重力不計, 經過一個磁場變化周期的時間, 粒子到達第1象限內的某一點P, 粒子的速度方向恰好沿x軸的正方向.
(1) 若點O、P連線與x軸之間的夾角為45°, 則磁場變化的周期T是多少?
(2) 因P點的位置會隨著磁場周期的變化而變動, 那么, 在磁場變化的一個周期內試求P點的縱坐標的最大值是多少? 此時磁場變化的周期是多大?
【解答】
(1) 帶正電粒子在磁場中運動的周期為T1、半徑為R,
則
,即 
,
則 
.
粒子在磁場變化的一個周期T內運動到P點, 因P點速度方向指向x軸正方向,
且OP與x軸成45°角,
所以粒子在時間T2內運動的軌跡應為1/4圓弧 (如圖甲所示),
對應運動的時間為
, 即 
,
得 
.
(2) 由于磁場的周期T是變化的, 而粒子做圓周運動的周期T1不變, P會隨T變化而變動, P點的縱坐標是由兩個T/2對應的兩段圓弧確定, 要使P點的縱坐標有最大值, 且P點方向與x軸正方向相同, 粒子的運動軌跡應如圖乙所示.
由幾何關系知
, 
, 
，
∠
∠
,
則 ∠
∠
.
即粒子在T/2時間內運動的圓弧軌跡對應的圓心角為 
,
其運動的時間為
， 又 
,則 
.
P點縱坐標的最大值為 
12
．如圖3-77所示A、B為水平放置的足夠長的平行板, 板間距離為d =1.0×10
(1) 沿PQ方向射出的電子, 擊中A、B兩板上的范圍.
(2) 若從P點發出的粒子能恰好擊中Q點, 則電子的發射方向 (用圖中θ角表示) 與電子速度的大小v之間應滿足的關系及各自相應的取值范圍.
【解答】
(1) 如圖25甲所示, 沿PQ方向射出的電子最大軌跡半徑由
,可得
.
代入數據解得
該電子運動軌跡圓心在A板上H處、恰能擊中B板M處. 隨著電子速度的減小, 電子軌跡半徑也逐漸減小. 擊中B板的電子與Q點最遠處相切于N點, 此時電子的軌跡半徑為d, 并恰能落在A板上H處.所以電子能擊中B板MN區域和A板PH區域.
在△MFH中,
有
,
m,
m, 
m.
電子能擊中B板Q點右側與Q點相距2.68×10
電子能擊中A板P點右側與P點相距0～2×10
(2) 如圖乙所示,
要使P點發出的電子能擊中Q點, 則有
,
,
解得
.
v取最大速度
3.2×
有
, 
,
v取最小速度時有 
， 
m/s,
所以電子速度與θ之間應滿足 ,
且
θ∈
, v∈[ 8×
13．如圖所示，在半徑為R的絕緣圓筒內有勻強磁場，方向垂直紙面向里，圓筒正下方有小孔C與平行金屬板M、N相通。兩板間距離為d，兩板與電動勢為E的電源連接，一帶電量為－q、質量為m的帶電粒子（重力忽略不計），在C點正下方緊靠N板的A點，無初速經電場加速后從C點進入磁場，與圓筒發生兩次碰撞后從C點射出。已知帶電粒子與筒壁的碰撞無電荷量的損失，且碰撞后以原速率返回。求：
⑴筒內磁場的磁感應強度大��；
⑵帶電粒子從A點出發至第一次回到A點所經歷的時間。
解：（1）．qE＝mv2
粒子由C孔進入磁場，在磁場中做勻速圓周運動的速率為
v＝…
由 r＝
由幾何關系有Rcot30°＝ r 得 B＝
（2）粒子從A→C的加速度為 a＝qE／md
由 d＝at12／2，粒子從A→C的時間為 t1＝=d
粒子在磁場中運動的時間為 t2＝T／2＝πm／qB
將（1）求得的B值代入，
得 t2＝πR 求得 t＝2t1＋t2＝（2d +πR）
14、.如圖所示，間距為l、電阻不計的兩根平行金屬導軌MN、PQ（足夠長）被固定在同一水平面內，質量均為m、電阻均為R的兩根相同導體棒a、b垂直于導軌放在導軌上，一根輕繩繞過定滑輪后沿兩金屬導軌的中線與a棒連接，其下端懸掛一個質量為M的物體C，整個裝置放在方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場中。開始時使a、b、C都處于靜止狀態，現釋放C，經過時間t，C的速度為
、b的速度為
。不計一切摩擦，兩棒始終與導軌接觸良好，重力加速度為g，求：（1）t時刻C的加速度值；
（2）t時刻a、b與導軌所組成的閉合回路消耗的總電功率。
解：（1）根據法拉第電磁感應定律，t時刻回路的感應電動勢 
①
回路中感應電流 
以a為研究對象，根據牛頓第二定律 
以C為研究對象，根據牛頓第二定律 
聯立以上各式解得 
（2）解法一：單位時間內，通過a棒克服安培力做功，把C物體的一部分重力勢能轉化為閉合回路的電能，而閉合回路電能的一部分以焦耳熱的形式消耗掉，另一部分則轉化為b棒的動能，所以，t時刻閉合回路的電功率等于a棒克服安培力做功的功率，即
解法二：a棒可等效為發電機，b棒可等效為電動機
a棒的感應電動勢為 
⑤
閉合回路消耗的總電功率為 
⑥
聯立①②⑤⑥解得
解法三：閉合回路消耗的熱功率為 
b棒的機械功率為 
故閉合回路消耗的總電功率為 
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