一元二次方程專題復習（二）
根與系數的關系及其應用
如果一元二次方程ax2＋bx＋c=0(a≠0)的兩根為x1，x2，那么
反過來，如果x1，x2滿足x1+x2=p，x1x2=q，則x1，x2是一元二次方程x2-px+q=0的兩個根．一元二次方程的韋達定理，揭示了根與系數的一種必然聯系．利用這個關系，我們可以解決諸如已知一根求另一根、求根的代數式的值、構造方程、證明等式和不等式等問題，它是中學數學中的一個有用的工具．
【典型例題】
應用一：已知一個根，求另一個根；
例1 ： 方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的大根為a，方程x2＋1998x-1999=0的小根為b，求a-b的值．
解 : 先求出a，b．
由觀察知，1是方程(1998x)2-1997?1999x-1=0的根，于是由韋達定理知，另一根為
，于是可得a=1.又從觀察知，1也是方程x2＋1998x-1999=0的根，此方程的另一根為-1999，從而b=-1999．
所以a-b=1-(-1999)=2000．
應用二：求根的代數式的值
不解方程，利用一元二次方程根與系數的關系求兩個代數式的值關鍵是把所給的代數式經過恒等變形，化為含
，
的形式，然后把，的值代入，即可求出所求代數式的值．常見的代數式變形有：
①
②
③ 
④ 
⑤
例2： 已知二次方程x2-3x＋1=0的兩根為α，β，求：
（1）
（2）
(3)α3＋β3
解： 由韋達定理知 ： α+β=3， α?β=1．
（1）
（2）
(3)α3＋β3=(α+β)(α2-αβ+β2)=(α+β)[(α+β)2-3αβ]=3(9-3)=18；
例3： 設方程4x2-2x-3=0的兩個根是α和β，求4α2＋2β的值．
解： 因為α是方程4x2-2x-3=0的根，所以
4α2-2α-3＝0，
即 4α2=2α＋3．由韋達定理可知，
.所以
4α2+2β=2α+3+2β=2(α+β)+3=4．
例4： 已知α，β分別是方程x2＋x-1=0的兩個根，求2α5+5β3的值．
解： 由于α，β分別是方程x2＋x-1=0的根，所以
α2+α-1=0，β2+β-1=0，
即 α2=1-α，β2=1-β．
α5=(α2)2?α=(1-α)2α=(α2-2α+1)α=(1-α-2α+1)α= -3α2+2α
= -3(1-α)+2α=5α-3，
β3=β2?β=(1-β)β=β-β2=β-(1-β)=2β-1．所以
2α5+5β3=2(5α-3)+5(2β-1)=10(α+β)-11=-21．
說明： 此解法的關鍵在于利用α，β是方程的根，從而可以把它們的冪指數降次，最后都降到一次，這種方法很重要．
應用三：與兩根之比有關的問題；
例5： 已知x1，x2是一元二次方程 4x2-(
，求m的值.
解： 首先，△=(
從上面兩式中消去k，便得
即 m2
所以 m1=1，m2=5．
應用四：求作新的二次方程
例6： 求一個一元二次方程，使它的兩根分別是
。
解：
例7：
已知方程
的兩根為
，求一個一元二次方程，使它兩根為
和
。
分析：所求方程
，只要求出
的值即可。
解：設所求一元二次方程為
為方程的兩根
∴由韋達定理
又
∴所求一元二次方程為 
即：
點撥：應用根系關系構造方程，如果方程有兩實根
，那么方程為
，當
為分數時，往往化成整系數方程。
應用五：求方程中某些待定字母系數的值
例8：
已知是關于x的一元二次方程
的兩個實數根。
（1）用含m的代數式表示
；
（2）當
時，求m的值。
解：（1）由題意：
（2）由（1）得：
解得：
檢驗：當
時，原方程無實根。
∴舍去
當
時，原方程有實根。
∴
點撥：易忽略檢驗，要學會靈活應用一元二次方程有關概念，及判別式，根系關系。
應用六：判斷一元二次方程根的符號
例9： 已知方程
.m為何值時，方程有兩個正根.
解：
.
，
∴m為任何實數時，方程都有兩個不相等的實數根.
當方程的兩個根都為正數時，有
，且
.解不等式組
，解得 m>7. ∴ m>7時，方程有兩個正實數根
【模擬試題】
一. 選擇題。
1. 已知
是關于x的一元二次方程
的一個根，則k與另一根分別為（
）
A. 2，-1 B. -1，2 C. -2，1 D. 1，-2
2. 已知方程
的兩根互為相反數，則m的值是（
）
A. 4 B. -4 C. 1 D. -1
3. 若方程
有兩負根，則k的取值范圍是（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
4. 若方程
的兩根中，只有一個是0，那么（
）
A. 
B. 
C. 
D. 不能確定
5. 方程
的大根與小根之差等于（ ）
A. 
B. 
C.
1
D. 
6. 以
為根的，且二次項系數為1的一元二次方程是（
）
A. 
B. 
C. 
D. 
7. 若方程組
有兩組相同的實根，則m=_______________。
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二. 填空題。
7. 關于x的一元二次方程
的兩根互為倒數，則m＝________。
8. 已知一元二次方程
兩根比2：3，則a，b，c之間的關系是______。
9. 已知方程
的兩根，且
，則
________。
10. 已知是方程
的兩根，不解方程可得：
________，
________。
11. 已知
，則以為根的一元二次方程是______________________________。
12.如果一個矩形的長和寬是一元二次方程
的兩個根，那么這個矩形的周長是_________
三. 解答題。
13. 已知方程
的兩個實根中，其中一個是另一個的2倍，求m的值。
14. 已知方程
的兩根
不解方程，求
的值。
15. 已知方程
的兩根，求作以
為兩根的方程。
16. 設是方程
的兩個實根，且兩實根的倒數和等于3，試求m的值。
17.已知關于x的方程
（1）當方程有兩個相等的實數根，求m的取值，并求出此時方程的根。
（2）是否存在正數m，使方程的兩個實數根的平方和等于136？若存在，請求出m的值，不存在，說明理由。
2007-2008年北京中考數學一元二次方程試題匯編
1.已知關于x的一元二次方程
的兩個不相等的實根中，有一個根是0，則m的值為_________________________.
2.已知：關于x的二次方程
的一個根為x=1，且有
，則
的值為_____________________.
3.甲、乙、丙三家超市為了促銷一種定價均為m元的商品，甲超市連續兩次降價20%，乙超市一次性降價40%，丙超市第一次降價30%，第二次降價10%，此時顧客要購買這種商品最劃算應到的超市是 （ �。�
A.甲 B.乙 C.丙 D. 乙或丙
4.“5?
米，所列方程正確的是（
）
A．
B．
C．
D．
6.已知：關于的一元二次方程
．
（1）求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）設方程的兩個實數根分別為
，
（其中
）．若
是關于
的函數，且
，求這個函數的解析式；
（3）在（2）的條件下，結合函數的圖象回答：當自變量的取值范圍滿足什么條件時，
．
（1）證明：
（2）解：
 |
（3）解：
7.已知：關于x的兩個方程
① 與 
②
方程①有兩個不相等的負實數根，方程②有兩個實數根
⑴求證方程②的有兩根符號相同；
⑵設方程②的兩根分別為
，若
：
=1：3，且n為整數，求m的最小整數值.
8.已知關于x的一元二次方程
有兩個不相等的實數根.
⑴ 求k的取值范圍；
⑵ 如果k是符合條件的最大整數，且一元二次方程與
有一個相同的根，求此時m的值.
9.北京申奧成功，促進了一批產業的迅速發展，某通信公司開發了一種新型通信產品投放市場，根據計劃，第一年投入資金600萬元，第二年比第一年減少
，第三年比第二年減少
，該產品第一年收入資金約為400萬元，公司計劃三年內不僅要將投入的總資金全部收回，還要贏利，要實現這一目標，該產品收入的年平均增長率約是多少？（百分號前保留整數，參考數據：
）
10.某商店經銷一種銷售成本為每千克40元的水產品，根據市場分析，若按每千克50元銷售，一個月能售出500千克，銷售單價每漲1元，月銷售量就減少10千克，針對這種水產品的銷售情況請解答以下問題：
⑴ 當銷售單價為每千克55元時，計算月銷售量和月銷售利潤；
⑵ 商店想在月銷售成本不超過10000元的情況下，使得月銷售利潤達到8000元，銷售單價應定為多少？
11. 某商店有一批襯衫將出售，如果每件盈利40元，每天可售出20件，為了盡快減少庫存，增加盈利，商場決定降價出售，經過調查得知，若每件襯衫降價1元，則平均每天多售出2件，問：
（1）每件襯衫應降價多少元時，平均每天可盈利1200元；
（2）商場每天盈利能不能達到1250元，若能達到，每件襯衫應降價多少元？若不能達到，請說明理由。
12. 一塊矩形耕地大小尺寸如圖1，如果修筑同樣寬的兩條“之”字形的道路，如圖1所示，余下的部分作為耕地．要使耕地的面積為
13. 某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為
．在溫室內，沿前側內墻保留
？
14. 在一幅長
，設金色紙邊的寬為
cm，那么滿足的方程為
.
15.在長為
16.如圖，有一長方形的地區，長為x千米，寬為
16.一塊矩形耕地大小尺寸（如圖1所示）要在這塊土地上沿東西和南北方向分別挖2條和4條水渠，如果水渠的寬相等，而且要保證余下的可耕地面積為
一元二次方程專題復習（一）
【課標要求】
1. 了解一元二次方程的定義及一元二次方程的一般形式：ax2+bx+c=0(a≠0).
2. 掌握一元二次方程的四種解法，并能靈活運用.
3. 掌握一元二次方程根的判別式，并能運用它解相應問題.
4. 掌握一元二次方程根與系數的關系，會用它們解決有關問題.
5. 會解一元二次方程應用題.
【知識梳理】
1．靈活運用四種解法解一元二次方程：一元二次方程的一般形式:a2x+bx+c=0(a≠0)
四種解法：直接開平方法，配方法，公式法， 因式分解法，公式法：
x=
(b2
注意：掌握一元二次方程求根公式的推導；主要數學方法有：配方法，換元法，“消元”與“降次”。
2．根的判別式及應用(△=b2
(1)判定一元二次方程根的情況。
(2)確定字母的值或取值范圍。
3．根與系數的關系(韋達定理)的應用：韋達定理:如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩根為x1、x2，則x1+x2=―
，x1?x2=
。
(1)已知一根求另一根及未知系數；
(2)求與方程的根有關的代數式的值；
(3)已知兩根求作方程；
(4)已知兩數的和與積，求這兩個數；
(5)確定根的符號:(x1，x2是方程兩根)。
應用韋達定理時，要確保一元二次方程有根，即一定要判斷根的判別式是否非負;求作一元二次方程時，一般把求作方程的二次項系數設為1，即以x1、x2為根的一元二次方程為x2-(x1+x2)x+x1x2=0;求字母系數的值時，需使二次項系數a≠0，同時滿足△≥0;求代數式的值，常用整體思想，把所求代數式變形成為含有兩根之和x1+x2，兩根之積x1x2的代數式的形式，整體代入。
4．一元二次方程的應用：解應用題的關鍵是把握題意，找準等量關系，列出方程。最后還要注意求出的未知數的值，是否符合實際意義。
【中考主要考點】
①利用一元二次方程的意義解決問題
②用整體思想對復雜的高次方程或分式方程進行變形（換元法）
③考查配方法（主要結合函數的頂點式來研究）
④一元二次方程的解法
⑤一元二次方程根的近似值
⑥建立一元二次方程模型解決問題
⑦利用根的判別式求方程中的字母系數的值和利用根與系數關系求代數式的值
⑧與一元二次方程相關的探索或說理題
⑨與其他知識結合，綜合解決問題
一元二次方程的定義、解法
Ø 要點、考點聚焦
1. 加深理解一元二次方程的有關概念及一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0 (a≠0)
2.熟練地應用不同的方法解方程；直接開平方法、配方法、公式法、因式分解法；并體會“降冪法”在解方程中的含義.（其中配方法很重要）
Ø 課前熱身
1. 當a__________時，方程ax2＋3x＋1＝0是一元二次方程.
2. 已知x=1是方程x2+ax+2=0的一個根，則方程的另一根為__________.
3.一元二次方程x(x-1)=x的解是_____________.
4. 若關于x的一元二次方程ax2+bx+c=0 (a≠0)，且a+b+c=0，則方程必有一根為_______.
5. 用配方法解方程x2-4x+2=0,則下列配方正確的是( )
A (x-2)2=2 B (x+2)2=
Ø 典型例題解析
1、關于x的一元二次方程(ax－1)(ax－2) ＝x2－2x＋6中，求a的取值范圍___________.
2、已知：關于x的方程x2－6x＋m2－
3、用配方法解方程2x2-x-1=0
【課時訓練】
1、關于
的一元二次方程
的一個根是0，則
的值為（ ）
A、
B、
C、或
D、
2、解方程
的最適當的方法（ ）
A. 直接開平方法 B. 配方法 C. 因式分解法 D. 公式法
3、若a－b＋c＝0，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一根是（ ）
A. 2 B. 1 C. 0 D. －1
4、k____________時，(k2－9)x2＋(k－5)x－3＝0不是關于x的一元二次方程.
5、已知方程
，則代數式
_________.
6、解下列方程：
（1）(x－1)2＝4 (2)x2－2x－3＝0 (3)2t2－7t－4＝0（用配方法）
一元二次方程根的判別式
Ø 要點、考點聚焦
1.一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的情況：
(1)當Δ＞0時，方程有兩個不相等的實數根；(2)當Δ=0時，方程有兩個相等的實數根；
(3)當Δ＜0時，方程無實數根.
2.一元二次方程根的判別式的性質反用也成立，即已知根的情況，可以得到一個等式或不等式，從而確定系數的值或取值范圍．
Ø 課前熱身
1.(2008年?西寧市)若關于x的一元二次方程mx2-2x+1=0有實數根，則m的取值范圍是 ( )
A.m＜1 B. m＜1且m≠0
C.m≤1 D. m≤1且m≠0
2. (2008年?南通市)若關于x的方程x2+(2k-1)x+k2-
=0有兩個相等的實數根，則k=
.
3.( 2007巴中市）一元二次方程
的根的情況為（ �。�
A. 有兩個相等的實數根 B. 有兩個不相等的實數根C. 只有一個實數根 D. 沒有實數根
4、(2007湖北天門）已知關于x的一元二次方程x2＋4x＋m－1＝0。請你為m選取一個合適的整數，當m=________時，使得到的方程有兩個不相等的實數根；
Ø 典型例題解析
【例1】 已知關于x的方程(m-2)x2-2(m-1)x+m+1=0，當m為何非負整數時：
(1)方程只有一個實數根；(2)方程有兩個相等的實數根；(3)方程有兩個不等的實數根.
【例2】 已知a，b，c是三角形的三條邊，
求證：關于x的方程b2x2＋(b2＋c2－a2)x＋c2＝0沒有實數根
【課時訓練】
1、（2007巴中市）一元二次方程的根的情況為（ �。�
A. 有兩個相等的實數根 B. 有兩個不相等的實數根
C. 只有一個實數根 D. 沒有實數根
2、（2007安徽蕪湖）已知關于x 的一元二次方程
有兩個不相等的實數根，則m的取值范圍是（
）
A. m＞－1 B. m＜－2 C. m ≥0 D. m＜0
3、一元二次方程（1－k）x2－2x－1＝0有兩個不相等的實數根，則k的取值范圍是________.
4、求證：關于x的方程x2＋(2k＋1)x＋k－1＝0有兩個不相等的實數根。
中考試題
來做
09年北京中考數學一模壓軸題精選
【海淀一模】1、我們給出如下定義：如果四邊形中一對頂點到另一對
頂點所連對角線的距離相等，則把這對頂點叫做這個
四邊形的一對等高點.例如：如圖1,平行四邊形ABCD
中，可證點A、C到BD的距離相等，所以點A、C是
平行四邊形ABCD的一對等高點，同理可知點B、D
也是平行四邊形ABCD的一對等高點. 圖1
（1）如圖2，已知平行四邊形ABCD, 請你在圖2中畫出一個只有一對等高點的四
邊形ABCE（要求：畫出必要的輔助線）；
（2）已知P是四邊形ABCD對角線BD上任意一點（不與B、D點重合），請分別
探究圖3、圖4中S1, S2, S3, S4四者之間的等量關系(S1, S2, S3, S4分別表示△ABP,
△CBP, △CDP, △ADP的面積)：
① 如圖3，當四邊形ABCD只有一對等高點A、C時，你得到的一個結論是 ________；
② 如圖4，當四邊形ABCD沒有等高點時，你得到的一個結論是
____________.
圖2 圖3 圖4
【海淀一�！�2、已知: 關于x的一元一次方程kx=x+2 ①的根為正實數，二次函數y=ax2-bx+kc
（c≠0）的圖象與x軸一個交點的橫坐標為1.
（1）若方程①的根為正整數，求整數k的值；
（2）求代數式
的值；
（3）求證: 關于x的一元二次方程ax2-bx+c=0 ②必有兩個不相等的實數根.
【海淀一�！�3、在課外小組活動時，小慧拿來一道題（原問題）和小東、小明交流.
原問題：如圖1，已知△ABC, ∠ACB=90° , ∠ABC=45°，分別以AB、BC為邊向外作△ABD與△BCE, 且DA=DB, EB=EC，∠ADB=∠BEC=90°，連接DE交AB于點F. 探究線段DF與EF的數量關系.
小慧同學的思路是：過點D作DG⊥AB于G,構造全等三角形，通過推理使問
題得解.
小東同學說:我做過一道類似的題目,不同的是∠ABC=30°,∠ADB=∠BEC=60°.
小明同學經過合情推理，提出一個猜想，我們可以把問題推廣到一般情況.
請你參考小慧同學的思路，探究并解決這三位同學提出的問題：
（1）寫出原問題中DF與EF的數量關系；
（2）如圖2，若∠ABC=30°，∠ADB=∠BEC=60°，原問題中的其他條件不變，你在
（1）中得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想并加以證明；
（3）如圖3，若∠ADB=∠BEC=2∠ABC, 原問題中的其他條件不變，你在（1）中
得到的結論是否發生變化？請寫出你的猜想并加以證明.
【海淀一�！�4、已知拋物線經過點 A (0, 4)、B(1, 4)、C (3, 2)，與x軸正半軸交于點D.
（1）求此拋物線的解析式及點D的坐標；
（2）在x軸上求一點E, 使得△BCE是以BC為底邊的等腰三角形；
（3）在（2）的條件下，過線段ED上動點P作直線PF//BC, 與BE、CE分別交于
點F、G，將△EFG沿FG翻折得到△E¢FG. 設P（x, 0）, △E¢FG與四邊形FGCB
重疊部分的面積為S，求S與x的函數關系式及自變量x的取值范圍.
【東城一�！�5、已知：關于
的一元二次方程
（1）若
求證：方程有兩個不相等的實數根；
（2）若12＜m＜40的整數，且方程有兩個整數根，求
的值．
（東城）
24. （本題滿分7分）在平面直角坐標系中，現將一塊等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在兩坐標軸上，且點A（0，2），點C（-1，0），如圖所示，拋物線
經過點B．
（1）求點B的坐標；
（2）求拋物線的解析式；
（3）在拋物線上是否還存在點P（點B除外），使△ACP仍然是以AC為直角邊的等腰直角三角形？若存在，求所有點P的坐標；若不存在，請說明理由．
【東城一�！�6、請閱讀下列材料：
圓內的兩條相交弦，被交點分成的兩條線段長的積相等．即如右圖1,若弦AB、CD交于點P則PA?PB=PC?PD．請你根據以上材料，解決下列問題.
已知⊙O的半徑為2，P是⊙O內一點，且OP=1，過點P任作一弦AC，過A、C兩點分別作⊙O的切線m和n，作PQ⊥m于點Q，PR⊥n于點R.（如圖2）
(1)若AC恰經過圓心O,請你在圖3中畫出符合題意的圖形，并計算：
的值；
(2)若OP⊥AC, 請你在圖4中畫出符合題意的圖形，并計算：的值；
(3)若AC是過點P的任一弦（圖2）, 請你結合(1)(2)的結論, 猜想：的值，并給出證明．
【房山一模】7、已知關于x的一元二次方程kx2＋（3k＋1）x＋2k＋1＝0.
（1）求證：該方程必有兩個實數根；
（2）設方程的兩個實數根分別是
，若y1是關于x的函數，且
，其中m=
,求這個函數的解析式；
（3）設y2＝kx2＋（3k＋1）x＋2k＋1，若該一元二次方程只有整數根，且k是小于0 的整數.結合函數的圖象回答：當自變量x滿足什么條件時，y2>y1?
【房山一�！�8、已知：二次函數y=ax2-x+c的圖象與x軸交于A、B兩點（點A在點B的左側），與y軸交于點C，對稱軸是直線x=
，且圖象向右平移一個單位后經過坐標原點O.
（1）求這個二次函數的解析式；
（2）求△ABC的外接圓圓心D的坐標及⊙D的半徑；
（3）設⊙D的面積為S,在拋物線上是否存在點M，使得S△ACM=
，若存在，求出點M的坐標；若不存在，請說明理由.
【房山一�！�9、已知：△ABC和△ADE均為等腰直角三角形, ∠ABC＝∠ADE=
， AB= BC，AD=DE，按圖1放置，使點E在BC上，取CE的中點F，聯結DF、BF.
（1）探索DF、BF的數量關系和位置關系，并證明；
（2）將圖1中△ADE繞A點順時針旋轉
，再聯結CE，取CE的中點F（如圖2），問（1）中的結論是否仍然成立？證明你的結論；
（3）將圖1中△ADE繞A點轉動任意角度（旋轉角在
到之間），再聯結CE，取CE的中點F（如圖3），問（1）中的結論是否仍然成立？證明你的結論
圖1 圖2 圖3
【門頭溝一�！�10、已知以x為自變量的二次函數y=x2＋2mx＋m－7．
（1）求證：不論m為任何實數，二次函數的圖象與x軸都有兩個交點；
（2）若二次函數的圖象與x軸的兩個交點在點（1，0）的兩側，關于x的一元二次方程m2x2＋(
（3）在（2）的條件下，關于x的另一方程 x2＋2(a＋m)x＋
【門頭溝一�！�11、在平面直角坐標系xOy中，拋物線 y＝－x2＋bx＋c與x軸交于A、B 兩點（點A在
點B的左側），與y軸交于點C，頂點為D，且點B的坐標為（1，0）， 點C的坐標
為（0，3）．
（1）求拋物線及直線AC的解析式；
（2）E、F是線段AC上的兩點，且∠AEO＝∠ABC，過點F作與y軸平行的直線交拋物線于點M，交x軸于點N．當MF=DE時，在x軸上是否存在點P，使得以點P、A、F、M為頂點的四邊形是梯形？ 若存在，請求出點P的坐標；若不存在，請說明理由；
（3）若點Q是位于拋物線對稱軸左側圖象上的一點，試比較銳角∠QCO與∠BCO 的大小（直接寫出結果，不要求寫出求解過程，但要寫出此時點 Q的橫坐標x的取值范圍）．
【門頭溝一�！�12、如圖1，在△ACB和△AED中，AC=BC，AE=DE，∠ACB＝∠AED＝90°,點E在AB上， F是線段BD的中點，連結CE、FE.
（1）請你探究線段CE與FE之間的數量關系（直接寫出結果，不需說明理由）；
（2）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉，使△AED的一邊AE恰好與△ACB的邊AC在同一條直線上（如圖2），連結BD，取BD的中點F，問（1）中的結論是否仍然成立，并說明理由；
（3）將圖1中的△AED繞點A順時針旋轉任意的角度（如圖3），連結BD，取BD的中點F，問（1）中的結論是否仍然成立，并說明理由．
【延慶一�！�13、（本題滿分4分）
如圖1，把一張標準紙一次又一次對開，得到“2開”紙、“4開”紙、“8開”紙、“16開”紙…．已知標準紙的短邊長為
．
（1）如圖2，把這張標準紙對開得到的“16開”紙按如下步驟折疊：
第一步：將矩形的短邊
與長邊
對齊 折疊， 點
落在上的點
處，鋪平后 得折痕
；
第二步：將長邊與折痕對齊折疊，點
正好與點
重合，鋪平后得折痕
．則
的值是 .
（2）求“2開”紙長與寬的比__________.
（3）如圖3，由8個大小相等的小正方形構成“
”型圖案，它的四個頂點
分別在“16開”紙的邊
上，求
的長．
 |
【延慶一模】14、 閱讀理解：對于任意正實數
，
，
，
，只有當
時，等號成立．
結論：在
（均為正實數）中，若
為定值
，則
，
只有當時，
有最小值
．
根據上述內容，回答下列問題：
（1） 若
，只有當
時，
有最小值
．
（2） 探索應用：已知
，
，點P為雙曲線
上的任意一點，過點
作
軸于點
，
．
求四邊形
面積的最小值，并說明此時四邊形的形狀．
 |
【延慶一�！�15、如圖24－1，正方形ABCD和正方形QMNP， M是正方形ABCD的對稱中心，MN交AB于F，QM交AD于E．
（1）猜想：ME 與MF的數量關系
（2）如圖24－2，若將原題中的“正方形”改為“菱形”，且∠M =∠B，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數量關系，并加以證明．
（3）如圖24－3，若將原題中的“正方形”改為“矩形”，且AB:BC=1:2，其它條件不變，探索線段ME與線段MF的數量關系，并說明理由．
（4）如圖24－4，若將原題中的“正方形”改為平行四邊形，且∠M =∠B ，
AB:BC = m，其它條件不變，求出ME：MF的值。（直接寫出答案）
【延慶一模】16、
在平面直角坐標系中，拋物線
的對稱軸為x=2,且經過B（0，4），C（5，9），直線BC與x軸交于點A.
（1）求出直線BC及拋物線的解析式.
（2）D（1，y）在拋物線上，在拋物線的對稱軸上是否存在兩點M、N，且MN=2 ，點M在點N的上方，使得四邊形BDNM的周長最小，若存在，求出M 、N兩點的坐標，若不存在，請說明理由.
（3）現將直線BC繞B點旋轉與拋物線相交于另一點P，請找出拋物線上所有滿足到直線BC距離為
的點P．
09年北京中考壓軸題精選答案
（海淀一模）1．解：
 |
（1）比如： 或 ………………1分
（2）①S1 +S4 = S2 +S3, S1
+S3 = S2 +S4或S1×S3 = S2×S4或
等. ……………2分
②S1×S3 = S2×S4或
等. ……………………………………………4分
（海淀一模）2、（1）解：由 kx=x+2，得(k-1) x=2.
依題意 k-1≠0.
∴ 
. ……………………………………………………………1分
∵ 方程的根為正整數，k為整數,
∴ k-1=1或k-1=2.
∴ k1= 2, k2=3. ……………………………………………………………2分
（2）解：依題意，二次函數y=ax2-bx+kc的圖象經過點（1，0），
∴ 0 =a-b+kc, kc = b-a .
∴
=
…………………………3分
（3）證明：方程②的判別式為 Δ=(-b)2-4ac= b2-4ac.
由a≠0, c≠0, 得ac≠0.
( i ) 若ac<0, 則
根. ………………………………………………………………4分
( ii ) 證法一: 若ac>0, 由(2)知a-b+kc =0, 故 b=a+kc.
Δ=b2-4ac= (a+kc)2-4ac=a2+2kac+(kc)2-4ac = a2-2kac+(kc)2+4kac-4ac
=(a-kc)2+
∵ 方程kx=x+2的根為正實數，
∴ 方程(k-1) x=2的根為正實數.
由 x>0, 2>0, 得 k-1>0. …………………………………………………6分
∴ 4ac(k-1)>0.
∵ (a-kc)2³0,
∴Δ=(a-kc)2+4ac(k-1)>0. 此時方程②有兩個不相等的實數根. …………7分
證法二: 若ac>0,
∵ 拋物線y=ax2-bx+kc與x軸有交點,
∴ Δ1=(-b)2-4akc =b2-4akc³0.
(b2
由證法一知 k-1>0,
∴ b2-4ac> b2-4akc³0.
∴ Δ= b2-4ac>0. 此時方程②有兩個不相等的實數根. …………………7分
綜上, 方程②有兩個不相等的實數根.
（海淀一模）
3、 解: （1）DF= EF. …………………………………………………1分
（2）猜想：DF= FE.
證明：過點D作DG⊥AB于G, 則∠DGB=90°.
∵ DA=DB, ∠ADB=60°.
∴ AG=BG, △DBA是等邊三角形.
∴ DB=BA.
∵ ∠ACB=90° , ∠ABC=30°,
∴ AC=
AB=BG. …………………………………………………………2分
∴ △DBG≌△BAC.
∴ DG=BC. ……………………………………………………3分
∵ BE=EC, ∠BEC=60° ,
∴ △EBC是等邊三角形.
∴ BC=BE, ∠CBE=60°.
∴ DG= BE, ∠ABE=∠ABC+∠CBE=90° .
∵ ∠DFG =∠EFB, ∠DGF =∠EBF,
∴ △DFG≌△EFB.
∴ DF= EF. ……………………………………………………4分
（3）猜想：DF= FE.
證法一：過點D作DH⊥AB于H, 連接HC, HE, HE交CB于K, 則∠DHB=90°.
∵ DA=DB,
∴ AH=BH, ∠1=∠HDB.
∵ ∠ACB=90°,
∴ HC=HB.
∵ EB=EC, HE=HE,
∴ △HBE≌△HCE. ……………………………5分
∴ ∠2=∠3, ∠4=∠BEH.
∴ HK⊥BC.
∴ ∠BKE=90°. ……………………………6分
∵ ∠ADB=∠BEC=2∠ABC,
∴ ∠HDB=∠BEH=∠ABC.
∴ ∠DBC=∠DBH+∠ABC =∠DBH+∠HDB=90°，
∠EBH=∠EBK+∠ABC =∠EBK+∠BEK=90°.
∴ DB//HE, DH//BE.
∴ 四邊形DHEB是平行四邊形.
∴ DF=EF. ………………………………………………………………………7分
證法二：分別過點D、E作DH⊥AB于H, EK⊥BC于K, 連接HK, 則
∠DHB=∠EKB=90°.
∵ ∠ACB=90°,
∴ EK//AC.
∵ DA=DB, EB=EC,
∴ AH=BH, ∠1=∠HDB,
CK=BK, ∠2=∠BEK.
∴ HK//AC.
∴ 點H、K、E在同一條直線上. …………………5分
下同證法一.
（海淀一模）4、解:（1）依題意, 設所求拋物線的解析式為
, 則
………………1分
∴ 所求拋物線的解析式為 
. ……………………………………2分
由
, 解得x1=4, x2= -3.
∴ D(4, 0). …………………………………………………………………………3分
（2）如圖, 過點C作CN⊥x軸于N, 過點E、B分別
作x軸、y軸的垂線，兩線交于點M.
∴ ∠M=∠CNE=90°.
設E(a, 0), EB=EC.
∴ BM2+EM2= CN2+EN2.
∴ 
.
解得 a=-1.
∴ E( -1, 0). ……………………………4分
（3）可求得直線BC的解析式為y=-x+5.
從而直線BC與x軸的交點為H(5, 0).
如圖，根據軸對稱性可知S△E ¢FG=S△EFG,
當點E¢在BC上時，點F是BE的中點.
∵ FG//BC,
∴ △EFP∽△EBH.
可證 EP=PH.
∵ E(-1,0), H(5, 0),
∴ P(2, 0). ……………………………5分
( i ) 如圖, 分別過點B、C作BK⊥ED于K,
CJ⊥ED于J ,
則
.
當-1< x £2時，
∵ PF//BC,
∴ △EGP∽△ECH，△EFG∽△EBC.
∴ 
, 
∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0),
∴ EP=x+1, EH=6.
∴ 
. …………………6分
( ii ) 如圖，當2< x £4時, 在x軸上截取一點Q, 使得PQ=HP, 過點Q作
QM//FG, 分別交EB、EC于M、N.
可證S=S四邊形MNGF, △ENQ∽△ECH,△EMN∽△EBC.
∴ 
, 
∵ P(x, 0), E(-1, 0), H(5,0),
∴ EH=6，PQ=PH=5-x, EP=x+1,
EQ=6-2(5-x)=2x-4.
∴
……………7分
同（i）可得 
，
∴ 
.…………8分
綜上，
（東城一模）5、（1）證明： 
∴方程有兩個不相等的實數根�！撤�
（2）
∵方程有兩個整數根，必須使
且m為整數．
又∵12＜m＜40，
∴ 5＜
＜9．
∴m=24……７分
（東城一模）6
、解：(1)過點B作
，垂足為D，
∵
∴
又∵
∴△
≌△
,
∴
=
=1，
=
=2；
∴點B的坐標為（-3，1）； …………… 2分
（2）拋物線經過點B(-3,1)，則得到
，
解得
，∴拋物線解析式為
； ………………3分
（3）方法一：①若以AC為直角邊，點C為直角頂點；
則可以設直線ＢＣ交拋物線于點
，
由題意，直線ＢＣ的解析式為：
，
解得
∴P1（1，-1）．………４分
②若以AC為直角邊，點A為直角頂點；
則過點Ａ作ＡＦ∥ＢＣ，交拋物線于點
，
由題意，直線ＡＦ的解析式為
綜上所述，在拋物線上存在點
使△ACP是以AC為直角邊的等腰直角三角形。
方法二：①若以AC為直角邊，點C為直角頂點；
則延長
至點，使得
，得到等腰直角三角形△
，過點作
,
∵
1=
，
，
；∴△
≌△
∴
=
=2, ∴
=
=1, 可求得點P1（1，-1）；…………………4分
經檢驗點P1（1，-1）在拋物線上，使得△是等腰直角三角形；
………………… 5分
②若以AC為直角邊，點A為直角頂點；則過點A作
,且使得
,
得到等腰直角三角形△
,過點P2作
，同理可證△
≌△；
∴
==2, 
== 1, 可求得點（2，1）；……………… 6分
經檢驗點（2，1）也在拋物線上，使得△也是等腰直角三角形．
………………7分
（東城一模）7、解：（１）ＡＣ過圓心Ｏ，且m,n分別切⊙O于點A,C
(2)連接OA
∴△AEC∽△PAQ．
①
同理可得：
②
①+②，得
（房山一模）8、（1）證明：△＝
＝
＝
＝
≥0
------------1分
∴方程必有兩個實數根 -------------2分
（2）用求根公式解出
，-------3分
∴=
∴
----------4分
（3）∵方程只有整數根且k是小于0 的整數
∴k＝-1 ----------5分
∴
＝-x2-2x-1
=x-1
----------------6分
在坐標系中畫出兩函數的圖象，由圖象可知：當-3<x<0時， >.---------7分
（房山一模）9、解：（1）∵拋物線的對稱軸是直線x＝
∴－
∴a＝1， ----------------------------1分
∵拋物線向右平移一個單位過坐標原點（0，0），∴原拋物線過點（－1，0）
∴c＝－2
∴拋物線的解析式為 
---------------------------2分
（2）∵OC＝OB＝2，線段BC的垂直平分線為直線y=－x
∵拋物線的對稱軸為直線x=
∴△ABC外接圓⊙D的圓心D（，－）
----------------------3分
∵∠ABC＝45°，∴∠ADC＝90°
∵AC＝
,
∴AD=
，即△ABC外接圓半徑為-----4分
（3）
∵S=
，=6，
∴S△ACM=6 ----------5分
過點M作EF∥AC交x軸于E，交y軸于F，
A（－1，0），B（2，0），C（0，－2）
∴直線EF的解析式為：
------------------------6分
設點M的坐標為(x,
)
∵M(x,)在直線EF上
∴=
+10,∴ 
，
∴在拋物線上存在點M使得S△ACM=,且M1（3，4），M2（-4，18）.----------7分
（房山一模）10、 解：（1）DF=BF且DF⊥BF.-----------------1分
證明：如圖1：
∵∠ABC＝∠ADE=，AB= BC，AD=DE
∴ ∠CDE=，∠AED=∠ACB=45°
∵F為CE的中點
∴ DF=EF=CF=BF，
∴ DF=BF； ------------------2分
∴ ∠DFE＝2∠DCF，∠BFE＝2∠BCF，
∴∠EGF＋∠CGF＝2∠DCB=90°， 圖1
即：∠DFB＝，
∴DF⊥BF. -------------------3分
(2)仍然成立.
證明：如圖2，延長DF交BC于點G，
∵∠ABC＝∠ADE=
∴ DE∥BC，
∴∠DEF=∠GCF，
又∵ EF=CF，∠DFE=∠GFC
∴ △DEF≌△GCF，∴DE=CG，DF=FG-----------4分
∵AD=DE，AB=BC，∴AD=CG
∴ BD＝BG ---------------5分
又∵∠ABC＝
圖2
∴ EG=CG且EG⊥CG. ---------------6分
(3)仍然成立.
證明：如圖3，延長BF至點G，使FG＝BF，聯結DB、DG，GE
∵EF=CF, ∠EFG=∠CFB
∴ △EFG≌△CFB，
∴ EG=CB，∠EGF＝∠CBF，
∴EG∥CB，
∵AB= BC，AB⊥CB,∴ EG=AB，EG⊥AB，
∵∠ADE=90°，EG⊥AB
∴∠DAB=∠DGE
∴ △DAB≌△DEG，
∴ DG=DB, ∠ADB=∠EDG -----------------7分
∴∠BDG=∠ADE=90° 圖3
∴△BGD為等腰直角三角形，
∴ DF=BF且DF⊥BF. ----------------8分
（門頭溝一模）11、（1）證明：令
．
得△=
=
2009年浙江省寧�？h知恩中學高三最后適應性考試
理科綜合 2009.04
本試卷分第Ⅰ卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分。滿分300分�？荚嚂r間150分鐘。
第I卷（選擇題，共21題，共126分）
2009屆晉州一中高三理綜最后模擬（物理部分）
廣東省華南師大附中2007―2008學年度高三綜合測試（四）
數學試題（理科）
本試卷分選擇題和非選擇題兩部分，滿分150分，考試用時120分鐘。
注意事項：
1．答卷前，考生務必用黑色字跡的鋼筆或簽字筆將自己的校名、姓名、考號填寫在答題卡的密封線內。
2．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案；不能答在試卷上。
3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在別發的答題卷各題目指定區域內的相應位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新的答案；不準使用鉛筆和涂改液，不按以上要求作答的答案無效。
4．考生必須保持答題卡的整潔，考試結束后，將答題卷和答題卡一并收回。
參考公式：
球的表面積公式
， 其中R表示球的半徑
球的體積公式 
，其中R表示球的半徑
第一部分（選擇題，共40分）
山東省淄博市2008―2009學年度高三檢測題
語文試題
本試卷分第1卷和第Ⅱ卷兩部分。滿分150分�？荚囉脮r150分鐘。
注意事項：
1．答題前，考生務必用0．5毫米黑色簽字筆將自己的姓名、座號、考號填寫在答題卡
和試題卷規定的位置上。
2．第1卷每小題選出答案后。用2B鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑；如需
改動。用橡皮擦干凈后。再選涂其他答案標號。答案不能答在試題卷上。 ，
3．第Ⅱ卷必須用O．5毫米黑色簽字筆作答。答案必須寫在答題卡各題目的指定區域
內相應的位置，不能寫在試題卷上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后寫上新的答案；不準使用涂改液、修正帶。不按以上要求作答的答案無效。
4．第Ⅱ卷第六題為選做題。考生須從所給（一）（二）兩題中任選一題作答，不能全選。
第1卷（選擇題共36分）
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