遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈5：
應用型問題
數學應用性問題是歷年高考命題的主要題型之一, 也是考生失分較多的一種題型. 高考中一般命制一道解答題和兩道選擇填空題.解答這類問題的要害是深刻理解題意,學會文字語言向數學的符號語言的翻譯轉化,這就需要建立恰當的數學模型,這當中,函數,數列,不等式，排列組合是較為常見的模型,而三角,立幾,解幾等模型也應在復課時引起重視.
例1某校有教職員工150人，為了豐富教工的課余生活，每天定時開放健身房和娛樂室。據調查統計，每次去健身房的人有10%下次去娛樂室，而在娛樂室的人有20%下次去健身房.請問，隨著時間的推移，去健身房的人數能否趨于穩定？
講解: 引入字母,轉化為遞歸數列模型.
設第n次去健身房的人數為an，去娛樂室的人數為bn，則
.
.
，于是
即 
.
.故隨著時間的推移，去健身房的人數穩定在100人左右.
上述解法中提煉的模型
, 使我們聯想到了課本典型習題（代數下冊P.132第34題）
已知數列
的項滿足
其中
，證明這個數列的通項公式是
有趣的是, 用此模型可以解決許多實際應用題, 特別, 2002年全國高考解答題中的應用題(下文例9)就屬此類模型.
例2 某人上午7時乘摩托艇以勻速V千米/小時（4≤V≤20）從A港出發前往50千米處的B港，然后乘汽車以勻速W千米/小時（30≤W≤100）自B港向300千米處的C市駛去，在同一天的16時至21時到達C市, 設汽車、摩托艇所需的時間分別是x小時、y小時，若所需經費
元，那么V、W分別為多少時，所需經費最少？并求出這時所花的經費.
講解: 題中已知了字母, 只需要建立不等式和函數模型進行求解.
由于
又
則z最大時P最小.
作出可行域，可知過點（10，4）時, z有最大值38，
∴P有最小值93，這時V=12.5，W=30.
視
這是整體思維的具體體現, 當中的換元法是數學解題的常用方法.
例3 某鐵路指揮部接到預報，24小時后將有一場超歷史記錄的大暴雨，為確保萬無一失，指揮部決定在24小時內筑一道歸時堤壩以防山洪淹沒正在緊張施工的遂道工程。經測算，其工程量除現有施工人員連續奮戰外，還需要20輛翻斗車同時作業24小時。但是，除了有一輛車可以立即投入施工外，其余車輛需要從各處緊急抽調，每隔20分鐘有一輛車到達并投入施工，而指揮部最多可組織25輛車。問24小時內能否完成防洪堤壩工程？并說明理由.
講解: 引入字母, 構建等差數列和不等式模型.
由20輛車同時工作24小時可完成全部工程可知，每輛車，每小時的工作效率為
，設從第一輛車投入施工算起，各車的工作時間為a1，a2，…,
a25小時，依題意它們組成公差
（小時）的等差數列，且
，化簡可得
.
解得
.
可見a1的工作時間可以滿足要求，即工程可以在24小時內完成.
對照此題與2002年全國高考文科數學解答題中的應用題, 你一定會感覺二者的解法是大同小異的. 學習數學就需要這種將舊模式中的方法遷移為解答新題的有用工具, 這要求你不斷的聯想, 力求尋找恰當的解題方案.
2008年11月
綿陽南山中學2008秋季高2010級半期考試化學（文科）試題
命題人：杜紅帥
本試卷分卷Ⅰ和卷Ⅱ兩部分。卷Ⅰ 為選擇題，卷Ⅱ 為非選擇題。本試卷共60分。考試時間為60分鐘。
第I卷 選擇題部分（40分）
遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈4：
開放型問題
數學開放性問題是近年來高考命題的一個新方向,其解法靈活且具有一定的探索性,這類題型按解題目標的操作模式分為:規律探索型,問題探究型,數學建模型,操作設計型,情景研究型.如果未知的是解題假設,那么就稱為條件開放題;如果未知的是解題目標,那么就稱為結論開放題;如果未知的是解題推理,那么就稱為策略開放題.當然,作為數學高考題中的開放題其“開放度”是較弱的,如何解答這類問題,還是通過若干范例加以講解.
例 1 設等比數列
的公比為
，前 
項和為
，是否存在常數
，使數列
也成等比數列？若存在，求出常數；若不存在，請 明 理 由.
講解 存在型開放題的求解一般是從假設存在入手, 逐步深化解題進程的.
設存在常數，
使數列 成等比數列.
(i) 當 
時，
代入上式得
即
=0
但
, 于是不存在常數 ，使
成等比數列.
(ii) 當 
時，
，
代 入 上 式 得
.
綜 上 可 知 , 存 在 常 數 
，使成等比數列.
等比數列n項求和公式中公比的分類, 極易忘記公比的 情 形, 可 不 要 忽 視 啊 !
例2 某機床廠今年年初用98萬元購進一臺數控機床，并立即投入生產使用，計劃第一年維修、保養費用12萬元，從第二年開始，每年所需維修、保養費用比上一年增加4萬元，該機床使用后，每年的總收入為50萬元，設使用x年后數控機床的盈利額為y萬元.
（1）寫出y與x之間的函數關系式；
（2）從第幾年開始，該機床開始盈利（盈利額為正值）；
(3 ) 使用若干年后，對機床的處理方案有兩種：
(i )當年平均盈利額達到最大值時，以30萬元價格處理該機床；
(ii )當盈利額達到最大值時，以12萬元價格處理該機床，問用哪種方案處理較為合算？請說明你的理由.
講解 本例兼顧應用性和開放性, 是實際工作中經常遇到的問題.
（1）
=
.
（2）解不等式 ＞0,
得 
＜x＜
.
∵ x∈N， ∴ 3 ≤x≤ 17.
故從第3年工廠開始盈利.
（3）(i)
∵ 
≤40
當且僅當
時，即x=7時，等號成立.
∴ 到2008年，年平均盈利額達到最大值，工廠共獲利12×7+30=114萬元.
(ii) 
y=-2x2+40x-98= -2（x-10）2 +102，
當x=10時，ymax=102.
故到2011年，盈利額達到最大值，工廠共獲利102+12=114萬元.
遼寧省大連23中2009年高考數學第二輪復習秘笈3：
代數推理
數學是“教會年輕人思考”的科學, 針對代數推理型問題, 我們不但要尋求它的解法是什么, 還要思考有沒有其它的解法, 更要反思為什么要這樣解, 不這樣解行嗎?我們通過典型的問題, 解析代數推理題的解題思路, 方法和技巧. 在解題思維的過程中, 既重視通性通法的演練, 又注意特殊技巧的作用, 同時將函數與方程, 數形結合, 分類與討論, 等價與化歸等數學思想方法貫穿于整個的解題訓練過程當中.
例1 設函數
，已知
，時恒有
，求a的取值范圍.
講解: 由
,
從而只要求直線L不在半圓C下方時, 直線L 的y截距的最小值.
當直線與半圓相切時，易求得
舍去）.
故
.
本例的求解在于
關鍵在于構造新的函數, 進而通過解幾模型進行推理解題, 當中, 滲透著數形結合的數學思想方法,
顯示了解題思維轉換的靈活性和流暢性.
還須指出的是: 數形結合未必一定要畫出圖形, 但圖形早已在你的心中了, 這也許是解題能力的提升, 還請三思而后行.
例2 已知不等式
對于大于1的正整數n恒成立，試確定a的取值范圍.
講解: 構造函數
，易證(請思考:用什么方法證明呢?)
為增函數.
∵n是大于1的 正整數，
對一切大于1的正整數恒成立，必須
,
即
這里的構造函數和例1屬于同類型, 學習解題就應當在解題活動的過程中不斷的逐類旁通, 舉一反三, 總結一些解題的小結論. 針對恒成立的問題, 函數最值解法似乎是一種非常有效的同法, 請提煉你的小結論.
例3 已知函數
在區間[－b，1－b]上的最大值為25，求b的值.
講解: 由已知二次函數配方, 得 
時，
的最大值為4b2+3=25.
上遞增，
上遞增，
.
關于二次函數問題是歷年高考的熱門話題, 值得讀者在復課時重點強化訓練. 針對拋物線頂點橫坐標
在不在區間[－b，1－b], 自然引出解題形態的三種情況, 這顯示了分類討論的數學思想在解題當中的充分運用. 該分就分, 該合就合, 這種辨證的統一完全依具體的數學問題而定, 需要在解題時靈活把握.
例4已知
的單調區間；
（2）若
講解: （1） 對 已 知 函 數 進 行 降
次 分 項 變 形 , 得
,
（2）首先證明任意
事實上,
而 
.
函 數 與 不 等 式 證 明 的 綜 合 題 在 高 考 中 常 考 常 新
, 是 既 考 知 識 又 考 能 力 的 好 題 型 , 在 高 考
備 考 中 有 較 高 的 訓 練 價 值.. 針對本例的求解, 你能夠想到證明任意采用逆向分析法, 給出你的想法!
例5 已知函數f(x)=
（ａ＞０，ａ≠１）．?
(1) 證明函數f(x)的圖象關于點P(
)對稱．?
(2) 令an＝
，對一切自然數n，先猜想使an＞ｎ２成立的最小自然數a,并證明之．?
(3) 求證：
∈Ｎ).
講解: (1)關于函數的圖象關于定點P對稱, 可采用解幾中的坐標證法.
設M(x,y)是f(x)圖象上任一點，則M關于P()的對稱點為M’（１－ｘ，１－ｙ），?
∴Ｍ′(1-x,1-y)亦在f(x)的圖象上，
故函數f(x)的圖象關于點P()對稱.?
(2)將f(n)、f(1-n)的表達式代入an的表達式，化簡可得an＝ａｎ猜a=3,
即3ｎ＞ｎ２．?
下面用數學歸納法證明．?
設n=k(k≥２)時，3ｋ＞ｋ２．?
那么n=k+1，3ｋ＋１＞３?３ｋ＞３ｋ２?
又3k２－（ｋ＋１）２＝２（ｋ－）２－
≥０（ｋ≥２，ｋ∈Ｎ）?
∴３ｎ＞ｎ２.?
(3)∵３ｋ＞ｋ２?
∴ｋｌｇ３＞２ｌｇｋ?
令k=1,2,…，n，得n個同向不等式，并相加得：
函數與數列綜合型問題在高考中頻頻出現,是歷年高考試題中的一道亮麗的風景線.針對本例,你能夠猜想出最小自然數a=3嗎? 試試你的數學猜想能力.
例6 已知二次函數
，設方程
的兩個實根為x1和x2.
（1）如果
，若函數的對稱軸為x=x0，求證：x0＞－1；
（2）如果
，求b的取值范圍.
講解:（1）設
，由得
, 即
，
故
；
（2）由
同號.
①若
.
又
，負根舍去）代入上式得
，解得
；
②若
即
同理可求得
.
故當
對你而言, 本例解題思維的障礙點在哪里, 找找看, 如何排除? 下一次遇到同類問題, 你會很順利的克服嗎? 我們力求做到學一題會一類, 不斷提高邏輯推理能力.
例7 對于函數，若存在
成立，則稱
的不動點。如果函數
有且只有兩個不動點0，2，且
（1）求函數的解析式；
（2）已知各項不為零的數列
，求數列通項
；
（3）如果數列
滿足
，求證：當
時，恒有
成立.
講解: 依題意有
,化簡為 
由違達定理, 得
解得 
代入表達式
，由
得 
不止有兩個不動點，
（2）由題設得
（*）
且
（**）
由（*）與（**）兩式相減得：
解得
（舍去）或
，由，若
這與
矛盾，
，即{
是以-1為首項，-1為公差的等差數列，
；
（3）采用反證法，假設
則由（1）知
,有
，而當
這與假設矛盾，故假設不成立，
.
關于本例的第(3)題,我們還可給出直接證法,事實上:
由
得
<0或
結論成立；
若
，此時
從而
即數列{}在時單調遞減，由
，可知
上成立.
比較上述兩種證法,你能找出其中的異同嗎? 數學解題后需要進行必要的反思, 學會反思才能長進.
例8
設a，b為常數，
：把平面上任意一點
（a，b）映射為函數
（1）證明：不存在兩個不同點對應于同一個函數；
（2）證明：當
，這里t為常數；
（3）對于屬于M的一個固定值
，得
，在映射F的作用下，M1作為象，求其原象，并說明它是什么圖象.
講解: （1）假設有兩個不同的點（a，b），（c，d）對應同一函數，即
與
相同，
即 
對一切實數x均成立.
特別令x=0，得a=c；令
，得b=d這與（a，b），（c，d）是兩個不同點矛盾，假設不成立
故不存在兩個不同點對應同函數.
（2）當
時，可得常數a0，b0，使
=
由于
為常數，設
是常數.
從而
.
（3）設，由此得
在映射F之下，
的原象是（m，n），則M1的原象是
.
消去t得
，即在映射F之下，M1的原象
是以原點為圓心，
為半徑的圓.
本題將集合, 映射, 函數綜合為一體, 其典型性和新穎性兼顧, 是一道用“活題考死知識”的好題目, 具有很強的訓練價值.
例9 已知函數f(t)滿足對任意實數x、y都有f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1,且f(－2)=－2.
（1）求f(1)的值;
（2）證明：對一切大于1的正整數t，恒有f(t)>t；
（3）試求滿足f(t)=t的整數t的個數，并說明理由.
講解 （1）為求f(1)的值，需令
令
.
令
.
（2）令
(※)
.
由
,
,
于是對于一切大于1的正整數t，恒有f(t)>t.
（3）由※及（1）可知
.
下面證明當整數
.
(※)得
即
……，
將諸不等式相加得
.
綜上，滿足條件的整數只有t=1，
.
本題的求解顯示了對函數方程f(x+y)=f(x)+f(y)+xy+1中的x、y取特殊值的技巧，這種賦值法在2002年全國高考第（21）題中得到了很好的考查.
例10 已知函數f（x）在（－1，1）上有定義，
且滿足x、y∈（－1，1） 有
．
（1）證明：f（x）在（－1，1）上為奇函數；
（2）對數列
求
；
（3）求證
講解 （1）令
則
令
則
為奇函數.
（2）
， 
是以－1為首項，2為公比的等比數列．
（3）
而 
本例將函數、方程、數列、不等式等代數知識集于一題，是考查分析問題和解決問題能力的范例. 在求解當中，化歸出等比（等差）數列是數列問題常用的解題方法.
常州市第二中學高二化學期中質量檢測試卷 08.11
本試卷分第I卷（選擇題）和第Ⅱ卷（非選擇題）兩部分，滿分120分，考試時間100分鐘.
可能用到的相對原子質量：H－
第Ⅰ卷（選擇題 共60分）
請將選擇題的答案填在第Ⅱ卷的表格中.
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