題目列表(包括答案和解析)
(17)(本大題滿分12分)已知
(Ⅰ)求
的值；
(Ⅱ)求
的值。
解：(Ⅰ)由，得
，所以＝
。
(Ⅱ)∵
，∴
。
(18)(本大題滿分12分)在添加劑的搭配使用中，為了找到最佳的搭配方案，需要對各種不同的搭配方式作比較。在試制某種牙膏新品種時，需要選用兩種不同的添加劑。現有芳香度分別為0，1，2，3，4，5的六種添加劑可供選用。根據試驗設計原理，通常首先要隨機選取兩種不同的添加劑進行搭配試驗。
(Ⅰ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4的概率；
(Ⅱ)求所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3的概率；
解：設“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和等于4”的事件為A，“所選用的兩種不同的添加劑的芳香度之和不小于3”的事件為B
(Ⅰ)芳香度之和等于4的取法有2種：
、
，故
。
(Ⅱ)芳香度之和等于1的取法有1種：
；芳香度之和等于2的取法有1種：
，故
。
(19)(本大題滿分12分)如圖，P是邊長為1的正六邊形ABCDEF所在平面外一點，
，P在平面ABC內的射影為BF的中點O。
(Ⅰ)證明
⊥
；
(Ⅱ)求面
與面
所成二面角的大小。
解：(Ⅰ)在正六邊形ABCDEF中，
為等腰三角形，
∵P在平面ABC內的射影為O，∴PO⊥平面ABF，∴AO為PA在平面ABF內的射影；∵O為BF中點，∴AO⊥BF，∴PA⊥BF。
(Ⅱ)∵PO⊥平面ABF，∴平面PBF⊥平面ABC；而O為BF中點，ABCDEF是正六邊形 ，∴A、O、D共線，且直線AD⊥BF，則AD⊥平面PBF；又∵正六邊形ABCDEF的邊長為1，∴
，
，
。
過O在平面POB內作OH⊥PB于H，連AH、DH，則AH⊥PB，DH⊥PB，所以
為所求二面角平面角。
在
中，OH=
，
=
。
在
中，
；
而
(Ⅱ)以O為坐標原點，建立空間直角坐標系，P(0,0，1)，A(0，
,0)，B(
，0,0)，D(0,2，0)，∴
，
，
設平面PAB的法向量為
，則
，
，得
，
；
設平面PDB的法向量為
，則
，
，得
，
；
(20)(本大題滿分12分)設函數
，已知
是奇函數。
(Ⅰ)求
、
的值。
(Ⅱ)求
的單調區間與極值。
證明(Ⅰ)∵
，∴
。從而
＝
是一個奇函數，所以
得
，由奇函數定義得
；
(Ⅱ)由(Ⅰ)知
，從而
，由此可知，
和
是函數是單調遞增區間；
是函數是單調遞減區間；
在
時，取得極大值，極大值為
，在
時，取得極小值，極小值為
。
(21)(本大題滿分12分)在等差數列
中，
，前
項和
滿足條件
，
(Ⅰ)求數列的通項公式；
(Ⅱ)記
，求數列
的前項和
。
解：(Ⅰ)設等差數列的公差為
,由
得：
，所以
，即
，又
＝
，所以
。
(Ⅱ)由
，得
。所以
，
當
時，
；
當
時，
，
即
。
(22)(本大題滿分14分)如圖，F為雙曲線C：
的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于
軸上方，M為左準線上一點，
為坐標原點。已知四邊形
為平行四邊形，
。
(Ⅰ)寫出雙曲線C的離心率
與
的關系式；
(Ⅱ)當
時，經過焦點F且平行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若
，求此時的雙曲線方程。
解：∵四邊形是
，∴
，作雙曲線的右準線交PM于H，則
，又
，
。
(Ⅱ)當時，
，
，
，雙曲線為
，設P
，則
，
，所以直線OP的斜率為
，則直線AB的方程為
，代入到雙曲線方程得：
，
又，由
得：
，解得
，則
，所以
為所求。
(13)設常數
，
展開式中
的系數為
，則
＝_____。
解：
，由
。
(14)在
中，
，M為BC的中點，則
_______。(用
表示)
解：
，
，所以
。
(15)函數
對于任意實數滿足條件
，若
則
__________。
解：由得
，所以
，則
。
(16)平行四邊形的一個頂點A在平面
內，其余頂點在的同側，已知其中有兩個頂點到的距離分別為1和2 ，那么剩下的一個頂點到平面的距離可能是：
①1； ②2； ③3； ④4；
以上結論正確的為______________。(寫出所有正確結論的編號)
解：如圖，B、D到平面的距離為1、2，則D、B的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；
B、C到平面的距離為1、2，D到平面的距離為，則
，即
，所以D到平面的距離為1；
C、D到平面的距離為1、2，同理可得B到平面的距離為1；所以選①③。
(1)設全集
，集合
，
，則
等于( )
A．
B．
C．
D．
解：
，則＝，故選B
(2)不等式
的解集是( )
A．
B．
C． D．
解：由得：
，即
，故選D。
(3)函數
的反函數是( )
A．
B．
C．
D．
解：由
得：
，所以為所求，故選D。
(4)“
”是
“的( )
A．必要不充分條件 B．充分不必要條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
解：條件集是結論集的子集，所以選B。
(5)若拋物線
的焦點與橢圓
的右焦點重合，則
的值為( )
A．
B．
C．
D．
解：橢圓的右焦點為(2,0)，所以拋物線的焦點為(2,0)，則
，故選D。
(6)表面積為
的正八面體的各個頂點都在同一個球面上，則此球的體積為
A．
B．
C．
D．
解：此正八面體是每個面的邊長均為的正三角形，所以由
知，，則此球的直徑為
，故選A。
(7)直線
與圓
沒有公共點，則的取值范圍是
A．
B．
C．
D．
解：由圓的圓心
到直線大于，且，選A。
(8)對于函數
，下列結論正確的是( )
A．有最大值而無最小值 B．有最小值而無最大值
C．有最大值且有最小值 D．既無最大值又無最小值
解：令
，則函數的值域為函數
的值域，而是一個減函減，故選B。
(9)將函數
的圖象按向量
平移，平移后的圖象如圖所示，則平移后的圖象所對應函數的解析式是( )
A．
B．
C．
D．
解：將函數的圖象按向量平移，平移后的圖象所對應的解析式為
，由圖象知，
，所以
，因此選C。
(10)如果實數
滿足條件
，那么
的最大值為( )
A．
B．
C．
D．
解：當直線
過點(0，-1)時，
最大，故選B。
(11)如果
的三個內角的余弦值分別等于
的三個內角的正弦值，則( )
A．和都是銳角三角形 B．和都是鈍角三角形
C．是鈍角三角形，是銳角三角形
D．是銳角三角形，是鈍角三角形
解：的三個內角的余弦值均大于0，則是銳角三角形，若是銳角三角形，由
，得
，那么，
，所以是鈍角三角形。故選D。
(12)在正方體上任選3個頂點連成三角形，則所得的三角形是直角非等腰三角形的概率為( )
A．
B．
C．
D．
解：在正方體上任選3個頂點連成三角形可得
個三角形，要得直角非等腰三角形，則每個頂點上可得三個(即正方體的一邊與過此點的一條面對角線)，共有24個，得
，所以選C。
2006年普通高等學校招生全國統一考試(安徽卷)理科數學
第Ⅱ卷(非選擇題 共90分)
請用0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上書寫作答，在試題卷上書寫作答無效。
15．設F是橢圓
的右焦點，且橢圓上至少有21個不同的點Pi(i=1，2，3，…)，使|FP1|，|FP2|，|FP3|，…組成公差為d的等差數列，則d的取值范圍為
.
14．若
的展開式中的常數項為84，則n=
.
13．同時拋物線兩枚相同的均勻硬幣，隨機變量ξ=1表示結果中有正面向上，ξ=0表示結果中沒有正面向上，則Eξ= .
12．已知向量a=
，向量b=
，則|2a－b|的最大值是
.
11．設
分別是定義在R上的奇函數和偶函數，當
時，
且
則不等式
的解集是________________________.
10．從正方體的八個頂點中任取三個點為頂點作三角形，其中直角三角形的個數為( )
A．56 B．52 C．48 D．40
9．設集合
，那么點P(2，3)
(
)的充要條件是 ( )
A．
B．
C．
D．
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