題目列表(包括答案和解析)
6.
方程
的解是
。
5.
函數
的最大值為
。
4.
設復數
,則
。
3.
函數
的最小正周期是
。
2.
已知集合
,則集合
。
1.
函數
的定義域為
。
22、已知二次函數
同時滿足:①不等式
的解集有且只有一個元素;②在定義域內存在
,使得不等式
成立。
設數列
的前
項和
,
(1)求數列
的通項公式;
(2)試構造一個數列
,(寫出
的一個通項公式)滿足:對任意的正整數
都有
,且
,并說明理由;
(3)設各項均不為零的數列
中,所有滿足
的正整數
的個數稱為這個數列
的變號數。令
(
為正整數),求數列
的變號數。
解:(1)∵
的解集有且只有一個元素,∴
,
當
時,函數
在
上遞增,故不存在
,使得不等式
成立。
當
時,函數
在
上遞減,故存在
,使得不等式
成立。
綜上,得
,
,∴
,∴
(2)要使
,可構造數列
,∵對任意的正整數
都有
,
∴當
時,
恒成立,即
恒成立,即
,
又
,∴
,∴
,等等。
(3)解法一:由題設
,
∵
時,
,∴
時,數列
遞增,
∵
,由
,可知
,即
時,有且只有
個變號數;
又∵
,即
,∴此處變號數有
個。
綜上得 數列
共有
個變號數,即變號數為
。
解法二:由題設
,
時,令
;
又∵
,∴
時也有
。
綜上得 數列
共有
個變號數,即變號數為
。
21、設函數
,函數
,其中
為常數且
,令函數
為函數
和
的積函數。
(1)求函數
的表達式,并求其定義域;
(2)當
時,求函數
的值域;
(3)是否存在自然數
,使得函數
的值域恰為
?若存在,試寫出所有滿足條件的自然數
所構成的集合;若不存在,試說明理由。
解:(1)
,
。
(2)∵
,∴函數
的定義域為
,令
,則
,
,
∴
,
∵
時,
,又
時,
遞減,∴
單調遞增,
∴
,即函數
的值域為
。
(3)假設存在這樣的自然數
滿足條件,令
,則
,
∵
,則
,要滿足值域為
,則要滿足
,
由于當且僅當![]()
時,有
中的等號成立,且此時
恰為最大值,
∴
,
又
在
上是增函數,在
上是減函數,∴![]()
,
綜上,得
。
20、人口問題其實是許多國家的政府都要面對的問題。05年10月24日出版的《環(huán)球時報》就報道了一篇俄羅斯政府目前遭遇“人口危機”的文章。報道中引用了以下來自俄政府公布的數據:
●截至05年6月底,俄羅斯人口為
億,人口密度每平方公里只有
人;
●04年一年俄人口就減少了
萬,05年1月至5月共又減少了
萬;
●據俄聯邦安全會議預測,到2050年,俄將只有約
億人口,比目前銳減
。
試根據以上數據信息回答下列問題:
(1)以04年至05年5月這17個月平均每月人口減少的數據為基礎,假設每月人口減少相同,預測到2050年6月底,俄羅斯的人口約為多少億?(保留三位小數)
(2)按第(1)小題給定的預測方法,到何時俄羅斯的人口密度將低于每平方公里
人?
解:(1)由給出的信息可知,17個月里平均每月人口減少
萬人,
2005年6月底至2050年6月底共經過
個月,若每月人口減少數相同,
則到2050年6月底俄羅斯的人口數約為
萬,即約為
億。
(2)設從05年6月底起,經
個月后俄羅斯的人口密度將低于每平方公里
人,
于是有
,
∴至少要經過
個月,即
年零
個月,也就是到2078年7月底,俄羅斯的人口密度將低于每平方公里
人。
19、求證:不存在虛數
同時滿足:①
;②
(
為實數且
)。
解:假設存在虛數
同時滿足兩個條件,
即
與假設
矛盾,
∴不存在虛數
同時滿足①②兩個條件。
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