中學生世界九年級數學第一學期上滬教版54制
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9. 如圖,平行四邊形ABCD中,E是BC的中點,F是BE的中點,AE與DF交于點H，則AH:HE=___.
答案：4:1
設BC=4k，E是BC中點，BE=2k，F是BE中點，BF=k，AD=4k。
延長DF交AB延長線于G，∵AD//BC，△ADH∽△EFH，$\frac{AH}{HE}=\frac{AD}{EF}=\frac{4k}{k}=4$，AH:HE=4:1。
10. 如圖,在△ABC中,DE//FG//BC.若DE:FG:BC=2:5:9,則AD:DF:FB=___.
答案：2:3:4
設AD=2k，DF=3k，FB=4k，AD:DF:FB=2:3:4（根據相似比平方等于面積比，線段比為相似比，2:5:9對應相似比2:5:9，差為3:4，即AD:DF:FB=2:3:4）。
11. 如圖,已知AD//EF//BC,BE=3,AE=9,FC=2.
(1)求DF的長;
(2)若AD=3,EF=5,試求BC的長.
答案：解：$(1)$∵$AD//EF//BC$
∴$\frac {AE}{BE}=\frac {DF}{CF}$
∵$BE=3，$$AE=9，$$CF=2$
∴$\frac {9}3=\frac {DF}2$
∴$DF=6$
$(2)$過點$D$作直線$DH//AB，$直線$DH$與$BC$交于點$H，$與$EF$交于點$G$
由題意可知，四邊形$ADGE$和四邊形$EGHB$都是平行四邊形
∴$AD=EG=BH=3$
∵$EF=5$
∴$FG=2$
∵$EF//BC$
∴$\frac {FG}{CH}=\frac {DF}{DC}$
∵$DF=6，$$DC=DF+FC=6+2=8$
∴$\frac {FG}{CH}=\frac 3 4$
∴$CH=\frac 43FG=\frac 8 3$
∴$BC=\frac 8 3+3=\frac {17}3$
12. 如圖,在梯形ABCD中,已知AD//BC,中位線EF與對角線BD交于點G.若EG:GF=2:3,且AD=4,求BC的長.
答案：6
設EG=2k，GF=3k，EF=5k，EF是中位線，EF=$\frac{1}{2}$(AD + BC)，AD=4，BC=2EF - AD=10k - 4。
∵AD//EF//BC，G是BD中點，EG=$\frac{1}{2}$AD=2，GF=$\frac{1}{2}$BC，2k=2，k=1，GF=3，BC=6。
思維與拓展5 (梅內勞斯定理)一條直線與三角形ABC的三邊BC、CA、AB(或其延長線)分別交于D、E、F.求證:$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=1$.
答案：證明：過C作CG//AB交DF于G，$\frac{BD}{DC}=\frac{BF}{CG}$，$\frac{CE}{EA}=\frac{CG}{AF}$，$\frac{BD}{DC}\cdot\frac{CE}{EA}\cdot\frac{AF}{FB}=\frac{BF}{CG}\cdot\frac{CG}{AF}\cdot\frac{AF}{FB}=1$。
