中學生世界九年級數學第一學期上滬教版54制
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1、若3a=4b，則$\frac{a-b}{a+b}$的值為（ ）
（A）$\frac{1}{7}$；（B）7；（C）$-\frac{1}{7}$；（D）-7.
答案：A
由3a=4b，設a=4k，b=3k（k≠0），則$\frac{a-b}{a+b}=\frac{4k-3k}{4k+3k}=\frac{k}{7k}=\frac{1}{7}$。
2、已知線段a=3，c=12，則線段a和c的比例中項b等于（ ）
（A）±6；（B）36；（C）6；（D）-6.
答案：C
比例中項性質：$b^2 = a \cdot c = 3×12 = 36$，線段長度為正數，故b=6。
3、若a:b=1:2，b是a，c的比例中項，則下面結論正確的是（ ）
（A）a:c=1:2；（B）a:c=2:1；（C）b:c=1:2；（D）b:c=2:1.
答案：C
由a:b=1:2，設a=k，b=2k，b是a,c比例中項，$b^2 = a \cdot c$，即$(2k)^2 = k \cdot c$，c=4k。a:c=k:4k=1:4，b:c=2k:4k=1:2。
4、如果x是a，b的比例中項，那么$x^2$=______.
答案：ab
比例中項定義：$x^2 = a \cdot b$。
5、（1）如圖，若D是邊BC的中點，則$\frac{S_{\triangle ABD}}{S_{\triangle ACD}}$=______；
（2）如圖，若D是邊BC上一點，且$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，則$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}$=______.
答案：1
D是BC中點，BD=CD，△ABD和△ACD等底同高，面積相等，比值為1。
$\frac{1}{2}$
$\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$，△ACD和△ABC同高，面積比等于底之比，$\frac{S_{\triangle ACD}}{S_{\triangle ABC}}=\frac{CD}{BC}=\frac{1}{2}$。
6、如圖，如果$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{3}{2}$，那么$\frac{BD}{BC}$=______.
答案：$\frac{2}{3}$
△ABC和△ABD同高，面積比等于底之比$\frac{S_{\triangle ABC}}{S_{\triangle ABD}}=\frac{BC}{BD}=\frac{3}{2}$，故$\frac{BD}{BC}=\frac{2}{3}$。
7、如果點P為線段AB的黃金分割點，且AP＞BP，那么將線段AB、AP、BP之間的數量關系寫成形如“$a^2=bc$”的形式是______.
答案：$AP^2 = AB \cdot BP$
黃金分割定義：較長線段的平方等于全長與較短線段乘積，AP＞BP，故$AP^2 = AB \cdot BP$。
8、若點P是線段AB的黃金分割點（AP＞BP），AB=2，則AP=______.
答案：$\sqrt{5}-1$
黃金比$\frac{AP}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，AP=AB×$\frac{\sqrt{5}-1}{2}=2×\frac{\sqrt{5}-1}{2}=\sqrt{5}-1$。
9、若點P是線段AB的黃金分割點，AB=2，則AP=______.
答案：$\sqrt{5}-1$或$3-\sqrt{5}$
當AP＞BP時，AP=$\sqrt{5}-1$；當BP＞AP時，BP=$\sqrt{5}-1$，AP=AB-BP=2-($\sqrt{5}-1$)=3-$\sqrt{5}$。
10、已知點C是線段AB的黃金分割點，AC=5\sqrt{5}-5，且AC＜BC，則線段AB、BC的長分別是______.
答案：$10;15-5\sqrt{5}$
11、已知線段MN的長為1，點P是線段MN的黃金分割點（PM＞PN），則PM-PN的值是______.
答案：$\sqrt{5}-2$
PM=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，PN=1-PM=$\frac{3-\sqrt{5}}{2}$，PM-PN=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}-\frac{3-\sqrt{5}}{2}=\sqrt{5}-2$。
12、已知線段AB=2，C是線段AB上一點，且AC是AB和BC的比例中項，那么AC=______.
答案：$\sqrt{5}-1$
設AC=x，BC=2-x，$x^2 = 2(2 - x)$，$x^2 + 2x - 4 = 0$，解得x=$\sqrt{5}-1$（負值舍去）。
