全品學練考九年級數學蘇科版徐州專版
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13. 已知關于$x$的方程$x^{2}+x + n=0$的兩個實數根分別為-2，$m$，求$m,n$的值.
答案：$m=1$，$n=-2$
解析：由根與系數的關系，得$-2 + m=-1$，$-2m=n$。解得$m=1$，$n=-2×1=-2$。
14. （2024泰州期末）已知關于$x$的一元二次方程$x^{2}+(2k - 1)x + k^{2}+1=0$。
（1）若方程有兩個不相等的實數根，求$k$的取值范圍；
（2）如果方程的兩根之和等于兩根之積，求$k$的值。
答案：（1）$k＜-\frac{3}{4}$；（2）$k=-2$
解析：（1）$\Delta=(2k - 1)^{2}-4×1×(k^{2}+1)=4k^{2}-4k + 1 - 4k^{2}-4=-4k - 3$。因為方程有兩個不相等的實數根，所以$\Delta＞0$，即$-4k - 3＞0$，解得$k＜-\frac{3}{4}$。
（2）由根與系數的關系，得兩根之和為$-(2k - 1)$，兩根之積為$k^{2}+1$。已知兩根之和等于兩根之積，則$-(2k - 1)=k^{2}+1$，即$k^{2}+2k=0$，解得$k=0$或$k=-2$。又因為方程有實數根，所以$k＜-\frac{3}{4}$，故$k=-2$。
15. （2023通遼改編）閱讀材料：已知一元二次方程$x^{2}-x - 1=0$的兩個實數根分別為$m,n$，求$m^{2}n + mn^{2}$的值。
解：∵$m,n$是一元二次方程$x^{2}-x - 1=0$的兩個實數根，∴$m + n=1$，$mn=-1$。則$m^{2}n + mn^{2}=mn(m + n)=-1×1=-1$。
根據上述材料，結合你所學的知識，回答下列問題：
（1）類比：已知一元二次方程$2x^{2}+3x - 1=0$的兩個實數根分別為$m,n$，求$m^{2}+n^{2}$的值；
（2）提升：已知實數$s,t$滿足$2s^{2}+3s - 1=0$，$2t^{2}+3t - 1=0$，且$s≠t$，求$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}$的值。
答案：（1）$\frac{13}{4}$；（2）$\pm\sqrt{17}$
解析：（1）由根與系數的關系，得$m + n=-\frac{3}{2}$，$mn=-\frac{1}{2}$。$m^{2}+n^{2}=(m + n)^{2}-2mn=(-\frac{3}{2})^{2}-2×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4} + 1=\frac{13}{4}$。
（2）因為$s,t$滿足$2s^{2}+3s - 1=0$，$2t^{2}+3t - 1=0$，且$s≠t$，所以$s,t$是方程$2x^{2}+3x - 1=0$的兩個根。則$s + t=-\frac{3}{2}$，$st=-\frac{1}{2}$。$(t - s)^{2}=(s + t)^{2}-4st=(-\frac{3}{2})^{2}-4×(-\frac{1}{2})=\frac{9}{4} + 2=\frac{17}{4}$，所以$t - s=\pm\frac{\sqrt{17}}{2}$。$\frac{1}{s}-\frac{1}{t}=\frac{t - s}{st}=\frac{\pm\frac{\sqrt{17}}{2}}{-\frac{1}{2}}=\mp\sqrt{17}$，即$\pm\sqrt{17}$。
