全品作業本九年級數學蘇科版徐州專版
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10. 已知$a$，$b$，$c$為常數，點$P(a,c)$在第四象限，則關于$x$的一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0$的根的情況為（
B
）
A. 有兩個相等的實數根
B. 有兩個不相等的實數根
C. 沒有實數根
D. 無法判斷
答案：B
解析：點$P(a,c)$在第四象限，$a＞0$，$c＜0$，$\Delta = b^2 - 4ac$，$ac＜0$，$-4ac＞0$，$\Delta＞0$，有兩個不相等的實數根。
11. 已知關于$x$的一元二次方程$(m - 1)x^{2}+2x - 3=0$有實數根，則$m$的取值范圍是（
D
）
A.$m\geq\frac{2}{3}$
B.$m＜\frac{2}{3}$
C.$m＞\frac{2}{3}$且$m\neq1$
D.$m\geq\frac{2}{3}$且$m\neq1$
答案：D
解析：$\Delta = 4 + 12(m - 1)\geq0$且$m - 1\neq0$，$12m - 8\geq0$，$m\geq\frac{2}{3}$且$m\neq1$。
12. （新考法 新定義）（2024常州期中）如果一元二次方程$ax^{2}+bx + c=0(a≠0)$滿足$a + b + c=0$，那么我們稱這個方程為“快樂”方程. 已知$ax^{2}+bx + c=0(a≠0)$是“快樂”方程，且$a = c$，則下列結論正確的是（
B
）
A. 方程有兩個不相等的實數根
B. 方程有兩個相等的實數根
C. 方程沒有實數根
D. 無法確定方程根的情況
答案：B
解析：$a + b + c = 0$且$a = c$，$b = - 2a$，$\Delta = b^2 - 4ac = 4a^2 - 4a^2 = 0$，有兩個相等的實數根。
13. 已知關于$x$的一元二次方程$mx^{2}-2x + n - 3=0$有兩個相等的實數根，則$\frac{1}{m}-n$的值是
-3
.
答案：-3
解析：$\Delta = 4 - 4m(n - 3)=0$，$mn - 3m = 1$，$\frac{1}{m} = n - 3$，$\frac{1}{m}-n=-3$
14. （2023揚州邗江區期末）已知關于$x$的方程$mx^{2}+nx - 2=0(m≠0)$.
(1)若方程有兩個相等的實數根，請求出$m$，$n$的關系；
(2)求證：當$n = m - 2$時，方程總有兩個實數根.
答案：(1)$n^2 + 8m = 0$；(2)$\Delta = (m - 2)^2 + 8m = (m + 2)^2\geq0$，方程總有兩個實數根
解析：(1)$\Delta = n^2 - 4m×(-2)=n^2 + 8m = 0$；(2)$n = m - 2$，$\Delta = (m - 2)^2 + 8m = m^2 + 4m + 4 = (m + 2)^2\geq0$。
15. （2023連云港海州區一模）已知關于$x$的二次方程$x^{2}-(k + 3)x + 2k + 2=0$.
(1)求證：方程總有兩個實數根；
(2)若方程有一個根小于2，求$k$的取值范圍.
答案：(1)$\Delta = (k + 3)^2 - 4(2k + 2)=k^2 - 2k + 1=(k - 1)^2\geq0$；(2)$k＜1$
解析：(1)$\Delta = (k - 1)^2\geq0$；(2)方程因式分解為$(x - 2)(x - (k + 1)) = 0$，根為$x_1 = 2$，$x_2 = k + 1$，$k + 1＜2$，$k＜1$。
16. （2024南充）已知$x_1$，$x_2$是關于$x$的方程$x^{2}-2kx + k^{2}-k + 1=0$的兩個不相等的實數根.
(1)求$k$的取值范圍；
(2)若$k＜5$，且$k$，$x_1$，$x_2$都是整數，求$k$的值.
答案：(1)$k＞1$；(2)$k = 2$或4
解析：(1)$\Delta = 4k^2 - 4(k^2 - k + 1)=4k - 4＞0$，$k＞1$；(2)$x = k\pm\sqrt{k - 1}$，$k - 1$為完全平方數，$k＜5$，$k = 2$或4，$k = 2$時根為1和3；$k = 4$時根為3和5，均為整數。
