組合應用
【復習填空】
1. 試說明排列與組合定義的要點.
2. = = = .
3. 組合數的性質① ；② .
4.①從8名乒乓球選手中選出3名打團體賽，共 有 種不同的選法；
②平面內有12個點，任何3點不在同一條直 線上，以每3點為頂點畫一個三角形，一共可畫出 個；
③10名學生，7人掃地，3人推車，那么不同 的分工方法有 種；
④有10道試題，從中選答8道，共有 種選法、又若其中6道必答，共有 不同的種選法.
【例題與練習】
1.有13個隊參加籃球賽，比賽時先分成兩組，第一組7個隊，第二組6個隊.各組都進行單循環賽（即每隊都要與本組其他各隊比賽一場），然后由各組的前兩名共4個隊進行單循環賽決定冠、亞軍，共需要比賽多少場？
2.某班有54位同學，正、副班長各1名，現選派6名同學參加某科課外小組，在下列各種情況中 ，各有多少種不同的選法？
①無任何限制條件；
②正、副班長必須入選；
③正、副班長只有一人入選；
④正、副班長都不入選；
⑤正、副班長至少有一人入選；
⑥正、副班長至多有一人入選；
小結：至多至少問題常用分類的或排除法.
3.在產品檢驗中，常從產品中抽出一部分進行檢查.現有100件產品，其中3件次品，97件正品.要抽出5件進行檢查，根據下列各種要求，各有多少種不同的抽法？
①無任何限制條件；
②全是正品；
③只有2件正品；
④至少有1件次品；
⑤至多有2件次品；
⑥次品最多.
【課后檢測】
1.9件產品中，有4件一等品，3件二等品，2件三等品，現在要從中抽出4件
產品來檢查，至少有兩件一等品的種數是（ ）
A. B. C. D.
2.從8名男生和6名女生中挑選3人，最多選2名女生的選法種數為（ ）
A.288 B.344 C.364 D.624
3.有4名男生和5名女生，從中選出5位代表：
（1）要求男生2名，女生3名且某女生必須在內的選法有 種；
（2）要求男生不少于2名的選法有 種.
4.從1，2，3，4，5，6，7這七個數字中 ，每次任取兩個，和為偶數的取法有 種.
5.圓上有10個點：
（1）過每2點可畫一條弦，一共可畫多少條弦？
（2）過每3點可畫一個圓內接三角形，一共可畫多少個圓內接三角形？
8.（1）凸五邊形有多少條對角線？
（2）凸n邊形有多少條對角線？
9.某校高中一年級有6個班，高二年級有5個班，高三年級有8個班.各年級分別進行班與班的排球單循環賽，一共需要比賽多少場？
【復習填空】
1.排列與組合的共同點是：
不同點是：
2. = .0！= .
3. = = 、 .
4. 、 、 、 、 .
【例題與練習】
1.求下列各題中的n的值.
(1) ； (2)
小結：①注意約簡，②用排列數和組合數公式將等式轉化為n的一元方程解之.
2.證明下列恒等式
（1）； （2）
小結：組合數的性質：① ②
性質①常用來簡化運算，性質②通常用來證明組合恒等式.
練習：
、若，則x的值是 .
3.求證（1）；（2）
【課后檢測】
1.若，則n等于（ ）
A.8 B.7 C.6 D.4
2.已知m、n、xÎN且，那么m,n間的關系是( )
A.m=n B.m+n=x C.m=n或m+n=x D.m=n或m-n=x
3. =( )
A. B. C. D.
4.已知則m= .
5.根據條件,求x的值.
(1)若,則x= ；(2)若,則x= ；
(3)若,則x= ；(4)若,則x= ；
6.利用組合數的性質進行計算
（1） ；（2） ；
（3） ；（4） .
7.解下列方程或不等式
（1）； *（2）
（3）
【復習】
1.什么叫排列？什么叫排列數？寫出排列數公式，并用階乘表示.
2.指出下列問題是否是排列問題？
（1）在北京、上海、廣州三個民航站之間的直達航線上，有多少種不同的飛機票？有多少種不同的飛機票價？以上兩個問題有何區別？
（2）高中部11個班進行籃球單循環比賽，需要進行多少場比賽？
（3）從全班23人中選出3人分別擔任班長、副班長、學習委員三個職務，有多少種不同的選法？選出三人參加某項勞動，有多少種不同的選法？
（4）10個人互相通信一次，共寫了多少封信？
（5）10個人互通電話一次，共多少個電話？
【組合的概念】
1. 定義：
2. 組合與排列的區別：
3. 相同的組合：
4. 組合數：
5. 組合數公式：
【應用舉例】
1.下面的問題中屬于組合的是（在括號內打√）
（1）集合{0，1，2，3，4}的含兩個元素的子集的個數是多少？…………………（ ）；
（2）五個足球隊進行循環賽，共要比賽多少場？……………………………… （ ）；
（3）從1~9中取2個相加，有多少個不同的和？………………………………… （ ）
如果相減，有多少個不同的差？…………………………………………… （ ）；
（4）由沒有任何三點共線的五個點可以連成多少條線段？……………………… （ ）
如果連成有向線段，共有多少條？………………………………………… （ ）；
（5）某小組有9位同學，從中選出正副班長各一人，有多少種不同的選法？… （ ）
若從中選出2名代表參加一個會議，有多少種不同的選法？………………（ ）
2.列舉從4個不同元素a,b,c,d中取出3個元素的所有的組合和排列.
3.計算（1） （2） （3） （4）
4. P243練習5（1）、（2）、（4）、（6）
【課后檢測】
1.下面幾個說法中 正確的是個數是…………………………………………………（ ）
①組合數就是一個組合中元素的個數；
②兩個組合中的元素完全相同也可能是不同的組合；
③從n個元素中抽取m(mㄑn)個元素的排列，可以看作先從n個元素中抽取m個進行組合，再對m個元素進行全排列.
A.0 B.1 C.2 D.3
2.下面各式中，不正確的是……………………………………………………………（ ）
A.0！=1 B.=n C. D.
3.計算的值是…………………………………………………………………（ ）
A.64 B.80 C.13464 D.40
4.已知a,b,c,d,e五個元素，試寫出每次取出3個元素的所有組合為：
5.求值： ； .
6.判斷下列各命題是排列問題還是組合問題：
(1)從五種不同的水稻良種中，選出3種：
①分別種在土質一樣的三塊田里作試驗，有多少種方法？ 是 問題.
②分別種在土質不同的三塊田里作試驗，有多少種方法？ 是 問題.
(2)從50件不同的產品中抽出5件來檢查，有多少種不同的抽法？ 是 問題.
(3)五個人中互送照片一張，共送了多少張照片？ 是 問題.
(4)平面內有不共線的三點：
①過其中任意兩點作直線，一共可以作多少條直線？ 是 問題.
②以其中一點為端點，并過另一點的射線有多少條？ 是 問題.
(6) ①從5本不同的書中選出2本借給某人，有多少種不同的借法？ 是 問題.
②若從5本不同的書中選出2本分別借給甲、乙兩人，又有多少種不同的借法？
是 問題.
7.用排列數或組合數表示下列問題，并計算出結果.
（1）從3、4、5、7四個數字中每次取出兩個.
①構成多少個不同的分數？ 答案
②可以構成多少個不同的真分數？ 答案
（2）從10名同學在任選出3名同學.
①擔任三種不同的職務，有多少種不同的選法？ 答案
②組成一個代表隊參加數學競賽，有多少種不同的選法？ 答案
（3）從10本不同的書中任選3本.
①個同學每人一本，有多少種不同的借法？ 答案
②借給一個同學，有多少種不同的借法？ 答案
8. 已知點P（4，6），F為拋物線x2=4y的焦點，點M在拋物線上移動，則MP|+|MF|
的最小值為 ，取得最小值時點M的坐標為 .
等可能性事件的概率
1、 盒中有100個鐵釘，其中90個是合格的10個是不合格的，從中任意抽取10個，其中沒有一個是不合格鐵釘的概率是（）
A、0.9 B、
C、0.1 D、
2、 某小組有成員3人，每人在一個星期中參加一天勞動，如果勞動日期可隨機安排，則3人在不同的3天參加勞動的概率為（）
A、
B、
C、
D、
3、 十個人站成一排，其中甲乙丙三人恰巧站在一起的概率為（）
A、
B、
C、
D、
4、 從數字1，2，3，4，5中任取兩個不同的數字構成一個兩位數，則這兩位數大于40的概率是（）
A、1/5 B、2/5 C、3/5 D、4/5
5、200名青年工人，250名大學生，300名青年農民在一起聯歡，如果任意找其中一名青年談話，這個青年是大學生的概率是 。
6、袋中有10個球，其中7個是紅球，3個是白球，從中任意取出3個，則取出的3個都是紅球的概率是 。
7、圓周上有十個等分圓周的點，從這十個點中，任取三點為頂點作一個三角形，則所作的三角形是直角三角形的概率是 。
8、6位同學參加百米賽跑初賽，賽場共有6條跑道，其中甲同學恰好被排在第一道，乙同學恰好被排在第二道的概率為 。
9、從6雙規格相同顏色不同的手套任取4只，其中恰有兩只成雙的概率是多少？
（提示：先取一種顏色，保證兩只成雙，然后再取兩種顏色，從每種顏色中各取一只。）
答案：
10、從1，2，3，4，5五個數字中，任意有放回地連續抽取三個數字，求下列事件的概率
（1） 三個數字完全不同；
（2） 三個數字中不含1和5；
（3） 三個數字中5恰好出現兩次
11、從0，1，2，…，9這十個數字中任取不同的三個數字，求三個數字之和等于10的概率。
12、9國乒乓球隊，內有3個亞洲球隊，抽簽分成三組進行預賽（每組3個隊）試求：
（1） 三個組中各有一個亞洲球隊的概率；
（2） 3個亞洲球隊集中在某一組的概率。
答案：1、D 2、C 3、A 4、B 5、1/3 6、7/24 7、1/3 8、1/30 9、16/33
10、（1）12/25 （2）27/125 （3）12/125
11、1/15 13、（1）9/28 （2）1/28
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相互獨立事件同時發生的概率
----相互獨立事件及其同時發生的概率
山西省平遙中學 常毓喜
【教學目的】
1．了解相互獨立事件的意義，會用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率；
2．通過對概率知識的學習，了解偶然性寓于必然性之中的辨證唯物主義思想；
【教學重點】
用相互獨立事件的概率乘法公式計算一些事件的概率；
【教學難點】
互斥事件與相互獨立事件的區別；
【教學用具】
投影儀、多媒體電腦等。
【教學過程】
相互獨立事件同時發生的概率
例1、 某種零件經過三道工序加工才是成品，第一道工序的合格率是95%，第二道工序的合格率是98%，第三道工序的合格率是99%，假定這三道工序互不影響，那么成品的合格率是多少？（結果精確到0.01）
例2、 某人參加一次考試,若五道題中解對四題為及格，已知他解題的正確率為3/5，試求他能及格的概率？（結果保留四個有效數字）
例3、 設有兩門高射炮，每一門擊中飛機的概率都是0.6，試求：
（１） 同時射擊一發炮彈而命中飛機的概率；
（２） 若又一架敵機侵犯，要以99%的概率擊中它，問需多少門高炮？
隨堂練習：
１、 甲乙兩人下象棋，每下三盤，甲平均能勝三盤，若兩個下五盤棋，甲至少勝三盤的概率是多少？
２、 一批產品有30%的一級品，現進行重復抽樣檢查，共取出5個樣品，試求：
（１） 取出的5個樣品恰有2個一級品的概率；
（２） 取出的5個樣品中至少有2個一級品的概率。
３、 在抗菌素的生產中，需要培養優良的菌株，若一只菌株變成優良菌株的概率是0.05，那么從大批經過誘變處理的菌株中，選擇多少進行培養，才能有95%的把握至少選到一只優良菌株？
4、一個通訊小組有兩套相同的通訊設備，每套設備都由A、B、C三個部件組成，只要其中有一個部件出故障，這套設備就不能正常工作（即不以進行通訊）假定三個部件不出故障的概率分別是：P(A)=0.95 P(B)=0.90 P(C)=0.99求：
（１） 打開一套設備能進行通訊的概率；
（２） 同時打開兩套設備能進行通訊的概率。
例1 P=0.92 例2 P=0.3370 例3 (1)0.84 (2)6
1.64/81 2. (1)0.3087 (2)0.4718 3. 59株 4. (1) 0.84645 (2) 0.9764
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4. 含有條件的排列組合應用題：
例1：某班有男生25人，女生21人，現選男生3人，女生2人分別擔任正、副班長、學委、體委、宣委，問有多少種不同的選舉方法？
上題中，（1）如果由25名男生中選3人擔任班長、學委、體委，女生中選2人擔任副班長、宣委，問有多少種不同的選法？
（2）若25名男生中選3人，21名女生中選2人，分別擔任正、副班長、學委、體委、宣委，若正班長必須由男生擔任，問有多少種不同的選法？
例2：從1到9這9個數字中取5個數字排列，奇數只能排在個位、十位或百位，問這樣的無重復的五位數有多少個？
例3： 4人分住兩個房間，每個房間至少住進1人，求不同的安排方法數？
例4：圓周上有8個點，將圓周等分，那么以其中的3個點為頂點的直角三角形共有 個.
（A）12 （B）16 （C）24 （D）48
課后練習與檢測：
1.①8人站成一排，不同的站法有 種.
（A）10080 （B）13440 （C）20160 （D）40320.
②6人站成一排，甲不站頭，乙不站尾，不同的站法有 種.
（A）504 （B）480 （C）360 （D）240.
③5件不同禮品分送給4人，每人至少一件，而且禮品全部送出，那么送出禮品的方法數是 .
（A）960 （B）480 （C）240 （D）120.
④4個小組，分別從3個風景點中選一處進行觀光旅游，不同的選擇方案的種數是 .
（A） （B） （C）34 （D）43
2.書架上豎排著六本數，現將新購的3本書上架，要求不調亂書架上原有的書，那么不同的上架方式共有多少種？
（選做）3.小李打算從10位朋友中邀請4位去旅游，這10位朋友中，有一對雙胞胎，對這兩位朋友，要么邀請，要么不邀請.求不同的邀請方案的種數.
【概念復習】
1. 排列的定義：
2. 排列數公式：
【應用舉例】
1. 判斷下列問題是否是排列問題：
① 從7名同學中選3人去完成3種不同的工作，每人完成一種，有多少種不同的選派方法…………………………………………………………………………（ ）
② 從7名同學中選3人去某地參加一個會議…………………………………（ ）
③ 設m、n，則可以構成多少個焦點在x軸的橢圓（ ）
④ 從6名同學中選4人，參加4´100m接力賽，有多少種不同的參賽方案……（ ）
小結1：判斷是否是排列問題關鍵在于取出的元素是否與順序有關，若與順序有關則是排列，否則不是.
2. 用0、1、2、3、4、5、6組成滿足下列條件的數各多少個？
① 無重復數字的四位數；
② 無重復數字的四位數偶數；
③ 無重復數字的四位數且能被5整除；
④ 個位數字大于十位數字的四位數.
小結2：解有條件限制的排列問題思路：①正確選擇原理；②處理好特殊元素和特殊位置，先讓特殊元素戰位，或特殊位置選元素；③再考慮其余元素或其余位置；④數字的排列問題，0不能排在首位
3. 三個男生和四個女生安下列條件排成一排有多少種排法？
① 男生排在一起，女生排在一起有；
② 男女生間隔相排；
③ 男生互不相鄰；
④ 甲乙兩人必須相鄰.
小結3：解決相鄰問題通常用捆綁的辦法；不相鄰問題通常用插入的辦法.
【檢測練習】
1.用1、2、3、4、5這5個數字組成沒有重復數字的3位數，其中偶數共有……（ ）
A.24 B.30 C.40 D.60
2.有9個男生，5個女生排成一排，要求女生排在一起(中間不能有男生)，不同的排
有（ ）種………………………………………………………………………………（ ）
A. B. C. D.2
3.用1，2，3，4，5，6，7這7個數字作全排列組成一個七位數，要求在其偶數位上必須是偶數，奇數位上必須是奇數，這樣的七位數共有………………………………（ ）
A. B. C. D.3
4.用0，2，4，6，9五個數字組成無重復數字的五位偶數，共有（ ）個
A. B. C. D.
5.用數字0，1，2，3，4能組成沒有重復數字且比20000大的五位數奇數共有 ( )個
A.36 B.30 C.72 D.18
6.有3位老師和5位學生照相，如果老師不排在最左邊且老師不相鄰，則不同的排法種數是（ ）
A. B. C. D.
7.一臺晚會有6個節目，其中有兩個小品，如果兩個小品不連續演出，共有不同的演出順序 種
8.用0，1，2，3，4，5可以組成多少個無重復數字的五位數？五位奇數？五位偶數？
9.某班一天六節課：語文、英語、數學、物理、體育、自習.按下列要求，分別有多少種排課方法
①第一節不排體育、自習；
②數學不排下午，體育不排在第一、四節.
【幾何復習題】
求雙曲線x2-4y2=-8的焦點、頂點坐標，取值范圍，實軸、虛軸的長，漸近線、準線、共軛雙曲線的方程，離心率，兩準線的距離.
【概念復習】
1. 什么叫排列？從n個不同元素中，任取m()個元素（這里的被取元素各不相同）按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列 .表示為 .
2. 什么叫不同的排列？元素和順序至少有一個不同.
3. 什么叫相同的排列？元素和順序都相同的排列.
4. 從n個不同元素中取出m（）個元素的排列數是 .
5. 什么叫全排列？n個元素的全排列表示為 = ，這是 個連續自然數的積，n個元素的全排列叫做 ，表示為 .
6. 用全排列（或階乘）表示的排列數公式為 .
【例題與練習】
1. 計算：
①= ②= = ④=
⑤= ⑥= =
2. 某段鐵路上有12個車站，共需準備多少種普通客票？
3. 某信號兵用紅、黃、藍三面旗從上到下掛在豎直的旗桿上表示信號，每次可以任掛一面、二面或三面，并且不同的順序表示不同的信號，一共可以表示多少種不同的信號？
小結：解有關排列的應用題時，先將問題歸結為排列問題，然后確定原有元素和取出元素的個數，即n、m的值.
4. 用0到9這十個數字，可以組成沒有重復數字的三位數 個.
5. 用排列數表示下列各式：
① 10´9´8´7´6= ② 24´23´22´…´3´2´1=
③ n?(n-1) ?(n-2) ?(n-3)=
6.①從x個不同元素中任取3個的排列數為720，則x= ；
②，求x的值.
小結：解有關排列數的方程關鍵在于用排列數公式將方程轉化為關于x的一元方程.
【課后檢測】
1.由數字1、2、3、4、5、6可以組成沒有重復數字的五位數 個；
自然數 個；三位數 個.
2.5個人排成一排，共有 種不同的排法.
3.從5個人中任選兩人分別擔任班長和團書記，所有選法的總數為 .
4.求下列各式中的n：
① ② ③
5.求證：① ②
③
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