課堂鞏固練習八年級數學人教版
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24. 認真閱讀下面關于三角形內外角平分線所夾角的探究片段,完成所提出的問題.
(1)如圖1,在△ABC中,O是∠ABC與∠ACB的平分線BO和CO的交點,通過分析發現$∠BOC=90°+\frac {1}{2}∠A,$試說明理由.
答案：∵BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，
∴$∠OBC=\frac {1}{2}∠ABC，$$∠OCB=\frac {1}{2}∠ACB，$
∵∠A+∠ABC+∠ACB=180°，
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A，
∴$∠OBC+∠OCB=\frac {1}{2}(∠ABC+∠ACB)=\frac {1}{2}(180°-∠A)=90°-\frac {1}{2}∠A，$
∵∠BOC+∠OBC+∠OCB=180°，
∴$∠BOC=180°-(∠OBC+∠OCB)=180°-(90°-\frac {1}{2}∠A)=90°+\frac {1}{2}∠A$
(2)如圖2,O?是∠ABC與∠ACB的三等分線BO?和CO?的交點,則∠BO?C與∠A有怎樣的關系?
答案：$∠BO?C=120°+\frac {1}{3}∠A$
∵O?是∠ABC與∠ACB的三等分線交點，
∴$∠O?BC=\frac {2}{3}∠ABC，$$∠O?CB=\frac {2}{3}∠ACB，$
$∠O?BC+∠O?CB=\frac {2}{3}(∠ABC+∠ACB)=\frac {2}{3}(180°-∠A)=120°-\frac {2}{3}∠A，$
$∠BO?C=180°-(∠O?BC+∠O?CB)=180°-(120°-\frac {2}{3}∠A)=60°+\frac {2}{3}∠A（$注：原答案可能存在圖形理解偏差，若O?為靠近BC的三等分點，則$∠O?BC=\frac {1}{3}∠ABC，$$∠O?CB=\frac {1}{3}∠ACB，$此時$∠BO?C=120°+\frac {1}{3}∠A，$此處以常見三等分線夾角結論修正）
(3)如圖3,在四邊形ABCD中,O是∠ABC與∠DCB的平分線BO和CO的交點,則∠BOC與∠A,∠D有怎樣的數量關系?直接寫出結論.
答案：$∠BOC=\frac {1}{2}(∠A+∠D)$
∵四邊形內角和為360°，
∴∠ABC+∠DCB=360°-∠A-∠D，
∵BO、CO分別平分∠ABC、∠DCB，
∴$∠OBC+\angle OCB=\frac{1}{2}(\angle ABC+\angle DCB)=\frac{1}{2}(360^{\circ }-\angle A-\angle D)=180^{\circ }-\frac{1}{2}(\angle A+\angle D)，$
$\therefore \angle BOC=180^{\circ }-(\angle OBC+\angle OCB)=\frac{1}{2}(\angle A+\angle D)$
