人教金學典同步解析與測評八年級數學上冊人教版
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2. 如圖，將一個等邊三角形剪去一個角后，$\angle1 + \angle2 = ( )$.
A. $270^{\circ}$ B. $240^{\circ}$ C. $170^{\circ}$ D. $120^{\circ}$
答案：設等邊三角形的三個內角為$\angle A$、$\angle B$、$\angle C$，則$\angle A=\angle B = \angle C=60^{\circ}$。根據四邊形內角和為$360^{\circ}$，在剪去一個角后的四邊形中，$\angle1 + \angle2+\angle B + \angle C=360^{\circ}$，所以$\angle1 + \angle2=360^{\circ}-(\angle B + \angle C)=360^{\circ}-120^{\circ}=240^{\circ}$，答案選B。
3. 如圖，在等邊三角形$ABC$中，點$D$，$E$分別在邊$AB$，$BC$上，把$\triangle BDE$沿直線$DE$翻折，使點$B$落在點$B'$處，$DB'$，$EB'$分別交邊$AC$于點$F$，$G$。如果測得$\angle GEC = 34^{\circ}$，那么$\angle ADF =$
答案：因為$\triangle ABC$是等邊三角形，所以$\angle B=\angle C = 60^{\circ}$。在$\triangle GEC$中，$\angle EGC=180^{\circ}-\angle C - \angle GEC=180^{\circ}-60^{\circ}-34^{\circ}=86^{\circ}$，則$\angle B'GF = \angle EGC = 86^{\circ}$。在四邊形$BFDG$中，$\angle B'=\angle B = 60^{\circ}$，根據四邊形內角和為$360^{\circ}$，可得$\angle B'DF+\angle B'GF=360^{\circ}-\angle B'-\angle B=360^{\circ}-60^{\circ}-60^{\circ}=240^{\circ}$。又因為$\angle B'DF + \angle ADF = 180^{\circ}$，$\angle B'GF+\angle EGC = 180^{\circ}$，所以$\angle ADF=\angle GEC = 34^{\circ}$。
4. 如圖，在等邊三角形$ABC$中，$\angle ABC$與$\angle ACB$的平分線相交于點$P$，且$PD \parallel AB$，$PE \parallel AC$。
(1) 求證：$\triangle PDE$是等邊三角形.
(2) 線段$BD$，$DE$，$EC$三者之間有什么數量關系？請說明理由.
答案：(1) 因為$\triangle ABC$是等邊三角形，所以$\angle ABC=\angle ACB = 60^{\circ}$。因為$BP$平分$\angle ABC$，$CP$平分$\angle ACB$，所以$\angle PBC=\frac{1}{2}\angle ABC = 30^{\circ}$，$\angle PCB=\frac{1}{2}\angle ACB = 30^{\circ}$。因為$PD\parallel AB$，所以$\angle BPD=\angle ABP = 30^{\circ}$（兩直線平行，內錯角相等），則$\angle DPE=180^{\circ}-\angle BPC=180^{\circ}-(180^{\circ}-30^{\circ}-30^{\circ}) = 60^{\circ}$。同理，因為$PE\parallel AC$，所以$\angle CPE=\angle ACP = 30^{\circ}$，$\angle PDE = \angle ABC = 60^{\circ}$，$\angle PED=\angle ACB = 60^{\circ}$，所以$\triangle PDE$是等邊三角形（三個角都是$60^{\circ}$的三角形是等邊三角形）。
(2) $BD = DE = EC$。理由：因為$PD\parallel AB$，$PE\parallel AC$，所以四邊形$ADPE$是平行四邊形，$\angle BDP=\angle BPD = 30^{\circ}$，$\angle CEP=\angle CPE = 30^{\circ}$，所以$BD = PD$，$EC = PE$，又因為$\triangle PDE$是等邊三角形，所以$PD = DE = PE$，所以$BD = DE = EC$。
5. 如圖，等邊三角形$ABC$的三個頂點都在坐標軸上，$A(-2,0)$，過點$B$作$BD\perp AB$，垂線$BD$交$x$軸于點$D$，則點$D$的坐標為（ ）.
A. $(8,0)$ B. $(6,0)$ C. $(5,0)$ D. $(4,0)$
答案：因為$\triangle ABC$是等邊三角形，$A(-2,0)$，所以$OA = 2$，$AB = AC = BC$，$\angle BAC = 60^{\circ}$。因為$BD\perp AB$，所以$\angle ABD = 90^{\circ}$，則$\angle OBD=\angle ABD - \angle ABO=90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。在$Rt\triangle ABO$中，$AB = 2OA = 4$。在$Rt\triangle ABD$中，$AD = 2AB = 8$，則$OD=AD - OA=8 - 2=6$，所以點$D$的坐標為$(6,0)$，答案選B。
6. 如圖，在$\triangle ABC$中，$AB = BC = AC = 12\text{ cm}$，現有點$P$，$Q$分別從點$A$，$B$同時出發，沿三角形的邊運動，已知點$P$的速度為$1\text{ cm/s}$，點$Q$的速度為$2\text{ cm/s}$。當點$Q$第一次回到點$B$時，$P$，$Q$兩點同時停止運動.
(1) 點$P$，$Q$運動多少秒時，$P$，$Q$兩點重合？
(2) 點$P$，$Q$運動多少秒時，可得到等邊三角形$APQ$？
答案：(1) 設點$P$，$Q$運動$t$秒時，$P$，$Q$兩點重合。點$Q$運動的路程比點$P$運動的路程多$12\text{ cm}$，則$2t-t = 12$，解得$t = 12$，即點$P$，$Q$運動$12$秒時，$P$，$Q$兩點重合。
(2) 設運動$x$秒時，$\triangle APQ$是等邊三角形，則$AP = x\text{ cm}$，$BQ = 2x\text{ cm}$，$AQ=(12 - 2x)\text{ cm}$。因為$\triangle APQ$是等邊三角形，所以$AP = AQ$，即$x = 12 - 2x$，$3x = 12$，解得$x = 4$，所以點$P$，$Q$運動$4$秒時，可得到等邊三角形$APQ$。
