人教金學(xué)典同步解析與測評八年級數(shù)學(xué)上冊人教版
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7. 如圖，在△ABC中，∠BAC>90°，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)E，交AB于點(diǎn)D，AC的垂直平分線交BC于點(diǎn)G，交AC于點(diǎn)F. 當(dāng)△AEG是等腰三角形時(shí)，∠B與∠C不可能有的數(shù)量關(guān)系是（ ）.
A. ∠B + 2∠C = 90°
B. ∠C + 2∠B = 90°
C. ∠B = ∠C
D. 2∠C+\frac{3}{2}∠B = 90°
答案：1. 首先，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)：
- 因?yàn)镈E是AB的垂直平分線，所以AE = BE，則∠B = ∠BAE；因?yàn)镚F是AC的垂直平分線，所以AG = CG，則∠C = ∠CAG。
- 那么∠AEG=∠B + ∠BAE = 2∠B，∠AGE=∠C + ∠CAG = 2∠C，∠EAG=∠BAC-(∠BAE + ∠CAG)=∠BAC-(∠B + ∠C)，又因?yàn)椤螧AC=180°-(∠B + ∠C)，所以∠EAG = 180° - 2(∠B + ∠C)。
2. 然后，分三種情況討論△AEG是等腰三角形：
- **情況一：當(dāng)AE = AG時(shí)**：
- 則∠AEG = ∠AGE，即2∠B = 2∠C，所以∠B = ∠C。
- **情況二：當(dāng)AE = EG時(shí)**：
- 則∠EAG = ∠AGE，即180° - 2(∠B + ∠C)=2∠C，化簡可得：180°=2∠B + 4∠C，即∠B + 2∠C = 90°。
- **情況三：當(dāng)AG = EG時(shí)**：
- 則∠EAG = ∠AEG，即180° - 2(∠B + ∠C)=2∠B，化簡可得：180°=4∠B + 2∠C，即∠C + 2∠B = 90°。
3. 最后，綜上可知2∠C+\frac{3}{2}∠B = 90°不可能成立，答案是D。
8. 如圖，在邊長為4的正方形ABCD中，請畫出以A為一個(gè)頂點(diǎn)，另外兩個(gè)頂點(diǎn)在正方形ABCD的邊上，且一邊長為3的所有大小不同的等腰三角形.（要求：只要畫出示意圖，并在所畫等腰三角形長為3的邊上標(biāo)注數(shù)字3.）
答案：1. 分情況討論：
- **情況一：當(dāng)腰長為3時(shí)**：
- 以A為圓心，3為半徑畫弧，與正方形的邊相交。
- 與AB、AD邊相交時(shí)，可得到等腰三角形AEF（E在AB上，F(xiàn)在AD上，AE = AF = 3）。
- 與AB、BC邊相交時(shí)，設(shè)AE = 3，在AB上取點(diǎn)E，過E作EF⊥AB交BC于F，因?yàn)椤螧 = 90°，AE = 3，利用勾股定理可構(gòu)造等腰三角形AEF（AE = EF = 3）。
- 與AD、CD邊相交時(shí)，設(shè)AG = 3，在AD上取點(diǎn)G，過G作GH⊥AD交CD于H，可構(gòu)造等腰三角形AGH（AG = GH = 3）。
- 示意圖：分別畫出上述三種情況的等腰三角形，并在腰長為3的邊上標(biāo)注3。（這里無法實(shí)際畫圖，你可以根據(jù)描述自行繪制）
9. 如圖，直線a，b相交于點(diǎn)O，∠1 = 48°，A是直線a上的定點(diǎn). 若B是直線b上的動(dòng)點(diǎn)，以點(diǎn)O，A，B為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，求∠OAB的度數(shù).
答案：1. 分三種情況討論：
- **情況一：當(dāng)OA = OB時(shí)**：
- ∠OAB = ∠OBA，因?yàn)椤螦OB = ∠1 = 48°，根據(jù)三角形內(nèi)角和為180°，則∠OAB=\frac{1}{2}(180° - ∠AOB)=\frac{1}{2}(180 - 48)° = 66°。
- **情況二：當(dāng)OA = AB時(shí)**：
- ∠AOB = ∠ABO = 48°，所以∠OAB=180°-2×48° = 84°。
- **情況三：當(dāng)OB = AB時(shí)**：
- ∠OAB = ∠AOB = 48°。
- 綜上，∠OAB的度數(shù)為66°或84°或48°。
1. 如圖，在△ABC中，AB = AC，∠BAC = 120°，D為BC的中點(diǎn)，DE⊥AC，垂足為E，AE = 2，求CE的長.
答案：1. 連接AD：
- 因?yàn)锳B = AC，D為BC的中點(diǎn)，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質(zhì)，AD⊥BC，∠BAD = ∠CAD=\frac{1}{2}∠BAC。
- 已知∠BAC = 120°，所以∠CAD = 60°。
2. 在Rt△ADE中：
- 因?yàn)镈E⊥AC，∠CAD = 60°，所以∠ADE = 30°。
- 在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，已知AE = 2，所以AD = 2AE = 4。
3. 在Rt△ADC中：
- 因?yàn)椤螩AD = 60°，∠C=\frac{1}{2}(180° - ∠BAC)=\frac{1}{2}(180 - 120)° = 30°。
- 同樣根據(jù)在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半，設(shè)CD = x，則AC = 2AD = 8。
- 又因?yàn)锳C = 2AE+CE，AE = 2，AC = 8，所以CE=AC - 2AE=8 - 4 = 6。
