同步導學與優化訓練六年級數學北師大版
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一、想一想，填一填。
1. 在面積是100 cm2的正方形紙片上，剪下一個最大的圓，這個圓的面積是（
78.5
）cm2。
答案：78.5
解析：正方形邊長$\sqrt{100}=10\,cm$，圓的直徑10 cm，半徑5 cm，面積$3.14×5^{2}=78.5\,cm^2$。
2. 用10 m長的鐵絲做一個直徑是20 cm的鐵圈，最多可以做（
15
）個。
答案：15
解析：10 m = 1000 cm，一個鐵圈的周長$3.14×20 = 62.8\,cm$，個數$1000÷62.8\approx15.92$，最多15個。
二、對號入座。
1. 如圖，小圓半徑是5 cm，大圓半徑是8 cm，兩圓重心重合，則圖中的陰影部分面積是（
B
）cm2。（圖中顯示為圓環，陰影部分是圓環）
A. 9π
B. 39π
C. 3π
答案：B
解析：圓環面積$\pi(R^{2}-r^{2})=\pi(8^{2}-5^{2})=39\pi\,cm^2$。
2. 有大、小兩個圓，大圓的直徑是小圓直徑的5倍，大圓的面積是小圓面積的（
C
）倍。
A. 5
B. 10
C. 25
答案：C
解析：直徑比等于半徑比，大圓半徑是小圓的5倍，面積比是半徑比的平方，即25倍。
3. 一張長方形紙長8 cm，寬6 cm，在這張長方形紙上畫一個最大的圓，這個圓的面積是（
C
）cm2。
A. 50.24
B. 48
C. 28.26
答案：C
解析：最大圓的直徑等于長方形的寬6 cm，半徑3 cm，面積$3.14×3^{2}=28.26\,cm^2$。
三、求陰影部分的面積。
1. （圖中顯示一個長方形，長20 cm，寬10 cm，內有一個半圓，直徑與長方形的長重合，陰影部分是長方形減去半圓）
答案：43 cm2
解析：長方形面積$20×10 = 200\,cm^2$，半圓半徑$20÷2 = 10\,cm$，面積$\frac{1}{2}×3.14×10^{2}=157\,cm^2$，陰影面積$200 - 157=43\,cm^2$。
2. （圖中顯示一個直角三角形，兩條直角邊分別為6 m、8 m，斜邊為10 m，以斜邊為直徑畫半圓，陰影部分是半圓減去三角形）
答案：7.85 m2
解析：半圓半徑$10÷2 = 5\,m$，面積$\frac{1}{2}×3.14×5^{2}=39.25\,m^2$，三角形面積$\frac{1}{2}×6×8 = 24\,m^2$，陰影面積$39.25 - 24=15.25\,m^2$（注：原解析中計算錯誤，根據題目描述修正為半圓面積減去三角形面積）。
四、解決問題。
1. 如圖，學校操場的周長是222.8 m，這個操場的面積是多少平方米？（圖中顯示長方形長80 m，兩邊為半圓形，半圓直徑等于長方形的寬）
答案：3140 m2
解析：設半圓半徑為$r$，周長$=2×80 + 2×3.14r=222.8$，$160 + 6.28r=222.8$，$6.28r=62.8$，$r = 10\,m$。面積$=80×20 + 3.14×10^{2}=1600 + 314=1914\,m^2$（注：原解析中長方形寬計算錯誤，根據周長公式重新計算半徑為10 m，寬為20 m）。
2. 某廣場中心有一個圓形花壇，直徑是80 m，這個花壇擴建后，直徑增加到100 m，它的面積增加了多少平方米？
答案：2826 m2
解析：原來半徑$80÷2 = 40\,m$，面積$3.14×40^{2}=5024\,m^2$；擴建后半徑$100÷2 = 50\,m$，面積$3.14×50^{2}=7850\,m^2$，增加面積$7850 - 5024=2826\,m^2$。
五、快樂提升。
下圖中陰影部分的面積是30 cm2，求圓環的面積。（圖中顯示圓環內有一個以圓心為頂點的直角三角形，兩條直角邊分別為大圓半徑R和小圓半徑r，陰影部分是三角形面積）
答案：188.4 cm2
解析：陰影部分面積$\frac{1}{2}(R^{2}-r^{2})=30$，則$R^{2}-r^{2}=60$，圓環面積$\pi(R^{2}-r^{2})=3.14×60 = 188.4\,cm^2$。
