2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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10. 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB = 90°，點G是△ABC的重心，CG = 4，則AB = ______。
答案：12
11. 如圖，△ABC中，點E在AD上，且點E是△ABC的重心，若S_{△ABC}=18，則S_{△DBC}= ______。
答案：6
12. 如圖，在△ABC中，BD平分∠ABC，DE∥AB交BC于點E，若AB = 9，BC = 6，則CE：BC = ______。
答案：2:3
13. 已知在△ABC中，AB = 5，BC = 12，AC = 13，那么△ABC的重心G到邊AC的距離等于 ______。
答案：\frac{20}{13}
14. 如圖，△ABC中，DE∥BC，AE = 3，DE = 4，DF = 2，CF = 5，求EC的長。
答案：設EC = x，因為DE∥BC，所以\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}，AC=AE + EC=3 + x，又因為DF∥AC，所以\frac{DF}{EC}=\frac{BD}{BC}，且\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}，由\frac{AE}{AE + EC}=\frac{DE}{DE + CF + DF}，即\frac{3}{3 + x}=\frac{4}{4 + 5+ 2}，解得x = \frac{21}{4}，所以EC的長為\frac{21}{4}。
15. 已知，△ABC中，∠C = 90°，G是三角形的重心，AB = 8，求：(1) GC的長；(2) 過點G的直線MN∥AB，交AC于點M、交BC于點N，求MN的長。
答案：(1) 因為直角三角形的重心到斜邊中點的距離是斜邊中線長的\frac{1}{3}，直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，AB = 8，則斜邊中線長為4，所以GC = \frac{8}{3}；(2) 因為MN∥AB，所以△CMN∽△CAB，相似比等于重心到頂點的距離與重心到對邊中點距離之比，即\frac{MN}{AB}=\frac{2}{3}，AB = 8，所以MN = \frac{16}{3}。
16. 如圖，延長正方形ABCD的一邊CB至E，ED與AB相交于點F，過點F作FG∥BE交AE于點G，求證：GF = FB。
答案：因為四邊形ABCD是正方形，所以AD∥BC，即AD∥BE，又因為FG∥BE，所以FG∥AD，所以\frac{GF}{AD}=\frac{EF}{ED}，因為AB∥CD，所以\frac{FB}{CD}=\frac{EF}{ED}，又因為AD = CD，所以GF = FB。
