2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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11. 如圖，O是△ABC內任一點，A'、B'、C'分別為OA、OB、OC的中點.△A'B'C'與△ABC相似嗎？為什么？
答案：相似。理由如下：因為A'、B'、C'分別為OA、OB、OC的中點，所以由三角形中位線定理可得：A'B' = $\frac{1}{2}$AB，B'C' = $\frac{1}{2}$BC，A'C' = $\frac{1}{2}$AC，則$\frac{A'B'}{AB}=\frac{B'C'}{BC}=\frac{A'C'}{AC}=\frac{1}{2}$。根據相似三角形判定定理3：三邊對應成比例，兩個三角形相似，所以△A'B'C'∽△ABC。
12. 如圖，△ABC和△DEF在邊長為1的正方形網格中，點A、B、C、D、E、F均在格點上，試證明這兩個三角形相似.
答案：由勾股定理可得：AB = $\sqrt{3^{2}+1^{2}}=\sqrt{10}$，BC = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，AC = $\sqrt{1^{2}+3^{2}}=\sqrt{10}$；DE = $\sqrt{6^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{10}$，EF = $\sqrt{4^{2}+4^{2}} = 4\sqrt{2}$，DF = $\sqrt{2^{2}+6^{2}}=2\sqrt{10}$。則$\frac{AB}{DE}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}$，$\frac{BC}{EF}=\frac{2\sqrt{2}}{4\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$，$\frac{AC}{DF}=\frac{\sqrt{10}}{2\sqrt{10}}=\frac{1}{2}$，即$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$。根據相似三角形判定定理3，可得△ABC∽△DEF。
13. 如圖，在△ABC中，CD = CE，2AD = 3AE，2BD = 3CD，求證：△ABD∽△ACE.
答案：因為2AD = 3AE，所以$\frac{AD}{AE}=\frac{3}{2}$；因為2BD = 3CD，且CD = CE，所以$\frac{BD}{CE}=\frac{3}{2}$，則$\frac{BD}{CE}=\frac{AD}{AE}=\frac{3}{2}$。又因為∠A = ∠A（公共角），根據相似三角形判定定理2：兩邊對應成比例且夾角相等，兩個三角形相似，所以△ABD∽△ACE。
14. 如圖1，在4×4的正方形網格中，△ABC的頂點都在邊長為1的小正方形的格點上.（1）求$\frac{BC}{AC}$的值和∠ACB的度數；（2）請在圖2的兩個3×3的正方形網格中分別畫出與△ABC不全等的△A?B?C?和△A?B?C?，要求所畫的三角形各頂點都在小正方形的格點上，且△A?B?C?∽△A?B?C?∽△ABC，B?C?∶B?C?≠1.
答案：（1）由勾股定理得：BC = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，AC = $\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，所以$\frac{BC}{AC}=1$。AB = $\sqrt{4^{2}} = 4$，因為BC2 + AC2 = (2\sqrt{2})^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=8 + 8 = 16 = AB2，根據勾股定理逆定理可知，∠ACB = 90°。（2）畫圖略（根據相似三角形的性質，按照一定的相似比在3×3正方形網格中畫出符合條件的三角形即可）。
