2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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11. 在$\triangle ABC$中，$AB = 15$，$AC = 13$，$AD\perp BC$于點$D$，$CD = 5$，求$\sin C$、$\cos B$的值。
答案：在$Rt\triangle ADC$中，根據勾股定理$AD = \sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\sqrt{13^{2}-5^{2}} = 12$。
因為$\sin C=\frac{AD}{AC}$，所以$\sin C = \frac{12}{13}$。
在$Rt\triangle ABD$中，$BD=\sqrt{AB^{2}-AD^{2}}=\sqrt{15^{2}-12^{2}} = 9$，
$BC=BD + CD=9 + 5 = 14$，
$\cos B=\frac{BD}{AB}=\frac{9}{15}=\frac{3}{5}$。
12. 如圖，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$CD$、$CH$分別是$AB$邊上的中線和高，$BC = \sqrt{14}$，$\cos\angle ACD=\frac{3}{4}$，求$AB$、$CH$的長。
答案：因為$CD$是$Rt\triangle ABC$斜邊$AB$上的中線，所以$CD = AD = BD=\frac{1}{2}AB$，則$\angle A = \angle ACD$，所以$\cos A=\cos\angle ACD = \frac{3}{4}$。
在$Rt\triangle ABC$中，$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{4}$，設$AC = 3x$，$AB = 4x$，根據勾股定理$BC^{2}+AC^{2}=AB^{2}$，即$(\sqrt{14})^{2}+(3x)^{2}=(4x)^{2}$，
解得$x = \sqrt{2}$，所以$AB = 4x = 4\sqrt{2}$。
根據三角形面積公式$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BC=\frac{1}{2}AB\cdot CH$，
$AC = 3x = 3\sqrt{2}$，則$\frac{1}{2}\times3\sqrt{2}\times\sqrt{14}=\frac{1}{2}\times4\sqrt{2}\cdot CH$，解得$CH = \frac{3\sqrt{14}}{4}$。
13. 如圖，在$Rt\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AB = 10$，$\cos B=\frac{4}{5}$，點$D$是邊$AB$的中點，過點$D$作$CD$的垂線，與邊$BC$相交于點$E$。(1)求線段$CE$的長；(2)求$\sin\angle BDE$的值。
答案：(1)在$Rt\triangle ABC$中，$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，$AB = 10$，所以$BC = 8$，根據勾股定理$AC = \sqrt{AB^{2}-BC^{2}}=\sqrt{10^{2}-8^{2}} = 6$。
因為點$D$是$AB$中點，所以$CD = BD = AD = 5$。
因為$\angle CDE = 90^{\circ}$，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle B = \angle B$，所以$\triangle BCD\sim\triangle BED$。
設$CE=x$，則$BE = 8 - x$，由$\frac{CD}{DE}=\frac{BC}{BD}$，又因為$\triangle CDE\sim\triangle BCD$，根據射影定理$CD^{2}=CE\cdot BC$，即$5^{2}=x\cdot8$，解得$x = \frac{25}{8}$，所以$CE = \frac{25}{8}$。
(2)因為$\triangle BCD\sim\triangle BED$，所以$\angle BDE = \angle BCD$。
在$Rt\triangle ABC$中，點$D$是$AB$中點，$CD = BD = 5$，$BC = 8$，過$D$作$DF\perp BC$于$F$，則$F$為$BC$中點，$BF = 4$，$DF = \sqrt{BD^{2}-BF^{2}}=\sqrt{5^{2}-4^{2}} = 3$。
$\sin\angle BCD=\frac{DF}{CD}=\frac{3}{5}$，所以$\sin\angle BDE=\frac{3}{5}$。
