2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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9. 下一個等腰梯形紙片，如圖所示.若剪去紙片面積是剩下的紙片面積的$\frac{1}{8}$，則剪去等腰三角形紙片的腰長為________.
答案：題目信息不全，無法解答
10. 如圖，已知$\triangle ABC$的兩條中線$AD、BE$相交于點$G$，過點$D$作$AC$的平行線交$BE$于點$F$，若$\triangle DFG$的面積為1，則$\triangle AEG$的面積為________.
答案：4
11. 如圖，在$\triangle ABC$中，$D、F$是$AB$的三等分點，$DE\parallel FG\parallel BC$，若$DE = 2$，則$BC=________.
答案：6
12. 物理課上學過小孔成像的原理，它是一種利用光的直線傳播特性實現圖像投影的方法.如圖，燃燒的蠟燭（豎直放置）$AB$經小孔$O$在屏幕（豎直放置）上成像$A'B'$.設$AB = 36\text{ cm}$，$A'B'=24\text{ cm}$.小孔$O$到$AB$的距離為30 cm，則小孔$O$到$A'B'$的距離為________$\text{cm}". "a":"20
答案：
13. 如圖，四邊形$ABCD$是平行四邊形，$AE\perp BC$于點$E$，$AF\perp DC$于點$F$.當$AB = 2$，$AD = 3$，$BE = 1$時，求$CF$的長.
答案：1. 首先，在$Rt\triangle ABE$中，根據勾股定理：
- 已知$AB = 2$，$BE = 1$，由勾股定理$AE=\sqrt{AB^{2}-BE^{2}}=\sqrt{2^{2}-1^{2}}=\sqrt{3}$.
- 因為四邊形$ABCD$是平行四邊形，所以$\angle B=\angle D$，$AB = CD = 2$，$AD = BC = 3$.
- 又因為$AE\perp BC$，$AF\perp DC$，所以$\triangle ABE\sim\triangle ADF$（兩角分別相等的兩個三角形相似，$\angle AEB=\angle AFD = 90^{\circ}$，$\angle B=\angle D$）.
2. 然后，根據相似三角形的性質：
- 相似三角形對應邊成比例，即$\frac{AB}{AD}=\frac{BE}{DF}$.
- 已知$AB = 2$，$AD = 3$，$BE = 1$，代入可得$\frac{2}{3}=\frac{1}{DF}$，解得$DF = \frac{3}{2}$.
3. 最后，求$CF$的長：
- 因為$CF=CD - DF$，$CD = 2$，$DF=\frac{3}{2}$，所以$CF=2-\frac{3}{2}=\frac{1}{2}$.
14. 如圖，在$\triangle ABC$中，$BA = BC = 20\text{ cm}$，$AC = 30\text{ cm}$，點$P$從點$A$出發，沿著$AB$以每秒4 cm的速度向點$B$運動；同時點$Q$從點$C$出發，沿$CA$以每秒3 cm的速度向點$A$運動，設運動時間為$x\text{ s}$.（1）當$x$為何值時，$PQ\parallel BC$？（2）$\triangle APQ$能否與$\triangle CQB$相似？若能，求出時間$x$的值；若不能，說明理由.
答案：（1）
- 因為$PQ\parallel BC$，所以$\triangle APQ\sim\triangle ABC$.
- 此時$AP = 4x$，$CQ = 3x$，則$AQ=30 - 3x$.
- 由相似三角形對應邊成比例可得$\frac{AP}{AB}=\frac{AQ}{AC}$，即$\frac{4x}{20}=\frac{30 - 3x}{30}$.
- 交叉 - 相乘得：$4x\times30=20\times(30 - 3x)$.
- 展開式子：$120x = 600-60x$.
- 移項得：$120x + 60x=600$，即$180x = 600$，解得$x = \frac{10}{3}$.
（2）能.
- 情況一：若$\triangle APQ\sim\triangle CQB$，則$\frac{AP}{CQ}=\frac{AQ}{CB}$.
- 已知$AP = 4x$，$CQ = 3x$，$AQ = 30 - 3x$，$CB = 20$，代入可得$\frac{4x}{3x}=\frac{30 - 3x}{20}$（$x\neq0$），$\frac{4}{3}=\frac{30 - 3x}{20}$，交叉 - 相乘得$4\times20 = 3\times(30 - 3x)$，$80=90 - 9x$，$9x = 10$，解得$x = \frac{10}{9}$.
- 情況二：若$\triangle APQ\sim\triangle CBQ$，則$\frac{AP}{CB}=\frac{AQ}{CQ}$.
- 把$AP = 4x$，$CQ = 3x$，$AQ = 30 - 3x$，$CB = 20$代入可得$\frac{4x}{20}=\frac{30 - 3x}{3x}$.
- 交叉 - 相乘得：$4x\times3x=20\times(30 - 3x)$.
- 即$12x^{2}=600 - 60x$，$x^{2}+5x - 50 = 0$.
- 對于一元二次方程$ax^{2}+bx + c = 0$（$a = 1$，$b = 5$，$c=-50$），根據求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$，$x=\frac{-5\pm\sqrt{5^{2}-4\times1\times(-50)}}{2\times1}=\frac{-5\pm\sqrt{25 + 200}}{2}=\frac{-5\pm\sqrt{225}}{2}=\frac{-5\pm15}{2}$.
- 解得$x_{1}=5$，$x_{2}=-10$（時間不能為負，舍去）。
- 綜上，當$x = \frac{10}{9}$或$x = 5$時，$\triangle APQ$與$\triangle CQB$相似.
