2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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1. 在Rt△ABC中，∠C = 90°，AC = 3，AB = 5，那么tan A的值是( ).
(A) $\frac{3}{5}$
(B) $\frac{3}{4}$
(C) $\frac{4}{3}$
(D) $\frac{5}{3}$
答案：在Rt△ABC中，∠C = 90°，根據勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{5^{2}-3^{2}} = 4$，則$tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$，答案選C。
2. 在△ABC中，∠C = 90°，AB = 3，AC = 2，則下列結論中正確的是( ).
(A) $tanA=\frac{2}{3}$
(B) $cotA=\frac{2}{3}$
(C) $sinA=\frac{2}{3}$
(D) $cosA=\frac{2}{3}$
答案：在△ABC中，∠C = 90°，根據勾股定理$BC=\sqrt{AB^{2}-AC^{2}}=\sqrt{3^{2}-2^{2}}=\sqrt{5}$。$tanA=\frac{BC}{AC}=\frac{\sqrt{5}}{2}$，$cotA=\frac{AC}{BC}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$，$sinA=\frac{BC}{AB}=\frac{\sqrt{5}}{3}$，$cosA=\frac{AC}{AB}=\frac{2}{3}$，答案選D。
3. 在Rt△ABC中，AD是斜邊BC上的高，如果BC = a，∠B = β，那么AD等于( ).
(A) $a\cdot sin^{2}\beta$
(B) $a\cdot cos^{2}\beta$
(C) $a sin\beta cos\beta$
(D) $a sin\beta tan\beta$
答案：在Rt△ABC中，$AB = BC\cdot cos\beta=a\cdot cos\beta$，在Rt△ABD中，$AD = AB\cdot sin\beta=a\cdot cos\beta\cdot sin\beta$，答案選C。
4. 如圖，在4×4的網格中，點A、B、C都在格點上，那么∠BAC的正切值是( ).
(A) $\frac{\sqrt{5}}{5}$
(B) $\frac{2\sqrt{5}}{5}$
(C) 2
(D) $\frac{1}{2}$
答案：設小正方形邊長為1，過C作CD⊥AB于D，利用勾股定理求出相關線段長度，$AB=\sqrt{1^{2}+2^{2}}=\sqrt{5}$，$AC=\sqrt{2^{2}+2^{2}} = 2\sqrt{2}$，$BC=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}$，根據面積法$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}\times 2\times 2=\frac{1}{2}\times AB\times CD$，可得$CD=\frac{4}{\sqrt{5}}$，$AD=\sqrt{AC^{2}-CD^{2}}=\frac{8}{\sqrt{5}}$，則$tan\angle BAC=\frac{CD}{AD}=\frac{1}{2}$，答案選D。
5. △ABC中，∠BAC = 90°，AD是邊BC上的高，$cot\angle DAC=\frac{2}{3}$。若BD = 4，則AD = ______。
答案：因為∠BAC = 90°，AD是邊BC上的高，所以∠B = ∠DAC，$cot\angle B=cot\angle DAC=\frac{2}{3}$，在Rt△ABD中，$cot\angle B=\frac{BD}{AD}=\frac{2}{3}$，已知BD = 4，則$AD = 6$。
6. 如圖，△ABC中，AB = AC，AB的中垂線DE分別與AB、BC交于點E、D。如果BD = 4，DC = 5，那么∠B的余弦值為______。
答案：連接AD，因為DE是AB的中垂線，所以AD = BD = 4。在△ADC中，$AC=AB=BD + DC=9$，過A作AF⊥BC于F，等腰三角形三線合一，$BF=\frac{BD + DC}{2}=\frac{9}{2}$，在Rt△ABF中，$cosB=\frac{BF}{AB}=\frac{\frac{9}{2}}{9}=\frac{1}{2}$。
7. 在等腰△ABC中，AB = AC，如果AB:BC = 3:2，那么$sin\angle BAC$的值是______。
答案：設$AB = AC = 3x$，$BC = 2x$，過A作AD⊥BC于D，$BD=\frac{BC}{2}=x$，在Rt△ABD中，$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}=\sqrt{(3x)^{2}-x^{2}} = 2\sqrt{2}x$，$sin\angle BAD=\frac{BD}{AB}=\frac{x}{3x}=\frac{1}{3}$，$cos\angle BAD=\frac{AD}{AB}=\frac{2\sqrt{2}x}{3x}=\frac{2\sqrt{2}}{3}$，$sin\angle BAC=2sin\angle BADcos\angle BAD=2\times\frac{1}{3}\times\frac{2\sqrt{2}}{3}=\frac{4\sqrt{2}}{9}$。
8. 如圖，在四邊形ABCD中，AD//BC，過點A作AB的垂線，與邊CD相交于點E，連接BE。如果$tanC=tan\angle AEB = 2$，且$AD=\sqrt{5}$，那么CE的長是______。
答案：過E作EF⊥BC于F，過A作AH⊥BC于H，因為$tanC = 2$，設$EF = 2m$，則$CF = m$，因為$tan\angle AEB = 2$，設$AB = n$，則$AE=\frac{n}{2}$。由AD//BC，AH⊥BC，EF⊥BC，可得四邊形AHFE是矩形，$AH = EF = 2m$，$AD = HF=\sqrt{5}$，又因為$AH = AB = n = 2m$，$AE=\frac{n}{2}=m$，在Rt△AEF中，$AF=\sqrt{AE^{2}+EF^{2}}=\sqrt{m^{2}+(2m)^{2}}=\sqrt{5}m$，因為$AD = HF=\sqrt{5}$，所以$m = 1$，$CE=\sqrt{EF^{2}+CF^{2}}=\sqrt{(2m)^{2}+m^{2}}=\sqrt{5}$。
9. 將平行四邊形ABCD的邊BC沿直線l翻折后，點B、C的對應點$B'$、$C'$落在直線AD上。如果$AB = 2BC$，$\frac{AC'}{C'D}=\frac{AB}{B'D}$，那么此平行四邊形四個內角中，銳角的余弦值為______。
答案：設$BC = x$，則$AB = 2x$，根據折疊性質和已知條件，通過線段關系在相關三角形中求解，可得銳角的余弦值為$\frac{1}{4}$。
10. 已知矩形ABCD($AD>AB$)，點E是AD的中點，將△ABE沿BE翻折，點A的對應點F恰好落在對角線AC上，那么$tan\angle FBC$=______。
答案：設$AB = a$，$AD = b$，根據折疊性質以及矩形性質，通過相似三角形等知識求解，可得$tan\angle FBC=\frac{\sqrt{3}}{3}$。
