2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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一、選擇題
1. 已知$\vec{e}$是一個單位向量，$\vec{a}$、$\vec{b}$是非零向量，那么下列等式中正確的是( ).
(A) $|\vec{a}|\vec{e}=\vec{a}$
(B) $|\vec{b}|\vec{b}=\vec{b}$
(C) $\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}=\vec{e}$
(D) $\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}=\frac{1}{|\vec{b}|}\vec{b}$
答案：1. C。單位向量是指模等于1的向量，對于非零向量$\vec{a}$，$\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$是與$\vec{a}$同向的單位向量，因為$\vec{e}$是單位向量，所以當方向相同時$\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}=\vec{e}$；A選項，$|\vec{a}|\vec{e}$與$\vec{a}$方向不一定相同；B選項，$|\vec{b}|\vec{b}$與$\vec{b}$方向相同但模不同；D選項，$\frac{1}{|\vec{a}|}\vec{a}$與$\frac{1}{|\vec{b}|}\vec{b}$分別是與$\vec{a}$、$\vec{b}$同向的單位向量，$\vec{a}$與$\vec{b}$方向不一定相同。
2. 下列條件中，不能判定$\vec{a}\parallel\vec{b}$的是( ).
(A) $\vec{a}\parallel\vec{c}$，$\vec{b}\parallel\vec{c}$
(B) $\vec{a}= -\vec{c}$，$\vec{b}=2\vec{c}$
(C) $\vec{a}=-2\vec{b}$
(D) $|\vec{a}| = 3|\vec{b}|$
答案：2. D。A選項，平行于同一直線的兩向量平行，所以由$\vec{a}\parallel\vec{c}$，$\vec{b}\parallel\vec{c}$可得$\vec{a}\parallel\vec{b}$；B選項，因為$\vec{a}= -\vec{c}$，$\vec{b}=2\vec{c}$，所以$\vec{a}$與$\vec{b}$都與$\vec{c}$有關，可推出$\vec{a}\parallel\vec{b}$；C選項，$\vec{a}=-2\vec{b}$說明$\vec{a}$與$\vec{b}$是平行向量；D選項，僅$|\vec{a}| = 3|\vec{b}|$只能說明向量模的關系，不能判定方向關系，所以不能判定$\vec{a}\parallel\vec{b}$。
3. 下列說法中正確的是( ).
(A) 如果$\vec{a}$和$\vec{b}$是相反向量，那么$\vec{a}+\vec{b}=0$
(B) 如果$\vec{a}$和$\vec{b}$是平行向量，那么$|\vec{a}|=|\vec{b}|$
(C) 如果$|\vec{a}|=|\vec{b}|$，那么$\vec{a}=\vec{b}$
(D) 如果$\vec{a}=2\vec{b}(\vec{b}$為非零向量$)$，那么$\vec{a}\parallel\vec{b}$
答案：3. D。A選項，相反向量相加是零向量，應是$\vec{a}+\vec{b}=\vec{0}$；B選項，平行向量的模不一定相等；C選項，$|\vec{a}|=|\vec{b}|$只能說明模相等，方向不一定相同，所以$\vec{a}$不一定等于$\vec{b}$；D選項，若$\vec{a}=2\vec{b}(\vec{b}$為非零向量$)$，根據向量共線的判定，可知$\vec{a}\parallel\vec{b}$。
二、填空題
4. 如果$3\vec{a}+2\vec{x}=\vec{b}$，那么$\vec{x}$用$\vec{a}$、$\vec{b}$表示為$\vec{x}=$______。
答案：4. $\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{a}$。由$3\vec{a}+2\vec{x}=\vec{b}$，移項可得$2\vec{x}=\vec{b}-3\vec{a}$，兩邊同時除以2，即$\vec{x}=\frac{1}{2}\vec{b}-\frac{3}{2}\vec{a}$。
5. 任何向量都平行于0向量，這是一個______(填“真命題”或“假命題”)。
答案：5. 真命題。根據向量平行的規定，零向量與任意向量平行。
6. 已知$\vec{b}=k\vec{a}$，如果$|\vec{a}| = 2$，$|\vec{b}| = 6$，那么實數$k =$______。
答案：6. $\pm3$。因為$\vec{b}=k\vec{a}$，所以$|\vec{b}| = |k||\vec{a}|$，已知$|\vec{a}| = 2$，$|\vec{b}| = 6$，則$6 = |k|\times2$，解得$|k| = 3$，所以$k = \pm3$。
7. 如果$\overrightarrow{AB}$與$\vec{a}$是平行向量且長度相同，那么向量$\overrightarrow{AB}=$______(用含$\vec{a}$的式子表示)。
答案：7. $\pm\vec{a}$。平行向量且長度相同，方向可能相同或相反，所以$\overrightarrow{AB}=\pm\vec{a}$。
8. 對于實數$k\neq0$，當非零向量$\vec{b}$與$\vec{a}$反向時，$k|\vec{b}|=|\vec{a}|$，則$\vec{b}=$______。
答案：8. $-\frac{1}{k}\vec{a}$。因為非零向量$\vec{b}$與$\vec{a}$反向，且$k|\vec{b}|=|\vec{a}|$，即$|\vec{b}|=\frac{1}{|k|}|\vec{a}|$，又因為方向相反，所以$\vec{b}=-\frac{1}{k}\vec{a}$。
9. 已知向量$\vec{a}$與單位向量$\vec{e}$方向相同，且$|\vec{a}| = 3$，那么$\vec{a}=$______(用含$\vec{e}$的式子表示)。
答案：9. $3\vec{e}$。單位向量$\vec{e}$的模為1，向量$\vec{a}$與單位向量$\vec{e}$方向相同且$|\vec{a}| = 3$，所以$\vec{a}=3\vec{e}$。
10. 已知$\vec{a}$是一個非零向量，且$\vec{b}=k\vec{a}$，那么向量$\vec{a}$與$\vec{b}$的位置關系是______向或者______向，記作$\vec{b}$______$\vec{a}$。
答案：10. 同；反；$\parallel$。當$k>0$時，$\vec{a}$與$\vec{b}$同向；當$k < 0$時，$\vec{a}$與$\vec{b}$反向，平行向量記作$\vec{b}\parallel\vec{a}$。
11. 已知向量$\vec{a}$與$\vec{b}$是互不平行的非零向量，如果$\vec{n}=2\vec{a}+3\vec{b}$，$\vec{m}= -\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}$，那么向量$\vec{n}$與$\vec{m}$是否平行？答：______。
答案：11. 平行。因為$\vec{m}= -\frac{1}{2}\vec{a}-\frac{1}{3}\vec{b}=-\frac{1}{6}(2\vec{a}+3\vec{b})$，又$\vec{n}=2\vec{a}+3\vec{b}$，所以$\vec{m}=-\frac{1}{6}\vec{n}$，故$\vec{n}$與$\vec{m}$平行。
12. 如果向量$\overrightarrow{AB}$與向量$\overrightarrow{CD}$不重合，且有$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}$，那么線段$AB$與$CD$的位置關系是______，線段$AB$與$CD$的長度關系是______。
答案：12. 平行；$AB = 2CD$。向量$\overrightarrow{AB}=2\overrightarrow{CD}$，說明向量平行，那么對應線段平行，且由向量模的關系可知線段長度關系為$AB = 2CD$。
