2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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11. 如圖，AD是△ABC的中線，AE = EF = FC，BE交AD于點G，則$\frac{BG}{BE}=$_____.
答案：$\frac{2}{3}$
12. 如圖，正方形ABCD和正方形CEFG的邊長分別為3和2，且B、C、E在一條直線上，AE與CF交于點P，則$\frac{CP}{FP}=$_____.
答案：$\frac{3}{2}$
13. 如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，交BD于點G，AE : AB = 1 : 3，設$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$.
(1) 用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$分別表示下列向量：$\overrightarrow{AE}=$_____，$\overrightarrow{EC}=$_____，$\overrightarrow{EG}=$_____；
(2) 在圖中求作向量$\overrightarrow{BG}$分別在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量.
答案：(1) $-\frac{1}{3}\vec{a}$；$\frac{4}{3}\vec{a}+\vec{b}$；$\frac{1}{4}(\frac{4}{3}\vec{a}+\vec{b})$ (2) 略
14. 如圖，已知小明的身高是1.6 m，他在路燈AB下的影子長為2 m，此時小明距路燈燈桿的底部3 m，求燈桿AB的高度.
答案：4 m
15. 已知：如圖，在菱形ABCD中，點E、F分別在邊AB、AD上，BE = DF，CE的延長線交DA的延長線于點G，CF的延長線交BA的延長線于點H.
(1) 求證：△BEC∽△BCH；
(2) 如果$BE^{2}=AB\cdot AE$，求證：AG = DF.
答案：(1) 證明：因為四邊形ABCD是菱形，所以AB = BC = AD，∠B = ∠D，又BE = DF，所以△BEC≌△DFC（SAS），則∠BCE = ∠DCF，因為AD∥BC，所以∠H = ∠DCF，所以∠BCE = ∠H，又∠B = ∠B，所以△BEC∽△BCH.
(2) 證明：因為$BE^{2}=AB\cdot AE$，所以$\frac{BE}{AB}=\frac{AE}{BE}$，又∠B = ∠B，所以△BEC∽△BAE，所以∠BCE = ∠BAE，因為AD∥BC，所以∠BCE = ∠G，所以∠BAE = ∠G，又BE = DF，AB = AD，所以AG = DF.
