2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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9. 如圖，已知點G是等邊△ABC的中心，記向量$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec{b}$，那么向量$\overrightarrow{AG}=$（用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$的形式表示，其中x、y為實數）
答案：因為點G是等邊△ABC的中心，則$\overrightarrow{AG}=\frac{2}{3}\times\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$。
10. 如圖，已知平行四邊形ABCD的對角線AC與BD相交于點O，設$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，那么向量$\overrightarrow{AB}$關于$\vec{a}$、$\vec{b}$的分解式為
答案：因為$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$，已知$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，所以$\overrightarrow{AB}=\vec{b}-\vec{a}$。
11. 如圖，在梯形ABCD中，AD//BC，BC = 2AD，對角線AC、BD相交于點O，設$\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AB}=\vec{b}$。(1) 試用$\vec{a}$、$\vec{b}$的式子表示向量$\overrightarrow{AC}$；(2) 在圖中作出向量$\overrightarrow{DO}$在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量，并寫出結論。
答案：(1) 因為$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$，又BC = 2AD，$\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，所以$\overrightarrow{BC}=2\vec{a}$，則$\overrightarrow{AC}=\vec{b}+2\vec{a}$。
(2) 過點D作DE//AB交BC于點E，因為AD//BC，DE//AB，所以四邊形ABED是平行四邊形，$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{AD}=\vec{a}$，$\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BE}=2\vec{a}-\vec{a}=\vec{a}$。
由于△AOD∽△COB，且$\frac{AD}{BC}=\frac{1}{2}$，所以$\frac{DO}{BO}=\frac{1}{2}$，$\overrightarrow{DO}=\frac{1}{3}\overrightarrow{DB}$，$\overrightarrow{DB}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}=\vec{b}-\vec{a}$，$\overrightarrow{DO}=\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})$，在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量分別為$-\frac{1}{3}\vec{a}$和$\frac{1}{3}\vec{b}$。
12. 如圖，E是平行四邊形ABCD的邊BA延長線上的一點，CE交AD于點F，交BD于點G。(1) 用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$分別表示下列向量：設$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，$\overrightarrow{BF}=$ ；$\overrightarrow{AF}=$ ；$\overrightarrow{CC}=$ ；(2) 但要寫出結論：AF分別在$\vec{a}$、$\vec{b}$方向上的分向量（不寫作法）
答案：(1) 因為四邊形ABCD是平行四邊形，AD//BC，
由△EAF∽△EBC，設$\frac{EA}{EB}=k$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}$，
因為AD//BC，所以$\frac{AF}{BC}=\frac{EA}{EB}$，設$\frac{EA}{EB}=\lambda$（$0<\lambda<1$），則$\overrightarrow{AF}=\lambda\overrightarrow{BC}=\lambda\vec{b}$，$\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AF}=\vec{a}+\lambda\vec{b}$，$\overrightarrow{CC}$表述有誤，應該是$\overrightarrow{CE}$，$\overrightarrow{CE}=\overrightarrow{BE}-\overrightarrow{BC}$，$\overrightarrow{BE}=(1 + \lambda)\overrightarrow{BA}=(1 + \lambda)\vec{a}$，所以$\overrightarrow{CE}=(1 + \lambda)\vec{a}-\vec{b}$。
(2) AF在$\vec{a}$方向上的分向量為$\vec{0}$，在$\vec{b}$方向上的分向量為$\overrightarrow{AF}=\lambda\vec{b}$（$\lambda$為上述相似比）。
13. 如圖，在梯形ABCD中，AB//CD，E是CD的中點，且EC = $\frac{1}{2}$AB，AC與BE相交于點F。(1) 若$\overrightarrow{AB}=\vec{m}$，$\overrightarrow{AD}=\vec{n}$，請用$\vec{m}$、$\vec{n}$來求$\overrightarrow{DC}$、$\overrightarrow{AF}$；(2) 請直接在圖中畫出$\overrightarrow{AC}$在$\vec{m}$、$\vec{n}$方向上的分向量。
答案：(1) 因為E是CD的中點，且EC = $\frac{1}{2}$AB，AB//CD，所以$\overrightarrow{DC}=2\overrightarrow{EC}=\overrightarrow{AB}=\vec{m}$。
因為AB//CD，所以△ABF∽△CEF，且$\frac{AB}{CE}=2$，則$\frac{AF}{FC}=2$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AD}+\overrightarrow{DC}=\vec{n}+\vec{m}$，所以$\overrightarrow{AF}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}=\frac{2}{3}(\vec{m}+\vec{n})$。
(2) 過點C作CM//AD交AB延長線于點M，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{AM}+\overrightarrow{MC}$，在$\vec{m}$方向上的分向量為$\overrightarrow{AM}$（$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$，因為AD//MC，AB//CD，四邊形AMCD是平行四邊形，$\overrightarrow{BM}=\overrightarrow{DC}=\vec{m}$，$\overrightarrow{AM}=2\vec{m}$），在$\vec{n}$方向上的分向量為$\overrightarrow{MC}=\overrightarrow{AD}=\vec{n}$，按照平行四邊形法則畫出即可。
