2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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1. 如果向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{x}$滿足$\vec{x}+\vec{a}=\frac{3}{2}(\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b})$，那么$\vec{x}$用$\vec{a}$、$\vec{b}$表示正確的是( )
(A) $\vec{a}-2\vec{b}$ (B) $\frac{5}{2}\vec{a}-\vec{b}$ (C) $\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b}$ (D) $\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}$
答案：由$\vec{x}+\vec{a}=\frac{3}{2}(\vec{a}-\frac{2}{3}\vec{b})$，展開得$\vec{x}+\vec{a}=\frac{3}{2}\vec{a}-\vec{b}$，移項可得$\vec{x}=\frac{3}{2}\vec{a}-\vec{b}-\vec{a}=\frac{1}{2}\vec{a}-\vec{b}$，答案是D。
2. 如圖，已知平行四邊形$ABCD$的對角線$AC$和$BD$相交于點$O$，設$\overrightarrow{OA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{OB}=\vec{b}$，那么向量$\overrightarrow{OC}$、$\overrightarrow{OD}$、$\overrightarrow{AB}$、$\overrightarrow{BC}$關于$\vec{a}$、$\vec{b}$的分解式中，下列結論正確的是( )
(A) $\overrightarrow{OC}=\vec{a}$ (B) $\overrightarrow{OD}=-\vec{b}$ (C) $\overrightarrow{AB}=\vec{a}-\vec{b}$ (D) $\overrightarrow{BC}=\vec{a}+\vec{b}$
答案：在平行四邊形$ABCD$中，因為平行四邊形對角線互相平分，所以$\overrightarrow{OC}=-\overrightarrow{OA}=-\vec{a}$，$\overrightarrow{OD}=-\overrightarrow{OB}=-\vec{b}$，$\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}=\vec{b}-\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OC}-\overrightarrow{OB}=-\vec{a}-\vec{b}$，答案是B。
3. 下列正確的有( )
① $\vert k\vec{a}\vert = k\vert\vec{a}\vert$；② $\vec{a}_0$為單位向量，則$\vec{b}=\vert\vec{b}\vert\vec{a}_0$；③ 平面內向量$\vec{a}$、$\vec{c}$，總存在實數$m$使得向量$\vec{c}=m\vec{a}$；④ 若$\vec{a}=\vec{m}+\vec{n}$，$\vec{m}\parallel\vec{a}_1$，$\vec{n}\parallel\vec{a}_2$，則$\vec{m}$、$\vec{n}$就是$\vec{a}$在$\vec{a}_1$、$\vec{a}_2$方向上的分向量.
(A) 0個 (B) 1個 (C) 2個 (D) 3個
答案：①當$k < 0$時，$\vert k\vec{a}\vert=-k\vert\vec{a}\vert$，所以①錯誤；②只有當$\vec{b}$與$\vec{a}_0$同向時，$\vec{b}=\vert\vec{b}\vert\vec{a}_0$，所以②錯誤；③當$\vec{a}=\vec{0}$，$\vec{c}\neq\vec{0}$時，不存在實數$m$使得$\vec{c}=m\vec{a}$，所以③錯誤；④只有當$\vec{a}_1$，$\vec{a}_2$不共線時，$\vec{m}$、$\vec{n}$才是$\vec{a}$在$\vec{a}_1$、$\vec{a}_2$方向上的分向量，所以④錯誤。正確的個數是0個，答案是A。
4. 已知向量$\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{x}$滿足$3(\vec{a}-\vec{x}) = 2(\vec{b}-\vec{x})$，試用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$表示向量$\vec{x}$，那么$\vec{x}=$______。
答案：由$3(\vec{a}-\vec{x}) = 2(\vec{b}-\vec{x})$，展開得$3\vec{a}-3\vec{x}=2\vec{b}-2\vec{x}$，移項可得$-3\vec{x}+2\vec{x}=2\vec{b}-3\vec{a}$，即$\vec{x}=3\vec{a}-2\vec{b}$。
5. 如圖，在$\triangle ABC$中，$D$是邊$BC$的中點，$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{AC}=\vec{b}$，用向量$\vec{a}$、$\vec{b}$表示向量$\overrightarrow{AD}=$______。
答案：因為$D$是$BC$中點，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC})=\frac{1}{2}\vec{a}+\frac{1}{2}\vec{b}$。
6. 如圖，已知平行四邊形$ABCD$中，點$E$是邊$BC$的中點，$DE$與$AC$相交于點$F$，設$\overrightarrow{AB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，那么$\overrightarrow{FD}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的分向量是______，在$\overrightarrow{BC}$方向上的分向量是______（分別用含$\vec{a}$、$\vec{b}$的式子表示）。
答案：因為四邊形$ABCD$是平行四邊形，$\triangle ADF\sim\triangle CEF$，且$CE=\frac{1}{2}BC$，所以$\frac{AF}{FC}=\frac{AD}{CE}=2$，則$\overrightarrow{CF}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CA}$。$\overrightarrow{CA}=\overrightarrow{CB}+\overrightarrow{BA}=-\vec{b}-\vec{a}$，$\overrightarrow{CF}=-\frac{1}{3}\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{a}$，$\overrightarrow{FD}=\overrightarrow{CD}-\overrightarrow{CF}=-\vec{a}-(-\frac{1}{3}\vec{b}-\frac{1}{3}\vec{a})=-\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$。所以$\overrightarrow{FD}$在$\overrightarrow{AB}$方向上的分向量是$-\frac{2}{3}\vec{a}$，在$\overrightarrow{BC}$方向上的分向量是$\frac{1}{3}\vec{b}$。
5. 如圖，在$\triangle ABC$中，點$D$是邊$AC$上一點，且$CD = 2AD$，設$\overrightarrow{BA}=\vec{a}$，$\overrightarrow{BC}=\vec{b}$，那么向量$\overrightarrow{BD}=$______（用$x\vec{a}+y\vec{b}$的形式表示，其中$x$、$y$為實數）。
答案：因為$CD = 2AD$，所以$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{AC}=\overrightarrow{BC}-\overrightarrow{BA}=\vec{b}-\vec{a}$，則$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})$，$\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AD}=\vec{a}+\frac{1}{3}(\vec{b}-\vec{a})=\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{1}{3}\vec{b}$。
8. 如圖，已知點$G$為$\triangle ABC$的重心，過點$G$作$BC$的平行線交$AB$和$AC$于點$D$、$E$，設$\overrightarrow{GB}=\vec{a}$，$\overrightarrow{GC}=\vec{b}$，用$x\vec{a}+y\vec{b}$（$x$、$y$為實數）的形式表示向量$\overrightarrow{DE}=$______。
答案：因為點$G$為$\triangle ABC$的重心，$DE\parallel BC$，所以$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{3}$。$\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{GC}-\overrightarrow{GB}=\vec{b}-\vec{a}$，則$\overrightarrow{DE}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BC}=\frac{2}{3}(\vec{b}-\vec{a})=-\frac{2}{3}\vec{a}+\frac{2}{3}\vec{b}$。
