2025年中學生數學課時精練九年級數學第一學期
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1. 已知點$C$是線段$AB$的黃金分割點$(AC > BC)$，則下列結論中正確的是（ ）
(A)$AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}$
(B)$BC^{2}=AC\cdot BA$
(C)$AC^{2}=AB\cdot BC$
(D)$AC = 2BC$
答案：C
2. 已知點$C$是線段$AB$的黃金分割點$(AC > BC)$，則下列結論中錯誤的是（ ）
(A)$\frac{BC}{AC}=\frac{AC}{AB}$
(B)$BC^{2}=AB\cdot AC$
(C)$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
(D)$\frac{BC}{AB}\approx0.618$
答案：B
3. 已知點$P$是線段$AB$的黃金分割點$(AP > PB)$，$AB = 8$，那么$AP$的長是（ ）
(A)$4-\sqrt{5}$
(B)$\sqrt{5}-4$
(C)$4\sqrt{5}-4$
(D)$2\sqrt{5}-1$
答案：C
4. 已知線段$AB$的長度為$2$，點$C$是線段$AB$的黃金分割點，則$AC$的長度為（ ）
(A)$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
(B)$\frac{3 - \sqrt{5}}{2}$
(C)$\sqrt{5}-1$或$3 - \sqrt{5}$
(D)$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$或$\sqrt{5}-1$
答案：C
5. 已知點$P$是線段$AB$的一個黃金分割點，且$AP > PB$，則$AP:AB$的比值為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
答案：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$
6. 已知線段$AP$的長度為$4$，點$P$是$AB$的黃金分割點，$PA > PB$，線段$AB$的長為$2\sqrt{5}+2$。
答案：$2\sqrt{5}+2$
7. 已知點$P$是線段$AB$的一個黃金分割點，且$AB = 4\mathrm{cm}$，$AP < BP$，那么$BP=(2\sqrt{5}-2)\mathrm{cm}$。
答案：$2\sqrt{5}-2$
8. 點$P$是線段$AB$上的一點，如果$AP^{2}=BP\cdot AB$，$BP=\sqrt{5}-1$，那么$AP = \frac{\sqrt{5}+1}{2}$。
答案：$\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
9. 教科書的寬與長之比為黃金比，若教科書的長為$m\mathrm{cm}$，則寬為$\frac{\sqrt{5}-1}{2}m\mathrm{cm}$（用含$m$的代數式表示）。
答案：$\frac{\sqrt{5}-1}{2}m$
10. 已知點$C$是線段$AB$的黃金分割點，若$AB = 8$，則線段$AC$的長為$4\sqrt{5}-4$。
答案：$4\sqrt{5}-4$
11. 古箏是一種古老的民族樂器.若古箏上有一根弦$AB = 90\mathrm{cm}$，支撐點$C$是靠近點$A$的一個黃金分割點，則$BC=(135 - 45\sqrt{5})\mathrm{cm}$（保留根號）。
答案：$135 - 45\sqrt{5}$
12. 相鄰兩邊長的比值是黃金分割數的矩形，叫做黃金矩形，從外形看，它最具美感.現在想要制作一張“黃金矩形”的賀年卡，如果較長的一條邊長等于$20\mathrm{cm}$，那么相鄰一條邊的邊長等于$(10\sqrt{5}-10)\mathrm{cm}$。
答案：$10\sqrt{5}-10$
13.（1）已知$a = 4.5$，$b = 2$，$c$是$a$、$b$的比例中項，求$c$的值；
（2）已知$C$是$AB$的黃金分割點，且$AC > BC$，$AB = 4$，求$AC$的長。
答案：（1）因為$c$是$a$、$b$的比例中項，所以$c^{2}=ab = 4.5\times2 = 9$，則$c=\pm3$；（2）因為$C$是$AB$的黃金分割點且$AC > BC$，所以$\frac{AC}{AB}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，又$AB = 4$，則$AC = 2\sqrt{5}-2$。
