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2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數學必修第一冊人教版
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【例1】下列各題中，$ p $是$ q $的什么條件？（請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分也不必要條件”回答）
(1)$ p:x = 1 $，$ q:x - 1 = \sqrt{x - 1} $；
(2)$ p:m ＞ 0 $，$ q:$關于$ x $的方程$ x^2 + x - m = 0 $有實根；
(3)$ p:x \geq 2 $，$ q:x ＞ 3 $；
(4)$ p:$四邊形的對角線相等，$ q:$四邊形是平行四邊形。
答案：(1)充分不必要條件
(2)充分不必要條件
(3)必要不充分條件
(4)既不充分也不必要條件
解析：
(1)$ q $：$ x - 1 = \sqrt{x - 1} \Rightarrow x = 1 $或$ x = 2 $，$ p \Rightarrow q $，$ q \nRightarrow p $。
(2)$ q $：$\Delta = 1 + 4m \geq 0 \Rightarrow m \geq -\frac{1}{4}$，$ p \Rightarrow q $，$ q \nRightarrow p $。
(3)$ q \Rightarrow p $，$ p \nRightarrow q $。
(4)對角線相等的四邊形不一定是平行四邊形，平行四邊形對角線不一定相等。
【過程評價】
1.若集合$ A $為數集，則“$ A\cap \{0,1\} = \{0\} $”是“$ A = \{0\} $”的
必要不充分
條件。
答案：必要不充分
解析：$ A\cap \{0,1\} = \{0\} \Rightarrow A $可能為$\{0,2\}$等，$ A = \{0\} \Rightarrow A\cap \{0,1\} = \{0\} $。
2.下列各題中，$ p $是$ q $的什么條件？（請用“充分不必要條件”“必要不充分條件”“既不充分也不必要條件”回答）
(1)已知$ a\in \mathbf{R} $，$ p:a ＜ 1 $，$ q:\frac{1}{a} ＞ 1 $；
(2)設$ x\in \mathbf{R} $，$ p:x ＞ 0 $，$ q:x ＞ 0 $或$ x ＜ -1 $。
答案：(1)必要不充分條件
(2)充分不必要條件
解析：
(1)$ q: \frac{1}{a} > 1 \Rightarrow 0 < a < 1 $，$ q \Rightarrow p $，$ p \nRightarrow q $，故$ p $是$ q $的必要不充分條件。
(2)$ p \Rightarrow q $，$ q \nRightarrow p $。
