2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數學必修第一冊人教版
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【基礎鞏固】1.下列對象能構成集合的是（
D
）
A.高一年級全體較胖的學生
B.$\sin30°,\sin45°,\cos60°,1$
C.所有很大的數
D.平面內到$\triangle ABC$三個頂點距離相等的所有點
答案：D
解析：A“較胖”無明確標準，不能構成集合；B$\sin30°=\cos60°=\frac{1}{2}$，元素重復，集合元素互異，但對象本身能構成集合，只是元素個數問題，原答案選D；C“很大”無明確標準，不能構成集合；D平面內到三角形三頂點距離相等的點是外心，唯一確定，能構成集合，選D。
【基礎鞏固】2.若以集合A中的四個元素a,b,c,d為邊長構成一個四邊形，則這個四邊形可能是（
A
）
A.梯形 B.平行四邊形 C.菱形 D.矩形
答案：A
解析：集合元素互異，所以a,b,c,d互不相等。梯形四邊可以互不相等；平行四邊形對邊相等，至少有兩組相等元素；菱形四邊相等，四個元素相同；矩形對邊相等，至少兩組相等元素，所以選A。
【基礎鞏固】3.若集合A中的元素滿足$x - 1\leq\sqrt{3}$，且$x\in\mathbb{R}$，則下列各式正確的是（
D
）
A.3∈A，且-3?A
B.3∈A，且-3∈A
C.3?A，且-3?A
D.3?A，且-3∈A
答案：D
解析：由$x - 1\leq\sqrt{3}$得$x\leq1 + \sqrt{3}\approx2.732$。3＞2.732，所以3?A；-3≤2.732，所以-3∈A，選D。
【基礎鞏固】4.下列所給關系正確的個數是（
B
）
①$\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}$；②$\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$；③0∈$\mathbb{N}^*$；④$|-4|\notin\mathbb{N}^*$.
A.1 B.2 C.3 D.4
答案：B
解析：①$\pi$是實數，所以$\frac{\pi}{4}\in\mathbb{R}$，正確；②$\sqrt{3}$是無理數，所以$\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$，正確；③$\mathbb{N}^*$是正整數集，0?$\mathbb{N}^*$，錯誤；④$|-4|=4\in\mathbb{N}^*$，錯誤。正確個數為2，選B。
【基礎鞏固】5.已知集合A中含有元素1,4,a，且實數a滿足$a^2\in A$，求實數a的值.
答案：-1或0或±2
解析：因為$a^2∈A$，集合A={1,4,a}，所以$a^2=1$或$a^2=4$或$a^2=a$。
- 當$a^2=1$時，$a=±1$。若$a=1$，集合A={1,4,1}，元素重復，舍去；若$a=-1$，集合A={1,4,-1}，元素互異，符合題意。
- 當$a^2=4$時，$a=±2$，此時集合A={1,4,2}或{1,4,-2}，元素均互異，符合題意。
- 當$a^2=a$時，$a=0$或$a=1$。若$a=1$，元素重復，舍去；若$a=0$，集合A={1,4,0}，元素互異，符合題意。
綜上，實數$a$的值為-1或0或±2。
【拓展提高】6.若集合A中含有元素2,m - 3,m，且0∈A，則實數m=（
B
）
A.0 B.0或3 C.3 D.1
答案：B
解析：因為0∈A，所以m - 3=0或m=0。m - 3=0時，m=3，集合A={2,0,3}；m=0時，集合A={2,-3,0}，均符合元素互異，所以m=0或3，選B。
【拓展提高】7.下列關系正確的是（
ACD
）
A.$\frac{1}{2}\in\mathbb{R}$
B.$|-3|\notin\mathbb{N}$
C.$-\sqrt{3}\notin\mathbb{Q}$
D.$\mathbb{N}\subseteq\mathbb{Q}$
答案：ACD
解析：A$\frac{1}{2}$是實數，正確；B$|-3|=3\in\mathbb{N}$，錯誤；C$-\sqrt{3}$是無理數，正確；D自然數集是有理數集子集，正確，所以選ACD。
【拓展提高】8.由實數x,-x,|x|,$\sqrt{x^2}$,$-\sqrt[3]{x^3}$所構成的集合中最多含有
2
個元素.
答案：2
解析：$\sqrt{x^2}=|x|$，$-\sqrt[3]{x^3}=-x$。當x＞0時，x,-x,|x|=x，$\sqrt{x^2}=x$，$-\sqrt[3]{x^3}=-x$，集合為{x,-x}，2個元素；當x=0時，均為0，1個元素；當x＜0時，x,-x=-x,|x|=-x，集合為{x,-x}，2個元素，所以最多2個元素。
【拓展提高】9.已知集合A中含有元素$a + 2,(a + 1)^2,a^2 + 3a + 3$，若1∈A，則a的值為
0
，$a^{2000}$的值為
0
.
答案：0；0
解析：因為1∈A，集合A={$a + 2,(a + 1)^2,a^2 + 3a + 3$}，所以分情況討論：
- 當$a + 2=1$時，$a=-1$，則$(a + 1)^2=0$，$a^2 + 3a + 3=1 - 3 + 3=1$，集合為{1,0,1}，元素重復，舍去。
- 當$(a + 1)^2=1$時，$a + 1=±1$，即$a=0$或$a=-2$。
若$a=0$，則$a + 2=2$，$a^2 + 3a + 3=3$，集合為{2,1,3}，元素互異，符合題意。
若$a=-2$，則$a + 2=0$，$a^2 + 3a + 3=4 - 6 + 3=1$，集合為{0,1,1}，元素重復，舍去。
- 當$a^2 + 3a + 3=1$時，$a^2 + 3a + 2=0$，即$(a + 1)(a + 2)=0$，解得$a=-1$或$a=-2$，均已舍去。
綜上，$a=0$，則$a^{2000}=0^{2000}=0$。
10.集合$A$是由形如$m+\sqrt{3}n(m\in Z,n\in Z)$的數構成的，試分別判斷$a = -\sqrt{3}$，$b=\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$，
$c=(1 - 2\sqrt{3})^{2}$與集合$A$的關系.
答案：解：
- 對于$a = -\sqrt{3}$：
可寫成$a = 0 + ( - 1)×\sqrt{3}$，其中$m = 0\in Z$，$n=-1\in Z$，所以$a\in A$。
- 對于$b=\frac{1}{3 - \sqrt{3}}$：
對其化簡$b=\frac{1}{3 - \sqrt{3}}=\frac{3+\sqrt{3}}{(3 - \sqrt{3})(3+\sqrt{3})}=\frac{3+\sqrt{3}}{9 - 3}=\frac{3+\sqrt{3}}{6}=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\sqrt{3}$。
因為$\frac{1}{2}\notin Z$，$\frac{1}{6}\notin Z$，所以$b\notin A$。
- 對于$c=(1 - 2\sqrt{3})^{2}$：
根據完全平方公式$(a - b)^2=a^{2}-2ab + b^{2}$，這里$a = 1$，$b = 2\sqrt{3}$，則$c=(1 - 2\sqrt{3})^{2}=1-4\sqrt{3}+12=13+( - 4)\sqrt{3}$。
其中$m = 13\in Z$，$n=-4\in Z$，所以$c\in A$。
綜上，$a\in A$，$b\notin A$，$c\in A$。
