答案：1. 首先，根據(jù)面積公式列出方程：
已知框架下部是矩形（面積為$xy$），上部是等腰直角三角形（面積為$\frac{1}{2}x\cdot\frac{x}{2}=\frac{x^{2}}{4}$），且總面積$S = xy+\frac{x^{2}}{4}=8$。
由此可得$y=\frac{8 - \frac{x^{2}}{4}}{x}=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}(0\lt x\lt4\sqrt{2})$。
2. 然后，計算框架用料總長度$L$的表達式：
框架用料總長度$L = 2x + 2y+2×\frac{\sqrt{2}x}{2}$。
將$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$代入上式得：
$L = 2x + 2(\frac{8}{x}-\frac{x}{4})+\sqrt{2}x$。
展開式子：$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}$。
3. 接著，利用基本不等式求$L$的最小值：
根據(jù)基本不等式$a + b\geq2\sqrt{ab}$（$a\gt0,b\gt0$，當且僅當$a = b$時等號成立），對于$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}$，這里$a=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x$，$b = \frac{16}{x}$。
則$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}\geq2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}$。
先計算$2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}$：
$2\sqrt{16(\frac{3}{2}+\sqrt{2})}=2×4\sqrt{\frac{3 + 2\sqrt{2}}{2}}=8\sqrt{\frac{(\sqrt{2}+1)^{2}}{2}}=8(\sqrt{2}+1)$。
當且僅當$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$時取等號。
解方程$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$：
即$x^{2}=\frac{16}{\frac{3}{2}+\sqrt{2}}=\frac{16( \frac{3}{2}-\sqrt{2})}{(\frac{3}{2}+\sqrt{2})(\frac{3}{2}-\sqrt{2})}$。
因為$(a + b)(a - b)=a^{2}-b^{2}$，所以$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})(\frac{3}{2}-\sqrt{2})=\frac{9}{4}-2=\frac{1}{4}$。
則$x^{2}=16×2( \frac{3}{2}-\sqrt{2}) = 16(3 - 2\sqrt{2})=(4\sqrt{2}-4)^{2}$，又$x\gt0$，所以$x = 4\sqrt{2}-4$。
當$x = 4\sqrt{2}-4$時，$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$，把$x = 4\sqrt{2}-4$代入$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$：
$y=\frac{8}{4\sqrt{2}-4}-\frac{4\sqrt{2}-4}{4}$。
對$\frac{8}{4\sqrt{2}-4}$分母有理化，$\frac{8}{4\sqrt{2}-4}=\frac{8(4\sqrt{2}+4)}{(4\sqrt{2}-4)(4\sqrt{2}+4)}=\frac{8(4\sqrt{2}+4)}{32 - 16}=\frac{8(4\sqrt{2}+4)}{16}=2\sqrt{2}+2$，$\frac{4\sqrt{2}-4}{4}=\sqrt{2}-1$。
所以$y = 2\sqrt{2}+2-(\sqrt{2}-1)=\sqrt{2}+3$。
解：設(shè)框架用料總長度為$L$。
由$xy+\frac{1}{2}x\cdot\frac{x}{2}=8$，得$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}(0\lt x\lt4\sqrt{2})$。
$L = 2x + 2y+\sqrt{2}x=2x + 2(\frac{8}{x}-\frac{x}{4})+\sqrt{2}x=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}$。
根據(jù)基本不等式$a + b\geq2\sqrt{ab}(a\gt0,b\gt0)$，這里$a=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x$，$b=\frac{16}{x}$，則$L=( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x+\frac{16}{x}\geq2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}$。
因為$2\sqrt{( \frac{3}{2}+\sqrt{2})x\cdot\frac{16}{x}}=8(\sqrt{2}+1)$，當且僅當$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$時取等號。
解方程$(\frac{3}{2}+\sqrt{2})x=\frac{16}{x}$得$x = 4\sqrt{2}-4$。
把$x = 4\sqrt{2}-4$代入$y=\frac{8}{x}-\frac{x}{4}$得$y=\sqrt{2}+3$。
所以當$x=(4\sqrt{2}-4)m$，$y = (\sqrt{2}+3)m$時，用料最省。
