2025年同步解析與測評(píng)課時(shí)練人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教版
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【例3】(1)若集合$ A = \{x|a - 2 ＜ x ＜ a + 2\} $，$ B = \{x|x \leq -2 $，或$ x \geq 4\} $，則$ A\cap B = \varnothing $的充要條件是（
A
）
A.$ 0 \leq a \leq 2 $
B.$ -2 ＜ a ＜ 2 $
C.$ 0 ＜ a \leq 2 $
D.$ 0 ＜ a ＜ 2 $
答案：A
解析：$ A\cap B = \varnothing \Rightarrow \begin{cases}a - 2 \geq -2 \\ a + 2 \leq 4\end{cases} \Rightarrow 0 \leq a \leq 2 $。
2.已知$ m\in \mathbf{Z} $，關(guān)于$ x $的一元二次方程$ x^2 - 4x + 4m = 0 $和$ x^2 - 4mx + 4m^2 - 4m - 5 = 0 $，求證：上述兩個(gè)方程的根都是整數(shù)的充要條件是$ m = 1 $。
答案：證明：
充分性：$ m = 1 $時(shí)，方程1：$ x^2 - 4x + 4 = 0 \Rightarrow x = 2 $（整數(shù)）；方程2：$ x^2 - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 $或$ x = -1 $（整數(shù)）。
必要性：方程1有整數(shù)根$\Rightarrow \Delta = 16 - 16m \geq 0 \Rightarrow m \leq 1$，且根為$ 2\pm\sqrt{4 - 4m} $為整數(shù)$\Rightarrow 4 - 4m$為平方數(shù)$\Rightarrow m = 0$或$1$。
$ m = 0 $時(shí)方程2：$ x^2 - 5 = 0 $無整數(shù)根；$ m = 1 $時(shí)方程2有整數(shù)根，故$ m = 1 $。
3.(1)“函數(shù)$ y = ax^2 + bx + c(a \neq 0) $的圖象與$ y $軸交于負(fù)半軸”的充要條件是
$ c ＜ 0 $
；
(2)關(guān)于$ x $的方程$ m^2x^2 - (m + 1)x + 2 = 0 $的所有實(shí)數(shù)根的和為2的充要條件是
$ m = 0 $或$ m = \frac{1}{2} $
。
答案：(1)$ c < 0 $
(2)$ m = 0 $或$ m = \frac{1}{2} $
解析：
(2)當(dāng)$ m = 0 $時(shí)，方程為$-x + 2 = 0 \Rightarrow x = 2$，所有實(shí)數(shù)根的和為2；當(dāng)$ m \neq 0 $時(shí)，$\Delta = (m + 1)^2 - 8m^2 \geq 0$且$\frac{m + 1}{m^2} = 2 \Rightarrow m = \frac{1}{2}$（$ m = 1 $時(shí)$\Delta < 0$舍去）。綜上，充要條件是$ m = 0 $或$ m = \frac{1}{2} $。
1.若$ A,B $是兩個(gè)集合，則“$ A\cap B = A $”是“$ A\subseteq B $”的（
C
）
A.充分不必要條件
B.必要不充分條件
C.充要條件
D.既不充分也不必要條件
答案：C
解析：$ A\cap B = A \Leftrightarrow A\subseteq B $。
2.從“充分條件”“必要條件”中選出適當(dāng)?shù)囊环N填空：
(1)“關(guān)于$ x $的方程$ ax^2 + bx + c = 0(a \neq 0) $有實(shí)數(shù)根”是“$ ac ＜ 0 $”的
必要條件
；
(2)“$\triangle ABC\cong \triangle A'B'C'$”是“$\triangle ABC\sim \triangle A'B'C'$”的
充分條件
。
答案：(1)必要條件
(2)充分條件
解析：
(1)方程有實(shí)根$\Rightarrow \Delta \geq 0 \nRightarrow ac ＜ 0$，$ ac ＜ 0 \Rightarrow \Delta ＞ 0 \Rightarrow$方程有實(shí)根。
(2)全等一定相似，相似不一定全等。
