2025年同步解析與測(cè)評(píng)課時(shí)練人民教育出版社高中數(shù)學(xué)必修第一冊(cè)人教版
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【過(guò)程評(píng)價(jià)】4.用描述法表示下列集合：
(1)絕對(duì)值小于1000的偶數(shù)組成的集合；
(2)平面直角坐標(biāo)系中x軸上的點(diǎn)組成的集合.
答案：(1)$\{x| |x| ＜ 1000,x = 2k,k\in\mathbb{Z}\}$；(2)$\{(x,y)|y = 0,x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$
解析：(1)絕對(duì)值小于1000即|x| ＜ 1000，偶數(shù)可表示為x=2k,k∈Z，所以集合為$\{x| |x| ＜ 1000,x = 2k,k\in\mathbb{Z}\}$。
(2)x軸上的點(diǎn)縱坐標(biāo)為0，所以集合為$\{(x,y)|y = 0,x\in\mathbb{R},y\in\mathbb{R}\}$。
【例3】(1)若集合A中沒(méi)有元素，求a的取值范圍；
(2)若集合A中只有一個(gè)元素，求a的值，并把這個(gè)元素寫(xiě)出來(lái).
答案：(1)$a ＞ \frac{9}{8}$；(2)a=0時(shí)元素為$\frac{2}{3}$；$a = \frac{9}{8}$時(shí)元素為$\frac{4}{3}$
解析：集合A是方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$的實(shí)數(shù)根組成的集合。
(1)A中沒(méi)有元素，即方程無(wú)實(shí)根。當(dāng)a=0時(shí)，方程為-3x + 2=0，有實(shí)根，舍去；當(dāng)a≠0時(shí)，$\Delta=9 - 8a ＜ 0$，解得$a ＞ \frac{9}{8}$。
(2)A中只有一個(gè)元素，即方程有唯一實(shí)根。當(dāng)a=0時(shí)，方程為-3x + 2=0，根為$x = \frac{2}{3}$；當(dāng)a≠0時(shí)，$\Delta=9 - 8a=0$，$a = \frac{9}{8}$，根為$x = \frac{3}{2a}=\frac{4}{3}$。
【過(guò)程評(píng)價(jià)】5.已知集合A中含有兩個(gè)元素，其中一個(gè)元素是1，求a的值
2
，并求出集合A
{1,2}
.
答案：a=2，集合A={1,2}
解析：因?yàn)?∈A，所以將x=1代入方程$ax^2 - 3x + 2 = 0$得$a - 3 + 2=0$，a=1，此時(shí)方程為$x^2 - 3x + 2=0$，根為1和2，集合A={1,2}（原題目可能為“已知集合A中有兩個(gè)元素，其中一個(gè)是1”，按此解法）。
6.已知集合$A = \{x|ax^2 + x = 0\}$有兩個(gè)元素，求a的取值范圍
a≠0
，并把這兩個(gè)元素寫(xiě)出來(lái)
0和$-\frac{1}{a}$
.
答案：a≠0，元素為0和$-\frac{1}{a}$
解析：集合A有兩個(gè)元素，即方程$ax^2 + x = 0$有兩個(gè)不等實(shí)根。a=0時(shí)，方程為x=0，只有一個(gè)元素，舍去；a≠0時(shí)，方程$x(ax + 1)=0$，根為0和$-\frac{1}{a}$，所以a≠0，元素為0和$-\frac{1}{a}$。
7.已知集合$A = \{x|x^2 + (a - 1)x + b = 0\}$，$B = \{x|x^2 - (3 - a)x - a + b - 2 = 0\}$，若A={2}，求集合B.
答案：{1,5}
解析：因?yàn)榧螦={2}，所以方程$x^2 + (a - 1)x + b = 0$有唯一實(shí)根2，即判別式$\Delta=(a - 1)^2 - 4b=0$，且$2^2 + 2(a - 1) + b=0$。
聯(lián)立方程：
1. $(a - 1)^2 - 4b=0$
2. $4 + 2a - 2 + b=0$，即$2a + b + 2=0$，解得$b=-2a - 2$
將$b=-2a - 2$代入①：$(a - 1)^2 - 4(-2a - 2)=0$，即$a^2 - 2a + 1 + 8a + 8=0$，$a^2 + 6a + 9=0$，$(a + 3)^2=0$，解得$a=-3$，則$b=-2×(-3)-2=4$。
將$a=-3$，$b=4$代入集合B的方程：$x^2 - (3 - (-3))x - (-3) + 4 - 2=x^2 - 6x + 5=0$，即$(x - 1)(x - 5)=0$，解得$x=1$或$x=5$，所以集合B={1,5}。
