2025年同步解析與測評課時練人民教育出版社高中數(shù)學必修第一冊人教版
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4.拔高題 若命題“$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}+ax - 4a\geq0$”為真命題，則實數(shù)$ a $的取值范圍為（
A
）
A.$-16\leq a\leq0$
B.$-16 ＜ a ＜ 0$
C.$-4\leq a\leq0$
D.$-4 ＜ a ＜ 0$
答案：A
解析：因為命題為真命題，所以二次函數(shù)$y = x^{2}+ax - 4a$的圖像與$x$軸有兩個交點或相切，即判別式$\Delta=a^{2}+16a\leq0$，解得$-16\leq a\leq0$。
【基礎鞏固】1.若$a,b\in\mathbf{R}$，且$a^{2}+b^{2}\neq0$，則①$a,b$全為0；②$a,b$不全為0；③$a,b$全不為0；④$a,b$至少有一個不為0.其中真命題的個數(shù)為（
C
）
答案：C
解析：$a^{2}+b^{2}\neq0$意味著$a,b$不同時為0，即$a,b$不全為0，至少有一個不為0，所以②④是真命題，①③是假命題，真命題個數(shù)為2。
【基礎鞏固】2.下列語句不是全稱量詞命題的是（
C
）
A.任何一個實數(shù)乘零都等于零
B.自然數(shù)都是正整數(shù)
C.高二(1)班絕大多數(shù)同學是團員
D.每一個三角形的內角和都等于$180^{\circ}$
答案：C
解析：全稱量詞命題含有全稱量詞，選項A、B、D中分別有“任何一個”“都”“每一個”，是全稱量詞命題；選項C中“絕大多數(shù)”不是全稱量詞，不是全稱量詞命題。
【基礎鞏固】3.有下列四個命題，其中為假命題的是（
B
）
A.$\forall x\in\mathbf{R},2x^{2}-3x + 4＞0$
B.$\forall x\in\{1,-1,0\},2x + 1＞0$
C.$\exists x\in\mathbf{N},x^{2}\leq x$
D.$\exists x\in\mathbf{N}^{*}$，使$x$為29的因數(shù)
答案：B
解析：選項A，二次函數(shù)$y = 2x^{2}-3x + 4$，判別式$\Delta=9 - 32=-23 ＜ 0$，開口向上，所以$\forall x\in\mathbf{R},2x^{2}-3x + 4＞0$，是真命題；選項B，當$x=-1$時，$2x + 1=-1 ＜ 0$，所以是假命題；選項C，當$x = 0$或$x = 1$時，$x^{2}\leq x$成立，是真命題；選項D，29是質數(shù)，其正因數(shù)為1和29，所以$\exists x\in\mathbf{N}^{*}$（如$x = 1$或29），使$x$為29的因數(shù)，是真命題。
【基礎鞏固】4.若命題“$\forall x\in\mathbf{R},2x^{2}+(2a - 1)x+\frac{1}{2}a^{2}＞0$”是真命題，則實數(shù)$ a $的取值范圍是
$a＞\frac{1}{4}$
。
答案：$a＞\frac{1}{4}$
解析：因為命題為真命題，所以判別式$\Delta=(2a - 1)^{2}-4×2×\frac{1}{2}a^{2}＜0$，化簡得$4a^{2}-4a + 1 - 4a^{2}＜0$，即$-4a + 1 ＜ 0$，解得$a＞\frac{1}{4}$。
【基礎鞏固】5.下列全稱量詞命題中真命題的個數(shù)為( )
①負數(shù)沒有平方根；
②對任意的實數(shù)$a,b$，都有$a^{2}+b^{2}\geq2ab$；
③二次函數(shù)$f(x)=x^{2}+ax - 2$的圖像與$x$軸恒有交點；
④$\forall x,y\in\mathbf{R},x^{2}+\vert y\vert＞0$.
A.1
B.2
C.3
D.4
答案：C
①真命題；②真命題；③真命題；④假命題
解析：①負數(shù)的平方是正數(shù)，所以負數(shù)沒有平方根，是真命題；②$a^{2}+b^{2}-2ab=(a - b)^{2}\geq0$，所以$a^{2}+b^{2}\geq2ab$，是真命題；③二次函數(shù)$f(x)=x^{2}+ax - 2$的判別式$\Delta=a^{2}+8＞0$，所以與$x$軸恒有兩個交點，是真命題；④當$x = 0,y = 0$時，$x^{2}+\vert y\vert=0$，所以是假命題。
【基礎鞏固】6.若“$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + m＞0$”是真命題，則實數(shù)$ m $的取值范圍是
$m＞1$
.
答案：$m＞1$
解析：二次函數(shù)$y = x^{2}+2x + m$的圖像開口向上，要使$\forall x\in\mathbf{R},x^{2}+2x + m＞0$，則判別式$\Delta=4 - 4m ＜ 0$，解得$m＞1$。
【基礎鞏固】7.判斷下列語句是全稱量詞命題，還是存在量詞命題：
(1)凸多邊形的外角和等于$360^{\circ}$；
(2)有的字母不能表示一個未知數(shù)；
(3)有一個函數(shù)是一次函數(shù)，且其圖像過原點；
(4)若一個四邊形是菱形，則這個四邊形的對角線互相垂直.
答案：(1)全稱量詞命題；(2)存在量詞命題；(3)存在量詞命題；(4)全稱量詞命題
