學習力提升八年級數學浙教版
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14.已知等腰三角形一腰上的中線將這個等腰三角形的周長分成12 cm和24 cm兩部分,求該等腰三角形的腰長.
答案：16
設等腰三角形的腰長為$2x$cm，底邊長為$y$cm，腰上的中線長為$d$cm（$d$不影響周長計算）。因為中線將腰分為兩等長部分，所以每部分長為$x$cm。
分兩種情況討論：
情況一：$\begin{cases}2x + x = 12\\x + y = 24\end{cases}$
解第一個方程：$3x = 12$，得$x = 4$。
則腰長$2x = 8$cm，代入第二個方程得$4 + y = 24$，$y = 20$cm。
此時三角形三邊長為8cm，8cm，20cm。因為$8 + 8 = 16\lt20$，不滿足三角形兩邊之和大于第三邊，舍去。
情況二：$\begin{cases}2x + x = 24\\x + y = 12\end{cases}$
解第一個方程：$3x = 24$，得$x = 8$。
則腰長$2x = 16$cm，代入第二個方程得$8 + y = 12$，$y = 4$cm。
此時三角形三邊長為16cm，16cm，4cm。因為$16 + 4 = 20\gt16$，$16 + 16 = 32\gt4$，滿足三角形三邊關系。
綜上，該等腰三角形的腰長為16cm。
15.如圖,在面積為3的銳角三角形ABC中,AB=AC=3,AD是∠BAC的平分線,點E,F分別是AB,AD上的動點,連結BF,EF,則BF+EF的最小值為
答案：2
因為$AB = AC$，AD是$\angle BAC$的平分線，所以AD垂直平分BC（等腰三角形三線合一），即點B與點C關于AD對稱。
作點E關于AD的對稱點$E'$，則$E'$在AC上，且$EF = E'F$。所以$BF + EF = BF + E'F$。
當B，F，$E'$三點共線且$BE'\perp AC$時，$BF + E'F$取得最小值，即$BE'$的長（垂線段最短）。
因為$\triangle ABC$的面積為3，$AC = 3$，設AC邊上的高為$h$，則$\frac{1}{2}× AC× h = 3$，即$\frac{1}{2}×3× h = 3$，解得$h = 2$。
所以$BF + EF$的最小值為2。
16.如圖,在邊長為4的正方形ABCD中,請畫出以A為一個頂點,另外兩個頂點在正方形ABCD的邊上,且含邊長為3的所有大小不同的等腰三角形(要求:只要畫出示意圖,并在所畫等腰三角形長為3的邊上標注3)
答案：（示意圖描述）
以下是所有符合條件的等腰三角形：
1. 以A為頂點，腰長為3，另兩個頂點在AB，AD邊上：在AB上取點E，使AE=3；在AD上取點F，使AF=3，連接EF，△AEF（AE=AF=3，標注AE和AF邊上的3）。
2. 以A為頂點，腰長為3，另兩個頂點在AB，BC邊上：在AB上取點E，使AE=3；以A為圓心，3為半徑畫弧交BC于點F，連接AF，EF，△AEF（AE=AF=3，標注AE和AF邊上的3）。
3. 以A為頂點，腰長為3，另兩個頂點在AD，CD邊上：在AD上取點F，使AF=3；以A為圓心，3為半徑畫弧交CD于點E，連接AE，EF，△AEF（AF=AE=3，標注AF和AE邊上的3）。
4. 以A為頂點，底邊長為3，另兩個頂點在BC，CD邊上：在BC上取點E，CD上取點F，使EF=3，且AE=AF，△AEF（標注EF邊上的3）。
5. 以A為頂點，腰長為3，另一個頂點在BC，一個在CD邊上（非上述情況）：以A為圓心，3為半徑畫弧分別交BC，CD于點E，F，連接AE，AF，EF，△AEF（AE=AF=3，標注AE和AF邊上的3）。
