學習力提升八年級數學浙教版
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9.如圖所示,在△ABC中,AB=BC,DE⊥AB于點E,DF⊥BC于點D,交AC于點F.
(1)若∠AFD=155°,求∠EDF的度數.
(2)若F是AC的中點,求證:∠CFD=1/2∠ABC.
答案：（1）因為$DF\perp BC$，所以$\angle FDC=90^{\circ}$。
$\angle AFD=155^{\circ}$，所以$\angle CFD=180^{\circ}-155^{\circ}=25^{\circ}$。
在$\triangle CFD$中，$\angle C=180^{\circ}-\angle FDC-\angle CFD=180^{\circ}-90^{\circ}-25^{\circ}=65^{\circ}$。
因為$AB = BC$，所以$\angle A=\angle C=65^{\circ}$，$\angle ABC=180^{\circ}-65^{\circ}×2=50^{\circ}$。
$DE\perp AB$，所以$\angle DEB=90^{\circ}$，四邊形DEBD中，$\angle EDF=360^{\circ}-\angle DEB-\angle B-\angle FDB=360^{\circ}-90^{\circ}-50^{\circ}-90^{\circ}=130^{\circ}$？（錯誤）
正確：$\angle EDF=180^{\circ}-\angle AED-\angle AFD+\angle A$（復雜），直接計算：
$\angle DFC=25^{\circ}$，$\angle C=65^{\circ}$，$\angle ABC=50^{\circ}$。
$\angle EDF=180^{\circ}-\angle BED-\angle BDF+\angle B=180^{\circ}-90^{\circ}-90^{\circ}+50^{\circ}=50^{\circ}$。
（2）連接BF，因為$AB = BC$，F是AC中點，所以BF平分$\angle ABC$，$\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$。
$DF\perp BC$，所以$\angle CBF+\angle BFD=90^{\circ}$，$\angle CFD+\angle BFD=90^{\circ}$，所以$\angle CFD=\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$。
10.如圖所示,在△ABC中,AB=BC,點D是△ABC的邊BC上的點,且CD=AB,∠ADB=∠BAD,AE是△ABD的中線.求證:AC=2AE.
答案：延長AE至F，使EF=AE，連接DF。
因為AE是中線，所以$BE = DE$，又$\angle AEB=\angle FED$，所以$\triangle AEB\cong\triangle FED(SAS)$，$AB = DF$，$\angle B=\angle EDF$。
$AB = CD$，所以$DF = CD$。
$\angle ADB=\angle BAD$，所以$AB = BD$，$\angle BAD=\angle ADB$，$\angle ADC=\angle BAD+\angle B=\angle ADB+\angle EDF=\angle ADF$。
$AD = AD$，所以$\triangle ADF\cong\triangle ADC(SAS)$，所以$AC = AF = 2AE$。
11.(1)如圖1,在△ABC中,∠C=90°,∠BAC=30°,以AB為邊作等邊三角形ABD。求證:BC=1/2AB.
(2)如圖2,BA平分∠CBD,BD=2BC,AB=AD.求證: .
答案：（1）取AB中點E，連接CE，因為$\angle C=90^{\circ}$，所以$CE=\frac{1}{2}AB=AE = BE$。
$\angle BAC=30^{\circ}$，所以$\angle B=60^{\circ}$，$\triangle BCE$是等邊三角形，所以$BC = BE=\frac{1}{2}AB$。
（2）（題目不完整，無法證明，根據已知條件可證$\angle C=90^{\circ}$等，此處略）
