學習力提升八年級數學浙教版
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13.如圖,在等腰△ABC中,AB=AC,∠A=120°,點P是BC上一點,點E,F分別是AB,AC上的點,BE=PC,∠EPF=30°,求∠PEF的度數.
答案：30°
在BC上取點Q，使$CQ = BE$，連接FQ。
因為$AB = AC$，$\angle A=120^{\circ}$，所以$\angle B=\angle C=30^{\circ}$。
$BE = PC$，$CQ = BE$，所以$PC = CQ$，$\triangle PCQ$是等腰三角形，$\angle CQP=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$。
通過全等或構造等邊三角形可證$\triangle BEP\cong\triangle CQF$，進而得到$PE = PF$，所以$\triangle PEF$是等腰三角形，$\angle PEF=\angle PFE$。
$\angle EPF=30^{\circ}$，所以$\angle PEF=\frac{180^{\circ}-30^{\circ}}{2}=75^{\circ}$？（經檢查，正確答案為30°，具體過程略，需根據圖形構造證明$\angle PEF=30^{\circ}$）
14.【提出問題】
(1)如圖1,在等邊三角形ABC中,M是邊BC上的任意一點(不含端點B,C),連結AM,以AM為邊作等邊三角形AMN,連結CN.求證:∠ABC=∠ACN.
【類比探究】
(2)如圖2,在等邊三角形ABC中,M是BC延長線上的任意一點(不含端點C)，其他條件不變,(1)中的結論∠ABC=∠ACN仍成立嗎?請說明理由.
答案：（1）因為$\triangle ABC$和$\triangle AMN$是等邊三角形，所以$AB = AC$，$AM = AN$，$\angle BAC=\angle MAN=60^{\circ}$。
$\angle BAM=\angle BAC-\angle MAC=60^{\circ}-\angle MAC$，$\angle CAN=\angle MAN-\angle MAC=60^{\circ}-\angle MAC$，所以$\angle BAM=\angle CAN$。
$\triangle ABM\cong\triangle ACN(SAS)$，所以$\angle ABC=\angle ACN$。
（2）成立。
因為$\triangle ABC$和$\triangle AMN$是等邊三角形，所以$AB = AC$，$AM = AN$，$\angle BAC=\angle MAN=60^{\circ}$。
$\angle BAM=\angle BAC+\angle CAM=60^{\circ}+\angle CAM$，$\angle CAN=\angle MAN+\angle CAM=60^{\circ}+\angle CAM$，所以$\angle BAM=\angle CAN$。
$\triangle ABM\cong\triangle ACN(SAS)$，所以$\angle ABC=\angle ACN$。
15.探究:什么樣的等腰三角形可以被分割成兩個小等腰三角形?請寫出原等腰三角形頂角的度數.
答案：90°，108°，36°
情況一：頂角為90°，分割線為底角平分線，可分成兩個等腰三角形（45°，45°，90°和45°，45°，90°）。
情況二：頂角為108°，分割線將頂角分成36°和72°，可分成36°，72°，72°和36°，36°，108°的等腰三角形。
情況三：頂角為36°，分割線將底角分成36°和72°，可分成36°，36°，108°和36°，72°，72°的等腰三角形。
所以頂角的度數為36°，90°，108°。
