學習力提升八年級數學浙教版
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13. 已知命題：“$P$是等邊$\triangle ABC$內的一點，若$P$到三邊的距離相等，則$PA = PB = PC$。”
（1）寫出它的逆命題，判斷其逆命題是否成立，若成立，請給出證明。
（2）進一步證明：點$P$到等邊$\triangle ABC$各邊的距離之和為定值。
答案：（1）逆命題：$P$是等邊$\triangle ABC$內的一點，若$PA = PB = PC$，則$P$到三邊的距離相等。成立。
證明：連接$PA$，$PB$，$PC$。因為$PA = PB = PC$，所以點$P$是$\triangle ABC$的外心，又因為$\triangle ABC$是等邊三角形，外心、內心重合，所以$P$到三邊距離相等。
（2）證明：設等邊$\triangle ABC$邊長為$a$，高為$h$，面積為$S$。連接$PA$，$PB$，$PC$，將$\triangle ABC$分成$\triangle PAB$，$\triangle PBC$，$\triangle PCA$，設$P$到三邊距離分別為$d_1$，$d_2$，$d_3$。則$S=\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ad_1+\frac{1}{2}ad_2+\frac{1}{2}ad_3$，所以$h = d_1 + d_2 + d_3$，即距離之和為定值（等邊三角形的高）。
14. 如圖，四邊形$ABCD$中，點$E$在邊$CD$上，連接$AE$，$BE$。給出下列五個關系式：①$AD// BC$；②$DE = CE$；③$\angle 1=\angle 2$；④$\angle 3=\angle 4$；⑤$AD + BC = AB$。將其中的三個關系式作為條件，另外兩個作為結論，構成一個命題。
（1）用序號寫出一個真命題（書寫形式：如果×××，那么××），并給出證明。
（2）用序號再寫出三個真命題（不要求證明）。
（3）在本題可以書寫的所有命題中，只有一個是假命題，請你畫圖舉例說明。
答案：（1）如果①②③，那么④⑤。
證明：延長$AE$交$BC$延長線于$F$。因為$AD// BC$，所以$\angle 1=\angle F$，$\angle D=\angle ECF$。又$DE = CE$，所以$\triangle ADE\cong\triangle FCE(AAS)$，則$AD = CF$，$AE = EF$。因為$\angle 1=\angle 2$，所以$\angle 2=\angle F$，則$AB = BF = BC + CF = BC + AD$，即⑤成立。又$AE = EF$，$\angle 2=\angle F$，$BE = BE$，所以$\triangle ABE\cong\triangle FBE(SAS)$，則$\angle 3=\angle 4$，即④成立。
（2）如果①②④，那么③⑤；如果①③⑤，那么②④；如果②③④，那么①⑤。
（3）假命題：如果①③④，那么②⑤。
舉例：在梯形$ABCD$中，$AD// BC$，$\angle 1=\angle 2$，$\angle 3=\angle 4$，但$E$不是$CD$中點，$AD + BC\neq AB$（畫圖略）。
