創新課時作業本九年級數學蘇科版
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16. 閱讀下列材料,解答下列問題：
①關于x的方程$x^{2}-3x+1=0(x≠0)$方程兩邊同時乘$\frac {1}{x}$得$x-3+\frac {1}{x}=0$,即$x+\frac {1}{x}=3$,故$(x+\frac {1}{x})^{2}=x^{2}+2\cdot x\cdot \frac {1}{x}+\frac {1}{x^{2}}=x^{2}+\frac {1}{x^{2}}+2=3^{2}$,所以$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}=(x+\frac {1}{x})^{2}-2=3^{2}-2=7$.
②$a^{3}+b^{3}=(a+b)\cdot (a^{2}-ab+b^{2})$.
(1)$x^{2}-4x+1=0(x≠0)$,則$x+\frac {1}{x}=$_____,$x^{2}+\frac {1}{x^{2}}=$_____,$x^{4}+\frac {1}{x^{4}}=$_____；
(2)$2x^{2}-7x+2=0$,求$x^{3}+\frac {1}{x^{3}}$的值.
答案：(1)4，14，194
解析：方程$x^{2}-4x+1=0$兩邊同除以$x$得$x - 4+\frac{1}{x}=0$，即$x+\frac{1}{x}=4$；$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(x+\frac{1}{x})^{2}-2=4^{2}-2 = 14$；$x^{4}+\frac{1}{x^{4}}=(x^{2}+\frac{1}{x^{2}})^{2}-2=14^{2}-2=194$。
(2)$\frac{217}{8}$
解析：方程$2x^{2}-7x + 2=0$兩邊同除以$2x$得$x-\frac{7}{2}+\frac{1}{x}=0$，即$x+\frac{1}{x}=\frac{7}{2}$。$x^{2}+\frac{1}{x^{2}}=(\frac{7}{2})^{2}-2=\frac{49}{4}-2=\frac{41}{4}$。$x^{3}+\frac{1}{x^{3}}=(x+\frac{1}{x})(x^{2}-1+\frac{1}{x^{2}})=\frac{7}{2}×(\frac{41}{4}-1)=\frac{7}{2}×\frac{37}{4}=\frac{259}{8}$。
