創新課時作業本九年級數學蘇科版
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4. 如圖,在$\triangle ABC$中,$\angle ABC=90^{\circ},AB=8cm,BC=6cm$.動點P、Q分別從點A、B同時開始移動,點P的速度為1cm/s,點Q的速度為2cm/s,點Q移動到點C后停止,點P也隨之停止運動.下列時間瞬間中,能使$\triangle PBQ$的面積為$15cm^{2}$的是（
B
）
A. 2秒鐘
B. 3秒鐘
C. 4秒鐘
D. 5秒鐘
答案：B
解析：設運動時間為$t$秒，$BQ = 2t$，$BP = 8 - t$，面積$\frac{1}{2}×2t×(8 - t)=15$，$t(8 - t)=15$，$t^2-8t + 15 = 0$，解得$t = 3$或$t = 5$，Q運動到C需$6÷2 = 3$秒，所以$t = 3$。
5. (2025·江蘇揚州月考)如圖,在矩形ABCD中,$AB=16cm,BC=6cm$,點P從點A出發沿AB以3cm/s的速度向點B移動,一直到達點B為止;同時,點Q從點C出發沿邊CD以2cm/s的速度向點D移動.設運動時間為t,當$PQ = 10cm$時,時間$t=$
2.4或$\frac{28}{5}$
s.
答案：2.4或$\frac{28}{5}$
解析：過P作$PE\perp CD$于E，$QE=16 - 3t - 2t=16 - 5t$，$PE = 6$，由勾股定理得$(16 - 5t)^2 + 6^2=10^2$，$(16 - 5t)^2=64$，$16 - 5t=\pm8$，解得$t = 2.4$或$t=\frac{28}{5}$。
6. 如圖,在矩形ABCD中,$AB=10cm,AD=8cm$,點P從點A出發沿AB以2cm/s的速度向終點B運動,同時點Q從點B出發沿BC以1cm/s的速度向終點C運動,它們到達終點后停止運動.
(1)幾秒后,點P、D的距離是點P、Q的距離的2倍?
(2)幾秒后,$\triangle DPQ$的面積是$24cm^{2}$?
答案：(1)不存在
解析：設$t$秒后，$AP = 2t$，$BP = 10 - 2t$，$BQ = t$，$PD^2=(2t)^2 + 8^2$，$PQ^2=(10 - 2t)^2 + t^2$，由$PD = 2PQ$得$4t^2 + 64 = 4[(10 - 2t)^2 + t^2]$，化簡得$15t^2-160t + 336 = 0$，判別式$\Delta=25600 - 20160 = 5440$，無整數解，不存在。
(2)2秒或$\frac{10}{3}$秒
解析：$\triangle DPQ$面積$=8×10-\frac{1}{2}×2t×8-\frac{1}{2}×t×(10 - 2t)-\frac{1}{2}×10×(8 - t)=24$，化簡得$t^2-8t + 16 = 0$，解得$t = 2$或$t=\frac{10}{3}$。
