創新課時作業本九年級數學蘇科版
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8. 關于$x$的一元二次方程$(a + b)x^{2}+(a - c)x-\frac{c - a}{4}=0$有兩個相等的實數根，那么以$a$、$b$、$c$為三邊的三角形是（
B
）
A. 以$a$為斜邊的直角三角形
B. 以$c$為斜邊的直角三角形
C. 以$b$為底邊的等腰三角形
D. 以$c$為底邊的等腰三角形
答案：B
解析：$\Delta=(a - c)^{2}-4(a + b)×(-\frac{c - a}{4})=(a - c)^{2}+(a + b)(a - c)=(a - c)(a - c + a + b)=(a - c)(2a + b - c)=0$，因為方程是一元二次方程，$a + b≠0$，所以$a - c=0$或$2a + b - c=0$（舍去，三角形兩邊之和大于第三邊），即$a = c$，又$\Delta = 0$，可得$a^{2}+b^{2}=c^{2}$，是以$c$為斜邊的直角三角形，故選B.
9. 已知反比例函數$y=\frac{k - 2}{x}$的圖像如圖所示，則一元二次方程$x^{2}-(2k - 1)x + k^{2}-1=0$的根的情況是（
C
）
A. 有兩個不等實根
B. 有兩個相等實根
C. 沒有實根
D. 無法確定
答案：A
解析：由反比例函數圖像在一、三象限得$k - 2＞0$，即$k＞2$.方程$\Delta=(2k - 1)^{2}-4×1×(k^{2}-1)=4k^{2}-4k + 1 - 4k^{2}+4=-4k + 5$，因為$k＞2$，所以$-4k + 5＜-3＜0$，沒有實根，故選C.
10. 若關于$x$的一元二次方程$x^{2}+2x - m=0$有兩個不相等的實數根，則化簡代數式$\sqrt{(m + 2)^{2}}-\vert m + 1\vert$的結果為
1
.
答案：1
解析：方程有兩個不相等實數根，$\Delta=4 + 4m＞0$，解得$m＞-1$.$\sqrt{(m + 2)^{2}}-\vert m + 1\vert=\vert m + 2\vert-(m + 1)$，因為$m＞-1$，所以$m + 2＞1＞0$，原式$=m + 2 - m - 1=1$.
11. 如果關于$x$的一元二次方程$(m - 1)x^{2}+2x + 1=0$有兩個不相等的實數根，則$m$的取值范圍是
$m＜2$且$m≠1$
.
答案：$m＜2$且$m≠1$
解析：$\Delta=4 - 4(m - 1)＞0$且$m - 1≠0$，即$4 - 4m + 4＞0$，$8 - 4m＞0$，解得$m＜2$，且$m≠1$.
12. 若等腰三角形的一邊長是4，另兩邊的長是關于$x$的方程$x^{2}-6x + n=0$的兩個根，則$n$的值為
8或9
.
答案：8或9
解析：當4為腰長時，方程有一根為4，代入得$16 - 24 + n=0$，解得$n=8$，另一根為$6 - 4=2$，三角形三邊長為4，4，2，符合題意；當4為底邊時，方程有兩個相等實數根，$\Delta=36 - 4n=0$，解得$n=9$，兩根為3，3，三角形三邊長為3，3，4，符合題意，故$n=8$或9.
13. 若$2x^{2}-8x + 3a - 4=0$的兩個根相等，則化簡$\vert3 - a\vert-\sqrt{a^{2}-8a + 16}$的結果是
1
.
答案：$2a - 7$
解析：方程兩根相等，$\Delta=64 - 8(3a - 4)=64 - 24a + 32=96 - 24a=0$，解得$a=4$.$\vert3 - a\vert-\sqrt{a^{2}-8a + 16}=\vert3 - 4\vert-\sqrt{(a - 4)^{2}}=1 - 0=1$.
14. 已知關于$x$的方程$x^{2}+2mx + m^{2}-2=0$.
(1)試說明：無論$m$取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
(2)若方程有一個根為3，求$2m^{2}+12m + 2025$的值.
答案：(1)證明：$\Delta=(2m)^{2}-4×1×(m^{2}-2)=4m^{2}-4m^{2}+8=8＞0$，無論$m$取何值，方程總有兩個不相等的實數根；
(2)解：將$x=3$代入方程得$9 + 6m + m^{2}-2=0$，即$m^{2}+6m=-7$，$2m^{2}+12m + 2025=2(m^{2}+6m)+2025=2×(-7)+2025=-14 + 2025=2011$.
15. 已知關于$x$的一元二次方程$(a + c)x^{2}+2bx + (a - c)=0$，其中$a$、$b$、$c$分別為$\triangle ABC$三邊的長.
(1)若$a = b = c$，試求這個一元二次方程的根；
(2)若方程有兩個相等的實數根，試判斷$\triangle ABC$的形狀，并說明理由.
答案：(1)解：$a = b = c$，方程為$2ax^{2}+2ax=0$，即$2ax(x + 1)=0$，根為$x_{1}=0$，$x_{2}=-1$；
(2)解：方程有兩個相等實數根，$\Delta=(2b)^{2}-4(a + c)(a - c)=4b^{2}-4(a^{2}-c^{2})=4(b^{2}+c^{2}-a^{2})=0$，即$b^{2}+c^{2}=a^{2}$，$\triangle ABC$是以$a$為斜邊的直角三角形.
